电磁场期末试题

电磁场与电磁波期末测验题

一、判断题：（对的打√，错的打×，每题2分，共20分）

1、标量场在某一点梯度的大小等于该点的最大方向导数。 (√)

2、真空中静电场是有旋矢量场。 (×)

3、在两种介质形成的边界上，电场强度的切向分量是不连续的。 (×)

4、当导体处于静电平衡状态时，自由电荷只能分布在导体的表面。 (√）

5、在理想导体中可能存在恒定电场。 (×）

6、真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。 (√）

7、时变电磁场是有旋有散场。 (√)

8、非均匀平面波一定是非TEM 波。 (×)

9、任意取向极化的平面波可以分解为一个平行极化波与一个垂直极化波的

合成 (√)

10、真空波导中电磁波的相速大于光速。 (√)

二、简答题（10+10=20分）

1、简述静电场中的高斯定律及方程式。

答:真空中静电场的电场强度通过任一闭合曲面的电通等于该闭合曲面所包围的电荷量与真空介电常数之比。 ⎰=⋅S S E 0d εq

2、写出麦克斯韦方程的积分形式。

答:

S D J l H d )(d ⋅∂∂+=⋅⎰⎰S l t S B l E d d ⋅∂∂-=⋅⎰⎰S l

t 0d =⋅⎰S S B

q S

=⋅⎰ d S D

三、计算题（8+8＋10＋10＋12＋12）

1 若在球坐标系中，电荷分布函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧><<<<=-b r b r a a r 0, ,100 ,03ρ

试求b r a a r <<<< ,0及b r >区域中的电通密度D 。

解 作一个半径为r 的球面为高斯面，由对称性可知

r e D s D 24d r

q q s π=⇒=⋅⎰ 式中q 为闭合面S 包围的电荷。那么

在a r <<0区域中，由于q = 0，因此D = 0。

在b r a <<区域中，闭合面S 包围的电荷量为

()

3333410d a r v q v -⨯==-⎰πρ 因此， ()

r e D 23

33310r a r -=- 在b r >区域中，闭合面S 包围的电荷量为

()

3333410d a b v q v -⨯==-⎰πρ 因此， ()

r e D 23

33310r a b -=- 2 试证位于半径为a 的导体球外的点电荷q 受到的电场力大小为

222302232)

(4)2(a f f a f a q F ---=πε 式中f 为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q 的受力。

证明 根据镜像法，必须在球内距球心f a d 2=处引入的镜像电荷q f

a q -='。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q '，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷q 受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，

r r e e F 22202

201)

(4)(4a f afq d f q q --=-'=πεπε（N ）

r r e e F 302

20244f

aq f q q πεπε='-=（N ） 合力为 r e F F F 22230223221)

(4)2(a f f a f a q ---=+=πε（N ） 当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q '，故q 所受到的电场力为F 1。 3 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为

) sin(20cos 2),(y k t x t y y x -=ωe H

试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。

解 由) sin(20cos 2),(y k t x t y y x -=ωe H ，可得其复值为

y k x y xe y j 20cos )(-=e H

因真空中传导电流为零，E D J H 0j j ωεω=+=⨯∇，得

y H y H z H x z x z x y ∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇=e e e H E 000j 1j 1j ωεωεωε 即 y k z y xe j 20cos 120-=πe E

能量密度的平均值

x y H y E w av 20cos 104)(2

1)(21272020-⨯=+=πμε 能流密度的平均值

x y c av 20cos 120)Re()Re(2*πe H E S S =⨯==

4 试证一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。 证明 令一个x 方向的线极化平面波为

)2

121(E E E x x +==e e E 那么可将上式改写为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==E E E E E E E y x y x x x 21j 2121j 2

1)2121(e e e e e e E 显然上式右端两项均为圆极化平面波，而且旋转方向恰好相反。这就证实一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。

5 设真空中圆极化平面波的电场强度为

z y x x π2j e )j (100)(-+=e e E (V/m)

试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。 解 由电场强度的表示式可见，π2=k ，那么 波长：m 12==k πλ；频率：Hz 1038⨯==λ

c f 因传播方向为+z 方向，y 分量又导前x 分量，因此该圆极化平面波是左旋的。

磁场强度为

()z x y z Z ππ

2j 0e j 651--=⨯=e e E e H （A/m ） 能流密度为

08.5361000*z z e e H E S ≈=⨯=π

（W/m 2） 6 若无限长的半径为a 的圆柱体中电流密度分布函数a r r r z ≤+= ),4(2e J ，试求圆柱内外的磁感应强度。

解 取圆柱坐标系，如习题图5-15所示。当a r ≤时，

通过半径为r 的圆柱电流为

()()⎰⎰⎰⎰+=⋅+=⋅=πφ20022d 4d d 4d r s z z s i r r r r s r r I e e s J ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=343821r r π 由

⎰=⋅l r I 0d μl B 求得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2303441r r μφe B 当a r ≥时

()

r r r r I a o d 4d 0220⋅+=⎰⎰πφ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=343821a a π 由

⎰=⋅l o I 0d μl B 求得 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=3403441a a r μφe B

习题图 5-15