正态分布第一课时教学设计

《正态分布第一课时》教学设计
东莞市厚街中学姚卫
一、教学内容与内容解析
1．内容：
正态分布第一课时
2．内容解析：
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2 -3（选修）》（人教A版）中的2．4“正态分布(第一课时)”，属于新授概念课．正态分布是选修2—3第二章“随机变量及其分布”的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异．生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布密度曲线所表示的意义．
二、教学目标与目标解析
1．目标：
（1）通过数学实验，从直观和形式认识正态曲线的特点及其所表示的意义；
（2）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形结合、有限与无限的思想方法；
（3）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历史，感受数学的文化价值．
2．目标解析：
由于正态分布密度函数的推导超出中学生的理解，所以采用高尔顿板试验的方法引入正态分布密度曲线是有利于学生直观的了解正态分布曲线的来源。

同时，正态分布曲线的特点可以从解析式和图形两个方面入手，能让学生很好的体会的了数形结合的思想方法。

无论是高尔顿还是高斯都对正态分布的研究做出了不可磨灭的贡献，同学们可以从中感受到数学的文化价值。

三、教学问题诊断分析
正态分布是研究连续型随机变量概率，学生第一次接触连续型随机变量的分布问题，在接受上有困难．在高中阶段，严格推导正态分布密度函数是十分困难的，教材直接给出了正态分布曲线的函数解析式，学生理解起来有困难．由于教材的编写是基于学生没有信息技术辅助，因此会对例题的选择和问题的解决造成障碍．虽然正态分布在实际生活中有着广泛的应用，但学习过程中缺少典型的案例和解决问题的方法．
教学难点：在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布，正确理解正态分布的意义．
四、教学支持条件
为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平、理解能力，通过教师设计的层层推进式的问题，充分调动学生思维的积极性。

同时，通过几何画板课件和计算机模拟程序辅助学生逐步领会正态分布的意义和正态分布密度函数曲线的性质。

五、教学过程设计
（1）知识回顾，铺平道路
提出问题1：什么是离散型随机变量？它的概率分布规律用什么来描述？
提出问题2：由函数)
=y
b
x
a
x围成的曲边梯形的面积S是什么？
,=
=
f
(x
,
y=及直线0
活动预设：教师引导学生复习离散型随机变量的定义和定积分的几何意义。

【设计意图】我们是从离散型分布过渡到正态分布这种连续型分布，而相关的知识是必修三中的内容，同时正态分布的定义要用到定积分是选修2-2的内容，对于面上中学普通班的同学来说，帮助学生复习相关知识是必要的。

（2）新课引入，触发兴趣
提出问题3：除了离散型随机变量还有其他类型的随机变量吗？如果有，那么它的概率分布规律用什么来描述呢？
活动预设：从课前设置的猜数游戏引入连续性随机变量的概念。

【设计意图】课本并没有指出正态分布是连续性随机变量，也没给出连续性随机变量的定义，这对于学生正确的理解正太分布是有障碍的，通过课前的猜数游戏引入这个概念有利于扫平学生认知上的障碍。

教学活动：简要介绍高尔顿的生平和高尔顿试验。

提出问题4：在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？
提出问题5：能用一个离散型随机变量来描述高尔顿板这个随机试验吗？
【设计意图】介绍高尔顿生平能让学生真切的感受的数学文化的价值，也能很好的调动学生学习的积极性，本节课从高尔顿试验引入正态分布．由于缺乏必要的动手试验的感受，通过介绍高尔顿试验的器材和两个问题帮助学生加深对后面模拟试验的理解．
引导性语言：我们用计算机来模拟高尔顿板试验，请同学们注意随着投放球数的变化球槽内小球分布的变化。

教学活动：利用计算机模拟高尔顿板试验（分别投放10、50、200、500、1000、5000个）。

【设计意图】当投放10个和50个小球时，球槽内小球的分布呈现正态分布曲线的形状不明显，只有当投放球数足够多时才基本符合正态分布曲线的形状，虽然缺乏必要的动手试验的感受，通过多做几次试验以增加学生的认知，
（3）新课讲解，突破难点
1.正态曲线的定义
引导性语言：这条钟形曲线的解析式为：),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x x σμσμσπϕ，，其中的实数μ、
σ(σ>0)是参数，，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

提出问题6：正态曲线的解析式有什么特点？如何从中找到μ和σ？
活动预设：教师引导学生一起观察和总结正态分布密度曲线解析式的特点：类指数函数、其中系数和指数的分母中均有σ，而μ仅出现在指数的分子里。

教师讲解例题1和学生做练习1。

【设计意图】通过对正态曲线的解析式特点的分析，即加深了对正态曲线的解析式的认识，也为例题和练习铺平道路。

2.正态分布的定义
提出问题7：球槽换成水平坐标轴，用X 表示小球与坐标轴接触时的坐标，那么X 还是一个离散型随机变量吗？它落在区间],(b a 上的概率是多少？
【设计意图】帮助学生理解正太分布是连续性分布，以及借助定积分的几何意义理解在区间上的概率公式。

活动预设：通过问题7的过渡，教师带领学生理解正态分布的定义。

提出问题8：在实际生活中还有哪些随机现象服从或近似服从正态分布？
活动预设：通过列举大量的例子和身边的例子说明正态分布的重要性。

【设计意图】利用身边的例子，更容易体会到正态分布广泛存在于自然界、生产和生活实际之中，正态分布在概率统计中占有重要的地位．
3.正态曲线的特点
提出问题9：结合正态曲线解析式，思考如下问题：（1）曲线的图像会在x 轴下方吗？
（2）正太曲线是对称图形吗？（3）正太曲线有最值吗？（4）正太曲线与x 轴之间的面积是多少？
提出问题10：μ与σ对正态曲线有什么影响？
活动预设：通过解析式研究图像的前四个特点，再通过控制参数观察图像的变化来研究图像的后两个特点。

【设计意图】通过对正太曲线的特点的研究和探究，让学生享受了一场从数到形再从形到数的思想大餐。

（4）典型题型，精讲精练
例题2：设随机变量),2(2σN X ～，且3.0)42(=<<X P ，则=<)0(X P ．
练习2：在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布),1(2σN X ～ ．若 X 在(0，1)内取值 的概率为0.4， 则 X 在 ( O ，2)内取值的概率为 .
活动预设：教师讲解例题，学生做练习。

【设计意图】让学生巩固正太曲线特点中的对称性，为下节课讲σ3原理做准备。

（5）课堂小结，再次提炼
提出问题11：我们今天学习了正态分布的哪些知识？
活动预设：让学生先总结，然后老师提炼。

（6）拓展阅读，体会文化
给出德国10马克的纸币，让学生回去搜索相关信息。

【设计意图】一方面可以进行数学文化价值的拓展，另一方面可以调控进度。