高考数学二轮复习：专题八 排列组合与概率统计

高考数学二轮复习专题八 排列组合与概率统计

【重点知识回顾】

1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.

⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.

⑶ 排列与组合的主要公式

①排列数公式：)1()1()!

(!

+-⋅⋅⋅-=-=

m n n n m n n A m

n (m≤n)

A n n =n! =n(n―1)(n―2) ...2·1. ②组合数公式：1

2)1()

1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=

m m m n n n m n m n C m

n (m≤n).

③组合数性质：①m n n m n C C -=(m≤n). ②n n

n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++ ③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C

2.二项式定理 ⑴ 二项式定理

(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －

1b+…+C r n a n －

r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开

式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a

n －

r b r

. ⑵ 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a

n －

r b r

(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，

即C r n = C r

n n - (r=0,1,2,…,n).

②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2n

n

；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第2

3

+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21

-n n = C 21

+n n .

③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C n n =2n

.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n +…=2

n―1

. 3.概率

（1）事件与基本事件：

:S S S ⎧⎪

⎧⎨⎨⎪

⎩⎩

随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件

基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基

本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．

（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：

（4）古典概型与几何概型：

古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．

几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式：()A P A =

包含的基本事件的个数

基本事件的总数

．

几何概型的概率计算公式：

()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)

试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)

．

两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式

①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤． ②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A

B P A P B =+．

③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．

（7）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是p n (k) = C k

n p k (1―p)n―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项.

（8）独立重复试验与二项分布 ①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立； ②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概

率为()(1)(012)k k n k

n P X k C p p k n -==-=，

，，，，．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．

4、统计

（1）三种抽样方法

①简单随机抽样

简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．

简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．

实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性． ②系统抽样

系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况． 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当

N

n

（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，N k n =

；当N

n

不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n

'

=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l ，再按事先确定的规则

抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样

当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．

分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体

样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．