在“做数学”中发现数学之美

体现 了“ 学是 过程 ， 数 是活动 ， 学数学 就是做数 学” 的理念 ， 突 出了学生 的主体地位 ， 其教学意义不言 自明。 数学美及其含义解读 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学 。数
一
、
学美是反映 自然界在数量关 系与空 间形式上合 目的性 与合
规律性 的和谐统 一 ， 是科学的本质力量 的感性与理 性显现 。 从表 面上看 ， 数学就是符号 、 数字 、 图形 、 概念 、 式 、 公 逻辑 关 系等 ， 它精炼 、 准确 ， 富于形象化 、 形式化 ， 又显得 抽象 、 却 单 调、 枯燥 、 秘 、 神 繁复 ， 学美 主要 就 是通 过 这些 “ 而 严 数 冷
项式 、 最简分式、 简根式 等 ）几何 作 图中 “ 最 ， 尺规 作 图” 问 题， 解析几何 中的椭 圆、 双曲线 、 抛物 线 的标 准方 程 ， 等等 ， 无不是简单性 的体现。 ２ 和谐性 。德 国物理学 家海森堡指 出“ 是一 个部分 ． 美 与另一个部分及整体 的固有 的和谐。 数学美 的和谐 性是 指 ” 数学 内容 与结构系统 的协调完备和数学所 表现 出的均衡对 称， 其实质是数学中对 立统一 的概念 、 运算 、 、 命题 图形等 在 结构 与形式方 面的体现 。 － 和谐是数学美 的基本 内容 ， ２ 它给
奇异 等形式 ， …数 学之美 ， 处不在。 无
二、 数学美的基本 内容
数学美 的概念伴随着数学 的发展相继有一定发展和 演 变， 但是 ， 它的基本 内容是相对稳定 的， 主要体 现在 ： １简 洁性 。爱 因斯坦 说 过 ： 美 ， 质上 终 究 是 简单 ． “ 本 性。 彭加莱说 ， ” 简单性 就是 一种美 。数学 的简 洁美 ， 并不 是 指数学内容本 身简 单 ， 而是 指数学 的表达形 式和 数学理 论 体系的结 构简洁。数学 中许多定义 、 定理 、 符号语言都 简沽 明了 ， 数学 中的许多定理 、 公式 、 论证都充 满着 简洁 的特征 ， 数学 中好多复杂的问题都归 结为简单 的公式 、 理和关 系 定 式。对 于 亿 分 之 一 ， 们 乐 于 写 成 １ 而 不 写 成 人 Ｏ“
合的组合 ， 是一 门“ 枯燥 、 繁难 、 烦琐 ” 的学 科。学生学 习兴 趣低 落 ， 习的愿望或意 向消沉 ， 学 教学质量难 以提 高。利用 数学美恰 能起 到弥 补学 生在 此方 面 的缺 陷。斯 托 利亚 尔 说 ：数学教 学是数 学活动 的教学 。 弗赖登 塔尔认 为 ： 学 “ ” “ 个活动的最好方法是做 。 学生通过 “ 数学 ” 从 中感受 ” 做 ，
理论证 、 思维方法……之中的统 一、 简捷 、 和谐 、 对称 、 严谨 、
自我唤醒的力量 ， 培养起 对数 学学 习的热情和追求 。同时 ， 学生亲 自去实践 ， 主动去探求 和发 现 ， 将能深刻感受和体验 数学知识 的建构过程 ， 享受到数学美给他们带来 的乐 趣 ， 在 促进数学认知过程 中获得丰富 的情感体验。这种方式真正
一
的， 就像人站在花 园外面 ， 说花 园里枯燥无味一样 。 数学美 ” 是客观存在 的 ， 不仅有表现 的形式美 ， “ 而且有 内容美 与严
到数学知识鲜活 、 的一 面 ， 美 将能激发起强烈的求 知欲望和
谨美 ； 不仅有具体 的公式 、 美 ， 定理 而且有结构美与整体 美 ； 不仅有语言精巧美 ， 而且有方法美与思路美 ； 不仅 有逻辑抽 象美 ， 而且有创造美与应用美 。 简而言之 ， ” 数学美 即是蕴藏 于它所特有 的抽象概念 、 公式符号 、 命题模 型、 结构 系统 、 推
受， 或感官上 的直接 冲击 ， 学美与 之不 同， 数 它美 在理 性 的 外 部形 式 ， 更美在数 学的方法 、 思想 和结论 的 内部 ， 含着 包 深层的逻辑思考与复杂 的推理运算 过程 ， 融合 了人 的思维 创造。英国著名的数学家 、 哲学家罗素说过 ：数 学 ， “ 如果正 确地看待它 ， 不但拥 有真理 ， 而且也 具有至 高 的美 ， 像雕 正 刻的美 ， 是一种 冷而严肃 的美 。 美 国数学家 克莱 因也 曾对 ” 数学美 做过这样 的描述 ：数学是人类 最高超 的智力 成就 ， “ 也是人类心灵最独特 的创作 。音乐 能激发 或抚慰 情 怀 ， 绘 画使人赏心悦 目， 诗歌能动人 心弦 ， 哲学使 人获 得智 慧 ， 科 技可 以改善物质生 活 ， 却能提供 以上一切 。华 罗庚也 数学 ”
“ 奇异是一 种美 ， 异 到极度 更 是 一种 美。 数 学 的奇 奇 ”
定 的条件下可 以处 在一 个统一 体 中。例 如 ， 在集 合论 建立
以后 ， 代数 中的“ 运算 ” 几何 中的“ 、 变换 ” 分析中的“ 、 函数 ” 这 三个 不同领域 中的概 念可 以统 一于 “ 映射 ” 概念 中。３在 ［
人们 一种 圆满 而匀称 的美感与享受 。常见的表现形式是 统
・ 收稿 日期 ：０ １一ｏ ２ ２１ ８－ ０
第１ １期
一
纪宏伟
在“ 数学” 做 中发现 数 学之 美
案例 ２圆锥曲线的统一形式
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美和对称性 。统 一美 通 常 表 现为 概念 、 律 、 法 的统 规 方
。
一
数学中一些表面 看来 不 相 同的概念 、 定理 、 法则 ， 在一
线的变化过程 的动态 演示 ， 揭示 了三者 之 间的 内在 联 系与 区别。当 ０＜ ＜１时 ， ｅ 形成 的是椭 圆 ； ｅ 当 ＞１时 ， 形成是 双
曲线 ； ｅ 当 ＝１时 ， 形成 的是抛 物线 。常数 ｅ由 ０ ９９或 由 ．９
几 何对 称与代 数 对称 。如参 数 方程 和 极坐 标表 示 的双 纽 线、 心脏线 、 玫瑰线等 ， 函数 中的无穷小量 与无 穷大量 ， 曲线 的凹与凸 ， 阵中 的对 称矩 阵 ， 合 函数 的求 偏导 公式 等 ， 矩 复 都 给人 以审美 的愉悦感 。 ３ 奇异 美 。弗兰西斯 ・ 根认为 “ ． 培 美在 于独 特而令 人 惊异， 没有一个极 美 的东西不 是在调 和 中有 着某些 奇异 。 ” 数 学的奇异美是指数学 中的和谐或统一在一定条件 下的破 坏， 是数学 的新思 想 、 新方法 对原有习惯法则和统一格 局 的 突破 。４哈密顿 四元 数 的发现 ， 【 表现 出异 于寻 常 的奇异美 ， 推 动了线性代数 的研 究 ， 打开 了现 代抽象 代数 的大 门。 函 数 ， ｚ ＋ ／ 复平面 内处处连续却处处不 可导 ， 亚诺 （）＝ ｙ 在 皮 曲线 、 直纹 曲面等都体现 了奇异 之美 。数学 中新颖的结论 、 出人 意料的反例和 巧妙 的解题方法都表现 出了一种独 特 的 令 人惊 讶的奇异 ， 也让人体会到一种 奇特新颖 之美 感 ５ 【奇 异 性结 果的获 得则 又 往往 意 味着 冲破 了原 先认 识 的局 限 性， 成为新思想 和新方法 的起点 。
味。
案 例 １棱柱 、 棱锥 、 台的辩证统一 棱 事 物都 是普遍联 系 的， 是对 立统一 的。数学 中许 多 都 定理 、 公式 、 概念之 间互相转 化 ， 互相推导 ， 知识体系 达到 使 完美 和谐 的统一 。如 图 １ 点 Ａ控制棱 台的高 ， ， 点 控制 棱 台的倾斜程度 ， ｃ是 主控 点 ， 用点 ｃ的位置 控 制其 他 点 利 元素 的位置 变化 ， 动点可 以手动表现为棱柱 、 拖 棱锥 、 台 ， 棱
使他们在 美的熏陶下， 到情感的共鸣和 思维的启迪 ， 得 从而把 学习和研究数 学作为主动 、 觉和愉快 的事 ， 自 发展数
学能力， 高学 习兴趣 ， 提 完善 学习方式 。 关键 词 ： 做数 学； 学美； 数 计算机技 术
中图分 类号 ：４ Ｇ２ 在不少学 生眼里 ， 学是冰冷 的数字 和抽象奇 特 的符 数 文献标识码 ： Ａ 曾说 ：认 为数学枯燥无味 ， “ 没有艺术性 ， 这种看法是不正确
肃” 的事物来反映理论 内在 的绚丽多 姿而又深 邃含蓄 的层
而丽 １
， 三角函数众多繁杂的诱导公式， 可借助十个字
ห้องสมุดไป่ตู้
面， 以其“ 严谨 、 雅致 、 含蓄” 来表现着 数学 中内蕴的美 的独
特 品质。艺 术美 和 自然美常 给予 人形 象 思维 上 的直接 感
的口诀“ 奇变偶不变 ， 号看象 限 ” 符 高度概 括 （ 这一 ） 简洁 的符号表达 了极为 丰富 的内涵 ， 数学理 论 的表 述和 给 论证带来 了极大的方便。数 学 中的“ 最简形式 ” 如 最简多 ＜
第３ １卷 第 １ 期 １
２ １ １ ｌ 年 ０ １月
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Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｎ ｎ ｉｅ ｓｌ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｎ ｉｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ
文章 编号 ：０ ６— ３ ２ ２ １ ） １ ０ ８ Ｏ １０ ５ ４ （０ １ ｌ — １０一 ３
圆
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圆
图 ２ 圆锥曲线 的统一形式
而这几 种曲线又完全可看作不 同的平面截 圆锥 面所得 到 的截 线。 如图 ３ 拖动 点 Ａ、 Ｃ 将全 方 位展 示 出三种 ， 、 ， 曲线直 观的变化 、 转化过程 和特 征 ， 深邃含蓄 的的奇 异之美 跃然纸上 ， 让学生新奇与兴奋不 已。通过做数 学 ， 整个 知识 的形成过程 清晰地展 现在眼前 ， 学生感悟 到数 学的魅力 ， 获 得 审美体验 ， 对圆锥 曲线 内容 必然产 生兴趣 并表 现 出心驰 神往 。数学不再 是 冷 冰冰 的世 界 ， 学 学 习不再 枯燥 、 数 乏
异美使这个规 律化 、 式化 的世 界 常常 出现 意 外 的、 颖 程 新 的、 带有独创性 的成果 ， “ 既 出人意料 ” 又在 “ 情理之 中” 令 ， 人兴奋 、 激动 而又兴趣 盎然 。 图 ２ 通 过 ｅ ｅ ０ 值 由小 －如 ６ ， （＞ ）
到大的不 同赋值而引起 的相应 图形 由椭圆一抛物线一 双 曲
积 分运算中 ， 积分 、 线 面积分都可分别 由格林公式 和奥 一高 公 式转化为重积分 ， 重积分 又可 由累次积 分转 化为 定积 而 分， 定积分又 可通 过牛顿 一莱布 尼茨公式 转化 为不定积 分 ， 从 而使 各种积分运算 都统 一到求 不定积 分 的运算 ， 识体 知 系达到完美和谐 的统一 。对 称通常指 图形或物体对 于某个 点、 直线或平 面而言 ， 们在 大小 、 状和排 列上 具有 一一 他 形 对 应关系。在数学 中 ， 对称 的概念 略有拓 广 ， 常把某些 具有 关 连或对立的概念 视为对 称 。 ¨ 数学 的对称美 主要体 现为
三、 做 数学” 在“ 中发现数学之美
１０１ ．０ 变为 １相差很小 ， 的却是形状 、 质完全不 同的 ， 形成 性 曲线 ， 让人惊愕 和诧异 。通 过拖动 的值 ， 生将 清楚地 目睹 学 同步达到 的屏幕 图形 的变化 以及 由渐变 到质 变 的过 程 ， 领 略逼真动人 、 奇妙 生动的情境 ， 受到这令 人激动不 已的奇 感 异 产生的美感 。
在“ 数学” 做 中发 现 数 学 之 美
纪 宏 伟
（ 江苏教育学院 如皋分院， 如皋 ２６ ０ ） 江苏 ２ ５０
摘 要： 学生普遍 感到数 学“ 抽象” “ 、 枯燥” “ 秘” “ 、神 、 繁复” “ 、 乏味” 难以接 受 ， 而数 学作为 自然科 学的基础 ， ， 然
其本 身具有许 多美的特征和丰 富多彩的 美的 因素。学生在“ 做数 学”中发现数 学之 美， 可以促进其有 意义学习， 将