人教版八年级上册寒假作业

数学寒假作业
目录
第十一章全等三角形 1
第一节全等三角形1
【知识要点】1
【典型例题】1
【知识运用及提高】2
第二节三角形全等的判定4
【知识要点】4
【典型例题】5
【知识运用及提高】7
第三节角的平分线的性质9【知识要点】9
【典型例题】10
【知识运用及提高】12
第十二章轴对称 14
第一节轴对称14
【典型例题】14
【知识运用及提高】15
第二节作轴对称图形16【知识要点】16
【典型例题】16
【知识运用及提高】17
第三节等腰三角形19
【典型例题】19
【知识运用及提高】20
第十三章实数 21
第一节平方根21
【知识要点】21
【典型例题】21
【知识运用及提高】23
第二节立方根24
【知识要点】24
【典型例题】25
【知识运用及提高】27
第三节实数28
【知识要点】28
【典型例题】29
【知识运用及提高】31
第十四章一次函数 33
第一节变量与函数33
【知识要点】33
【知识运用及提高】35
第二节一次函数38
【知识要点】38
【典型例题】38
【知识运用及提高】40
第二节一次函数（二）40
【知识要点】41
【典型例题】41
【知识运用及提高】42
第三节用函数观点看方程(组)与不等式43【知识要点】43
【知识运用及提高】44
第十五章整式的乘除法与因式分解 47
第一节整式乘除47
【知识要点】47
【典型例题】48
【知识运用及提高】50
第二节因式分解52
【知识要点】52
【典型例题】52
【知识运用及提高】54
综合复习（一） 56
综合复习（二） 60
综合复习（三） 63
综合复习（四）67
【参考答案】 69
2
第十一章全等三角形
第一节全等三角形
【知识要点】
1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形.
注：①形状、大小相同；②能够完全重合.
2. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.
3. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
4. 寻找对应边、对应角的方法、规律
（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.
请你找出下列各图中的对应边和对应角.
【典型例题】
例1、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.
分析：先将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B＝∠C，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，
对应角对的边是对应边.
解：对应角有：∠BAE和∠CAD；对应边有：AB和AC，AE和AD，BE和CD.
评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE≌△ACD”，按字母的对应位置
写出对应边：AB与AC，AE与AD，BE与CD；类似的，可写出它们的对应角，能
有效地防止出错.
例2、如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；
②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC. 其中正确的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
分析：同学们很容易错选D. 错误的原因是：没有正确识图，把∠FAC
和∠EAB误以为也是对应角，从视觉上认为其相等，而没有根据.
解：C
评析：利用掌握的规律确定对应边和对应角. 另外要正确识图，得到相等
的边和角，然后利用这些条件再判断其它的线段和角的相等情况.
例3、如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝__________.
1
分析：首先在△OBC中，由三角形内角和可知∠OBC＝180°－∠O－∠C＝
95°，由△OAD≌△OBC可知∠OAD＝∠OBC＝95°.
解：95°
评析：这类题目主要运用全等三角形的性质和三角形中内角和与外角的知识.
例4、已知△ABC≌△DEF，且AB＝5，S△ABC＝10. 求DE边上的高.
分析：根据全等三角形的性质可知DE＝AB＝5，同时，△ABC和△DEF的
面积相等. 利用面积可求出DE边上的高.
解：因为△ABC≌△DEF，所以：
DE＝AB＝5，S△DEF＝S△ABC＝10.
设DE边上的高为h，
评析：全等三角形的对应边、对应角相等，面积也相等. 要求三角形一边上的高，我们必须求得这条边的长和它所在三角形的面积.
例5、已知：如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A＝52°，∠B＝31°21′，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长.
分析：根据全等三角形的性质易知AB＝DE
＝10cm，∠F＝∠C，而根据三角形内角和定理
可求出∠C.
解：因为△ABC≌△DEF，所以AB＝DE
＝10cm，∠F＝∠C，
又∠C＝180°－（∠A＋∠B）
＝180°－（52°＋31°21′）
＝96°39′
所以∠F＝96°39′.
评析：目前求线段和角的有关问题往往利用全等三角形的性质求解，在求解的过程中我们要善于将未知问题转化为已知条件来解答.
例6.如图所示，已知AB＝CD，BE＝DF，△ABE≌△CDF，求证：AB∥CD，AE∥CF.
分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB∥CD，只要∠ABE＝∠CDF，而这两个角是△ABE和△CDF的一对对应角，至于AE与CF 的平行，只需∠AED＝∠CFB，这两个角不在△ABE和△CDF中，但却是∠AEB与∠CFD的邻补角.
证明：△ABE≌△CDF，AB＝CD，BE＝DF
∴∠ABE＝∠CDF；∠AEB＝∠CFD（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
而∠AED＝180°－∠AEB，∠CFB＝180°－∠CFD
∴∠AED＝∠CFB（等角的补角相等）
则AE∥CF
评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.
【知识运用及提高】
一. 选择题
1. 下列说法正确的是（）
A. 全等三角形是指形状相同的三角形节
B. 全等三角形是指面积相等的三角形
C. 全等三角形的周长和面积都相等
D. 所有的等
边三角形都全等
2. 如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（）
2
A. 30°
B. 50°
C. 60°
D. 100°
3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若
△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
4. 已知△ABC≌△A´B´C´，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A´C´等于（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5. 如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）
A. ∠1＝∠2
B. AC＝CA
C. ∠B＝∠D
D. AC＝BC
6. 如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，
使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）
A. △ADC
B. △BDC´
C. △ADC´
D. 不存在
7. 下图中，全等的图形有（）
A. 2组
B. 3组
C. 4组
D. 5组
8. △ABC与△DFE是全等三角形，A与D对应，B与F对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
二. 填空题
9. 已知△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，则AC的对应边是__________，
∠ACB的对应角是__________.
10. 如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△
DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC
的面积为__________.
11. 如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，
则∠CAE＝__________°.
12. 如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，则∠D的对应角是
__________，图中相等的线段有__________.
13. 如图所示，△APB与△CPD全等.
（1）相等的边是：AB＝CD，__________，__________；
（2）相等的角是：∠A＝∠C，__________，__________；
（3）△APB如何变换得到△CPD？_____________________________.
14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝__________.
三. 解答题
15. 如图所示，已知△ABD≌△ACE，∠B＝∠C，
试指出这两个三角形的对应边和对应角.
16. 如图所示，已知△ABC≌△FED，且BC＝ED，
那么AB与EF平行吗？为什么？
3
A
B C
D
E F
A B C
D E F
17. 如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，
∠B＝30°，∠ACB＝85°，求△AEC各内角的度数.
18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.
19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）
（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？
20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那
样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC
翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△
ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
第二节三角形全等的判定
【知识要点】
1. 三角形全等的判定
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

表示方
法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成
“角边角”或“ASA”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。

（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF 中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜
边、直角边”或“HL”。

表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t
△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。

4
5
A B C
D A B C
D
E F 注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，显然它们不全等。

③三个角对应
相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

2. 全等三角形的基本图形
在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。

在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。

掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。

【典型例题】
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。

求证：△ABC ≌△DCB 。

分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角
形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。

证明：在△ABC 和△DCB 中， ∵，
∴△ABC ≌△DCB （SSS ） 评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

例2. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF 。

求证：AC ∥DF 。

分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。

而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。

由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF 即可达到目的。

证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。

在△ABC 和△DEF 中，，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。

∴∠ACB ＝∠F 。

∴AC ∥DF 。

评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。

这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列。

例3. 如图所示，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。

分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，
CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。

由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。

证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD
A B
C D A
B
C
D
E
F
6
B
C A
P Q M
A B C E F D ∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90° ∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等） 又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90° 在△CFB 和△ADC 中， ∴△CFB ≌△ADC （AAS ）
∴CF ＝AD ，BF ＝CD （全等三角形的对应边相等） 又∵CF ＝CD －DF ∴AD ＝BF －DF 评析：由条件AC ＝BC 和垂直关系可得，AC 、BC 为两个直角三角形的斜边，还需 要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。

例4. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。

分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。

事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。

证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）
又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）
又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） 评析：由平行条件转化角，由线段和差关系转化线段，为证三角形全等做准备。

解题思路：由已知条件，探寻三角形全等的条件，证得全等，再利用全等的性质解决相关问题。

例5. 如图所示，R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。

问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？
分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C ＝∠PAQ ＝90°，PQ ＝AB ，则只需AP ＝CB 或 AP ＝CA ，由HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。

解：由题意可知，∠C ＝∠PAQ ＝90°，又AB ＝PQ ，要使△ABC ≌△PQA ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA 即可，从而当点P 运动至AP ＝5cm ，即AC 中点时，△ABC ≌△QPA ；
或点P 与点C 重合时，即AP ＝CA ＝10cm 时，△ABC ≌△PQA 。

评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。

解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。

本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。

例6.如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上，连结CD 、AE ，并延长AE 交CD 于F 。

（1）求证：△ABE ≌△CBD 。

（2）直线AE 与CD 互相垂直吗？请证明你的结论。

分析：根据已知条件易得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°正好是△ABE 和△CBD 全等的
条件。

对于AE 与CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA ＝90°。

证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，
∴AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90° ∴△ABE ≌△CBD （SSA ）
（2）AE ⊥CD ，
∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB ＝∠ECF ，∠AEB ＝∠CEF ，且∠ABE ＝90°， ∴∠ECF ＋∠CEF ＝∠EAB ＋∠AEB
∴∠ECF ＋∠CEF ＝180°－（∠EAB ＋∠AEB ）
A B E F C D
7
A B
C
D
E 1
2
第4题
F A B
C
D
E
F 第7题
A
B
C
D 第8题
A
B
C
D E F
第9题
即∠AFC ＝∠ABE ＝90° ∴AE ⊥CD 。

评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。

【知识运用及提高】
一. 选择题
1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是 （ ）
A. 有两边和夹角对应相等
B. 有三边分别对应相等
C. 有两边和一角对应相等
D. 有两角和一边对应相等 2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 有三个角相等
B. 有一条边和一个角相等
C. 有一条边和一个角相等
D. 有一条边和两个角相等 3. 如图所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，那么图中共有全等三角形 （ ） A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对
4. 如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ）
A. ∠E ＝∠B
B. ED ＝BC
C. AB ＝EF
D. AF ＝CD
5. 如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交
AC 于F ，若∠1＝∠2，∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，则 （ ） A. △ABC ≌△AFE B. △AFE ≌△ADC
C. △AFE ≌△DFC
D. △ABC ≌△ADE 6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
7. 如图所示，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝90°， AB ＝DC ，那么图中的全等三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ， 且BC ＝6cm ，则BD ＝__________. （ ）
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm 9. 如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AE ＝AF ，则下列结论成立的是 （ ）
A. BD ＝CD
B. DE ＝DF
C. ∠B ＝∠C
D. AB ＝AC
二. 填空题
10. 如图所示，AC ∥BD ，AC ＝BD ， 那么__________，理由是__________.
11. 已知△ABC ≌△A'B'C'，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，AC ＝9cm ，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________，∠C'＝__________，∠C ＝__________. 12. 如图所示，已知AB ＝AC ，在△ABD 与△ACD 中，要使△ABD ≌△ACD ， 还需要再添加一个条件是____________________.
13. 如图所示，已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，CF ＝2cm ，∠A ＝70°，∠B ＝65°，则∠D ＝__________，∠F ＝__________，DE ＝__________，BE ＝__________.
14.如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，AE ＝AD ，要使△
A
B
C
D O 第3题
A
B
C
D
E 1
23第5题
F
A
B
C
D
O
第10题
A B
C D 第12题
8
ABE ≌△ACD ，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.
15.如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，
请你再补充一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，你补充的条 件是__________.
三. 解答题
16. 已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ， 求证：AC ＝AD.
17. 如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ， AC ＝DF ，AC ∥DF.
（1）求证：△ABC ≌△DEF ； （2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）
18.你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？
19. MN 、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的B 、E 两处，这时他们分别从B 、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A 、D 两点，他们的行走路线AB 、DE 平行吗？请说明你的理由.
20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A 、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.
方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？
方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A 、B 的点C ，连结AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连结BC 并延长到E ，使CE ＝CB ，连结DE ，量出DE 的长，这个长就是A 、B 之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？
A
B
C
D 12
A
B
C
D
E
F
C O
A'A
B'
B
A
B
C D E
A
B
②
C
E
D
A
B C
D E F ①
21. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么在什么情况下，它们会全等?
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）.
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.
求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. （请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B ，B 1作BD ⊥CA 于D ，B 1D 1⊥C 1A 1于D 1.
则∠BDC ＝∠B 1D 1C 1＝90°，
∵BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1，
∴△BCD ≌△B 1C 1D 1，
∴BD ＝B 1D 1.
______________________________。

（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.
第三节 角的平分线的性质
【知识要点】
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；
②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；
③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①推导
已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为点A 、点B ．
求证：PA ＝PB ．
证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON
∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°
∵OC 平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO 和△PBO 中，
∴△PAO ≌△PBO
∴PA ＝PB
②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，
∴PA ＝PB ． A B C D A 1B 1C 1D 1
（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
3. 角平分线性质及判定的应用
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的
距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下
图中标出工厂的位置，并说明理由．
4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．
【典型例题】
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把
点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．
证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），
∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．
又∵AC＝AC′（已知），
∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
∴∠ABC＝∠ABC′．
（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，
∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．
即∠BAC＝∠BAC′，
∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，
∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．
例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判
定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推
得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．
解：AD平分∠BAC．
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．
例3.如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，
因此要作出点P到三边的垂线段．
解：AP平分∠BAC．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．
∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理PF＝PE，∴PD＝PF．
∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
（1）学校距铁路的距离是多少？
（2）请写出学校所在位置的坐标．
分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公
路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．
解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，
∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，
又∵点P到公路的距离是400m，
∴点P（学校）到铁路的距离是400m．
（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．
评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．
例5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．
解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC＝AE．
又∵AC＝BC，∴AE＝BC．
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．
评析：本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．
【知识运用及提高】
一. 选择题
1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，
PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）
A. PC＞PD
B. PC＝PD
C. PC＜PD
D. 不能确定
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，
BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
3. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）
A. BC＞AE
B. BC＝AE
C. BC＜AE
D. 以上都有可能
4. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，
已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
AE＝AC，下列结论中错误的是（）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC
D. DB＝DC
6. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）
A. 4cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 以上都不对
8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一
个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
二. 填空题
9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于
点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．
10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，
则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．
11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，
在利用角平分线性质推证PD＝PE时，
必须满足的条件是_________________．
12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC
的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加
∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC
已经分别是__________的距离．
13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB
于B，且CD＝CB，则点C在__________．
14. 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．
（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．
15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．
三. 解答题
16. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
17. 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？
18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．
19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）
（2）求出仓库G到铁路的实际距离．。