极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线及高中圆锥曲

线必备公式

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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∙百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》

∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》

等优秀内容.

极点极线

定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x0,y0) [其中A+B≠0,

点．P．不在曲线中心和渐近线上

．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A∙x0x+B∙y0y+C∙x0+x

2+D∙

y0+y

2+E=0

是圆锥曲线С的一对极点和极线.

即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x，以x0+x

2替换x，以y0y替换y,以

y0+y

2替换

y则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L.

特别地：

(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x0,y0)对应的极线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-

b)=r；

(2)对于椭圆x

a+y

b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

x0x

a+

y0y

b=1；

(3)对于双曲线x

a-y

b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

x0x

a-

y0y

b=1；

(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部

．．．．．．．．．．．]:

①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-

b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x

a+

y0y

b=

x0

a+

y0

b；若是双曲线,则此时

中点弦的方程为x0x

a-y0y

b=

x0

a-

y0

b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-

p(x0+x)=y0-2px0)；

④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线

．．；

⑤极点极线的对偶性:

Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的

极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图中点

．．．P．n．与．直线

．．Ln．．是一对极点极线

．．．．．．．]；

Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的

极线L上 [图中点

．．．P．与．直线

．．ST．．是一对极点极线；点

．．．．．．．．．T．与直线

．．．SP．．是一对极点极

．．．．．．线．] ；

Ⅲ. 点P是曲线C的极点，它对应的极线为L，则有:

1)若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则

OP∙OQ=OR即OP

OR =

OR

OQ

椭圆如图

双曲线如图

2) 若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR 如图

中学数学中极点与极线知识的现状与应用

虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破

而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆x

a

+

y

b

=1的焦点的极线

方程为: x=a

c

.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的

统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.

圆锥曲线基础必备

极点极线例题