九年级数学二次函数压轴题专项练习

九年级数学二次函数压轴题专项练习

1 如图，经过点A(0，－6)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B(－2，0)，C 两点． (1)求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；

(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m ＞0)个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；

(3)在(2)的结论下，新抛物线y 1上是否存在点Q ，使得△QAB 是以AB 为底边的等腰三角形，请分析所有可能的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围．

解：(1)将A (0，－6)，B (－2，0)代入y ＝12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧－6＝c ，0＝2－2b ＋c ，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－6.

∴抛物线的函数关系式为y ＝12x 2－2x －6，∵y ＝12x 2－2x －6＝12

(x －2)2－8，∴顶点D (2，－8) (2)由题意得y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ＝12

(x －1)2－8＋m ，∴顶点P (1，－8＋m )，在抛物线y ＝12

x 2－2x －6中易得C (6，0)，∴直线AC 解析式为y 2＝x －6，当x ＝1时，y 2＝－5，∵要使新抛物线的顶点P (1，－8＋m )在△ABC 内，∴－5＜－8＋m ＜0，解得3＜m ＜8 (3)∵A (0，－6)，B (－2，0)，∴线段AB 的中点坐标为(－1，－3)，直线AB 的解析式为y ＝－

3x －6，∴过AB 的中点且与AB 垂直的直线的解析式为：y ＝13x －83，∴直线y ＝13x －83

与y ＝12(x －1)2－8＋m 有交点，联立方程，求的判别式为：Δ＝64－12(6m －29)≥0，解得m≤10318

，∴①当3＜m ＜10318时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形；②当m ＝10318

时，存在一个点Q ，可作出一个等腰三角形；③当10318

＜m ＜8时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形

2． 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，－4)，与y 轴交于点C(0，－3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；

(3)若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意得⎩⎨⎧－b 2＝－1，4c －b 24＝－4，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3，则抛物线的解析式为：y ＝x 2＋2x －3 (2)

∵抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3，令y ＝0，即x 2＋2x －3＝0，可解得x ＝1或x ＝－3，∵点A 在点B 的左侧，∴点A (－3，0)，又C (0，－3)，D (－1，－4)，∴AC ＝9＋9＝32，CD ＝1＋1＝2，AD ＝4＋16＝25，∵AC 2＋CD 2＝AD 2＝20，∴△ACD 为直角三角形

(3)∵A (－3，0)，B (1，0)，∴AB ＝4，∵点E 在抛物线的对称轴上，∴点E 的横坐标为－1，①当AB 为平行四边形的一边时，EF ＝AB ＝4，∴F 的横坐标为3或－5，把x ＝3或－5分别代入y ＝x 2＋2x －3中，得到y ＝12，∴F 的坐标为(3，12)或(－5，12)；②当AB 为平行四边形的对角线时，平行四边形的对角线互相平分，∴F 点必在对称轴上，即F 点与D 点重合，∴F (－1，－4)，∴所有满足条件的点F 的坐标为(3，12)，(－5，12)，(－1，－4)