数值分析作业思考题
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为 a1, a2 ,..., an1 ，则输出 u 的各分量是多项式方程
a1 x n a2 x n1 ...an x an1 0
的全部根，而函数 b=poly(v)
的输出 b 是一个 n＋1 维变量，它是以 n 维变量 v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots” 和“Poly”是两个互逆的运算函数.
（2） 系数矩阵为 40 阶 Hilbert 矩阵，即系数矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素为
，向量 b 的第 i 个分量为
（3） 用实验一的程序求解这两个方程组，并比较所有的计算结果，然后评价各个方法的
优劣。
实验三
实验名称：直接法的时间复杂性试验。 实验目的：分别用三种不同方法求解线性方程组 Ax=b，不同工作量得出不同时间。 实验内容与要求：
式存储。
16 4 8 x1 4
4
5
4
x2
3
8 4 22 x3 10
4、已知线性方程组
2.0002 1.9998
1.9998 2.0002
x1 x2
4 4
（1）求系数矩阵的逆 A1 和条件数 cond ( A) ；
（2）用 Matlab 语言自编 M 文件分别用 x A \ b ， x inv( A) *b 和追赶法计算这三对
角方程组；并分别记录所花费的 CPU 时间； (3) 分析结果，得出你的结论。
数值分析思考题 4
1、Gauss 消去法和 LU 三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工
作量为多少？平方根方法的工作量为多少？
求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊
结构的中小规模线性方程组时，Gauss 消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具 有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss 消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正 定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态
生成方程组 Ax b 中矩阵 A 和右端项 b ，分别用 x A \ b ，x inv( A) *b 和三角分解
法计算，并分别记录所花费的 CPU 时间，进行分析比较。 实验要求：
（1）取 n 300 ，随机生成 A 的一条主对角线元素和二条次对角线元素，使 A 为严格 对角占优的三对角阵和 b ；其中三条对角线元素分别用三个一维数组存储；
实验要求：
（l）选择不断增大的分点数目 n 2,3,... ，画出原函数 f (x) 及插值多项式函数 Ln (x) 在
[1,1] 上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数
h(x)
x 1 x4
,
g(x)
arctan
x
重复上述的实验看其结果如何。
比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots”和“poly”，输入函数 u＝roots（a）
其中若变量 a 存储 n 1维的向量，则该函数的输出 u 为一个 n 维的向量。设 a 的元素依次
并与拉格朗目多项式插值比较。 （2）样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某
汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：
xk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yk
0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29
数值分析思考题 1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？
er
e x
x x x
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、 取 2 1.41，计算 2 1 6 ，下列方法中哪种最好？为什么？
实验内容：
f
(x)
1
来自百度文库
1 25x 2
考虑区间[1,1] 的一个等距划分，分点为
则拉格朗日插值多项式为
xi
1
2i ,i n
0,1,2,..., n
Ln (x)
n i0
1
1 25xi2
li (x)
其中的 li (x) ， i 0,1,2,..., n 是 n 次拉格朗日插值基函数。
4、超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广
义逆的关系。
5、给出各种正交化方法的优劣比较。
6、用 Householder 变换求解下列线性方程组的极小最小二乘解
1 1 2 4
4
1 1 1 1
2 3 4 5
3 4 5 6
5 6
7 8
2、求解一个线性方程的 LU 分解法什么条件下可以保障成功？选主元
的目的是什么？分别用列主元和全主元 Gauss 消去法求解下列方程
组：
1128xx1133xx22
3x3 x3
15 15
x1 x2 x3 6
3、用平方根方法（Cholesky 分解法）求解下列方程组，并用紧凑格
的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目 1
1、实验 1. 病态问题
实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身 的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方 程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出 一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式
ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve)
上述简单的 Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的 。
实验要求： （1）选择充分小的 ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项
的系数 很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意
一、实验名称：实对称正定矩阵的 A 的 Cholesky 分解.
二、实验目的：用平方根法和改进的平方根方法求解线性方程组 Ax=b. 三、实验内容与要求 用所熟悉的计算机语言将 Cholesky 分解和改进的 Cholesky 分解编成通用的子程序，然后用 编写的程序求解对称正定方程组 Ax=b，其中 （1） b 随机的选取，系数矩阵为 100 阶矩阵
x1 x2 x3 x4
5 6 7 9
实验一
1．根据 Matlab 语言特点，描述 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 迭代法。 2．编写 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 迭代法的 M 文件。
（3）区间[a, b] 上切比雪夫点的定义为
xk
ba 2
b
2
a
cos
(2k 1) (2(n 1)
, k
1,2,..., n 1
以 x1, x2 ,..., xn1 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。
3、实验 3。 样条插值的收敛性
问题提出： 一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插 值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。通过本 实验可以验证这一理论结果。 实验内容： 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考 虑实验 2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用 Matab 的函数 “spline”作此函数的 三次样条插值。在较新版本的 Matlab 中，还提供有 spline 工具箱，你可以找到极丰富的样 条工具，包括 B-样条。 实验要求： （1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。分析所得结果
3．给定 A R2020 为五对角矩阵
3
1
1 2 3
1 4
1
1
种方法. 三、实验内容与要求 （1）用所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元 LU 分解编成通用的子程序，然后用编写的 程序求解下面的 84 阶方程组
将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对 Gauss 消去法的看法。 （2）写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组
实验二
（2）若方程组右端有微小扰动 b 2104,
2 104
T
，不用求解方程
组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。
数值分析思考题 5
1、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？
2、写出 n 次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合
的一般形式。
3、详述你所知道的矩阵分解，它们的意义如何？
3
2
（1） 3 2 2 ，（2） 7 5 2 ，（3）
1 3 ，（4） 1 6 ，（5）99 70 2
3 2 2
2 1
数值实验
数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大
致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可
2、用 Gauss 列主元消去法求解下列方程组
6 12
2 8
2 4
4 10
x1 x2
0 10
3 6
13 4
3 2
3 18
x3 x4
39 16
3、用改进的平方根（ A LDLT 分解）法求解下列方程组
y
' k
0.8
0.2
（3）计算此实验的 B-样条插值（选做）。
数值计算方法（二）
1、利用 Newton 方法和 Muller(抛物线)方法计算下列方程
f ( x) 2 x e x 2 cos( x) 6 0
在区间[1, 3] 上的实根，要求精度为 105 ，并比较迭代次数。
更敏感？
2、实验 2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge）现象
问题提出： 考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，
插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，Ln (x) 是否也更加靠近被逼
近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[1,1] 上函数
20
p(x) (x 1)(x 2)...(x 20) (x k) k 1
（E1-1）
显然该多项式的全部根为 l，2，…，20，共计 20 个，且每个根都是单重的（也称为简 单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动
p(x) x19 0
(E1-2)
其中 是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中 x19 的系数作一个小的扰动。我们希望
4 0 6 0 1 3
0 0
2 2
x1 x2
12
6
6 3 19 0 0 2
2 5
6 5
x3 x4
36
2
2 2 6 5 16 x5 21
实验一
一、实验名称：矩阵的 LU 分解. 二、实验目的：用不选主元的 LU 分解和列主元 LU 分解求解线性方程组 Ax=b, 并比较这两
料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？
（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成 x18 或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？
（3）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程(E1-2）写成展开的形 式，
p(x, ) x 20 x19 ... 0
同时将方程的解 x 看成是系数 的函数，考察方程的某个解关于 的扰动是否敏感，与 研究它关于 的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于 的变化
a1 x n a2 x n1 ...an x an1 0
的全部根，而函数 b=poly(v)
的输出 b 是一个 n＋1 维变量，它是以 n 维变量 v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots” 和“Poly”是两个互逆的运算函数.
（2） 系数矩阵为 40 阶 Hilbert 矩阵，即系数矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素为
，向量 b 的第 i 个分量为
（3） 用实验一的程序求解这两个方程组，并比较所有的计算结果，然后评价各个方法的
优劣。
实验三
实验名称：直接法的时间复杂性试验。 实验目的：分别用三种不同方法求解线性方程组 Ax=b，不同工作量得出不同时间。 实验内容与要求：
式存储。
16 4 8 x1 4
4
5
4
x2
3
8 4 22 x3 10
4、已知线性方程组
2.0002 1.9998
1.9998 2.0002
x1 x2
4 4
（1）求系数矩阵的逆 A1 和条件数 cond ( A) ；
（2）用 Matlab 语言自编 M 文件分别用 x A \ b ， x inv( A) *b 和追赶法计算这三对
角方程组；并分别记录所花费的 CPU 时间； (3) 分析结果，得出你的结论。
数值分析思考题 4
1、Gauss 消去法和 LU 三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工
作量为多少？平方根方法的工作量为多少？
求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊
结构的中小规模线性方程组时，Gauss 消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具 有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss 消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正 定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态
生成方程组 Ax b 中矩阵 A 和右端项 b ，分别用 x A \ b ，x inv( A) *b 和三角分解
法计算，并分别记录所花费的 CPU 时间，进行分析比较。 实验要求：
（1）取 n 300 ，随机生成 A 的一条主对角线元素和二条次对角线元素，使 A 为严格 对角占优的三对角阵和 b ；其中三条对角线元素分别用三个一维数组存储；
实验要求：
（l）选择不断增大的分点数目 n 2,3,... ，画出原函数 f (x) 及插值多项式函数 Ln (x) 在
[1,1] 上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数
h(x)
x 1 x4
,
g(x)
arctan
x
重复上述的实验看其结果如何。
比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots”和“poly”，输入函数 u＝roots（a）
其中若变量 a 存储 n 1维的向量，则该函数的输出 u 为一个 n 维的向量。设 a 的元素依次
并与拉格朗目多项式插值比较。 （2）样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某
汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：
xk
0
1
2
3
4
5
6
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8
9
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yk
0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29
数值分析思考题 1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？
er
e x
x x x
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、 取 2 1.41，计算 2 1 6 ，下列方法中哪种最好？为什么？
实验内容：
f
(x)
1
来自百度文库
1 25x 2
考虑区间[1,1] 的一个等距划分，分点为
则拉格朗日插值多项式为
xi
1
2i ,i n
0,1,2,..., n
Ln (x)
n i0
1
1 25xi2
li (x)
其中的 li (x) ， i 0,1,2,..., n 是 n 次拉格朗日插值基函数。
4、超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广
义逆的关系。
5、给出各种正交化方法的优劣比较。
6、用 Householder 变换求解下列线性方程组的极小最小二乘解
1 1 2 4
4
1 1 1 1
2 3 4 5
3 4 5 6
5 6
7 8
2、求解一个线性方程的 LU 分解法什么条件下可以保障成功？选主元
的目的是什么？分别用列主元和全主元 Gauss 消去法求解下列方程
组：
1128xx1133xx22
3x3 x3
15 15
x1 x2 x3 6
3、用平方根方法（Cholesky 分解法）求解下列方程组，并用紧凑格
的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目 1
1、实验 1. 病态问题
实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身 的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方 程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出 一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式
ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve)
上述简单的 Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的 。
实验要求： （1）选择充分小的 ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项
的系数 很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意
一、实验名称：实对称正定矩阵的 A 的 Cholesky 分解.
二、实验目的：用平方根法和改进的平方根方法求解线性方程组 Ax=b. 三、实验内容与要求 用所熟悉的计算机语言将 Cholesky 分解和改进的 Cholesky 分解编成通用的子程序，然后用 编写的程序求解对称正定方程组 Ax=b，其中 （1） b 随机的选取，系数矩阵为 100 阶矩阵
x1 x2 x3 x4
5 6 7 9
实验一
1．根据 Matlab 语言特点，描述 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 迭代法。 2．编写 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 迭代法的 M 文件。
（3）区间[a, b] 上切比雪夫点的定义为
xk
ba 2
b
2
a
cos
(2k 1) (2(n 1)
, k
1,2,..., n 1
以 x1, x2 ,..., xn1 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。
3、实验 3。 样条插值的收敛性
问题提出： 一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插 值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。通过本 实验可以验证这一理论结果。 实验内容： 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考 虑实验 2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用 Matab 的函数 “spline”作此函数的 三次样条插值。在较新版本的 Matlab 中，还提供有 spline 工具箱，你可以找到极丰富的样 条工具，包括 B-样条。 实验要求： （1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。分析所得结果
3．给定 A R2020 为五对角矩阵
3
1
1 2 3
1 4
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1
种方法. 三、实验内容与要求 （1）用所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元 LU 分解编成通用的子程序，然后用编写的 程序求解下面的 84 阶方程组
将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对 Gauss 消去法的看法。 （2）写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组
实验二
（2）若方程组右端有微小扰动 b 2104,
2 104
T
，不用求解方程
组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。
数值分析思考题 5
1、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？
2、写出 n 次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合
的一般形式。
3、详述你所知道的矩阵分解，它们的意义如何？
3
2
（1） 3 2 2 ，（2） 7 5 2 ，（3）
1 3 ，（4） 1 6 ，（5）99 70 2
3 2 2
2 1
数值实验
数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大
致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可
2、用 Gauss 列主元消去法求解下列方程组
6 12
2 8
2 4
4 10
x1 x2
0 10
3 6
13 4
3 2
3 18
x3 x4
39 16
3、用改进的平方根（ A LDLT 分解）法求解下列方程组
y
' k
0.8
0.2
（3）计算此实验的 B-样条插值（选做）。
数值计算方法（二）
1、利用 Newton 方法和 Muller(抛物线)方法计算下列方程
f ( x) 2 x e x 2 cos( x) 6 0
在区间[1, 3] 上的实根，要求精度为 105 ，并比较迭代次数。
更敏感？
2、实验 2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge）现象
问题提出： 考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，
插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，Ln (x) 是否也更加靠近被逼
近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[1,1] 上函数
20
p(x) (x 1)(x 2)...(x 20) (x k) k 1
（E1-1）
显然该多项式的全部根为 l，2，…，20，共计 20 个，且每个根都是单重的（也称为简 单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动
p(x) x19 0
(E1-2)
其中 是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中 x19 的系数作一个小的扰动。我们希望
4 0 6 0 1 3
0 0
2 2
x1 x2
12
6
6 3 19 0 0 2
2 5
6 5
x3 x4
36
2
2 2 6 5 16 x5 21
实验一
一、实验名称：矩阵的 LU 分解. 二、实验目的：用不选主元的 LU 分解和列主元 LU 分解求解线性方程组 Ax=b, 并比较这两
料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？
（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成 x18 或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？
（3）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程(E1-2）写成展开的形 式，
p(x, ) x 20 x19 ... 0
同时将方程的解 x 看成是系数 的函数，考察方程的某个解关于 的扰动是否敏感，与 研究它关于 的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于 的变化