天体运动计算题

1..火箭发射卫星的开始阶段是竖直升空的运动，设向上的加速度a=5m/s 2，卫星中用弹簧秤悬挂一个质量m=9kg 的物体，当卫星升到某高处时，弹簧秤的示数为85N 那么此时卫星距地面的高度是多少千米？（地球半径取R=6400km,g 取10m/s 2）

设物体上升的高度为h ，由万有引力定律：mg R m GM =?2 ① 'mg )h R (m

GM 2

=+? ② 物体在高h 处的动力学方程是：F －mg′=ma ③由以上三式可解得h=3.2×103km.

2.一宇航员在某一行星的极地着陆时，发现自己在当地的重力是在地球上重力的0.01倍，进一步研究还发现，该行星一昼夜的时间与地球相同，而且物体在赤道上似乎完全失去了重力，试计算这一行星的半径R ．（结果保留两位有效数字）．

由R T m mg 2

2'??

? ??=π，又g g 01.0'=得2

22214.34864008.901.04gT 01.0???==πR m ≈1.8×107

m 3．随着现代科学技术的飞速发展，广寒宫中的嫦娥将不再寂寞，古老的月球即将留下中华儿女的足迹。航天飞机作为能往返于地球与太空，可以重复使用的太空飞行器，倍受人们的喜爱。宇航员现欲乘航天飞机对在距月球表面h 高的圆轨道上运行的月球卫星进行维修。试根据你所学的知识回答下列问题：（1）试求维修卫星时航天飞机的速度。（2）已知地球自转周期为T 0，则该卫星每天可绕月球转几圈？已知月球半径R ，月球表重力加速度为g m ，计算过程中可不计地球引力的影响，计算结果用h 、R 、g m 、T 0等表示。 （1）根据万有引力定律，在月球上的物体2

R Gm M m g m 月

=

① （2分）

卫星绕月球作圆周运动，设速度为v ，则()()

h R v m

h R Mm

G

+=+2

2

② （2分） ①②式联立解得：()

h R gR v ＋2

=

（2分）

航天飞机与卫星在同一轨道，速度与卫星速度相同 （2分） （2）设卫星运动周期为T ，则()

()h R T m h R Mm

G

+??

?

??=+2

2

2π （2分）

解得：()()2

3

3

22R

g h R GM

h R T m +=π

π

＋＝ （2分）

则每天绕月球运转的圈数为()

3

2

02h R gR T

T T +=π

（2分）

4.一组太空人乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H ，机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并

关闭助推火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图4-3-4所示，设G 为引力常量而M 为地球质量（已知地球半径为6.4×106m ）

⑴在穿梭机内，一质量为70kg 的太空人的视重是多少？ ⑵计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期．

⑶穿梭机须首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜，试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，说明理由． ⑴穿梭机内的人处于完全失重状态，故视重为零．

⑵由2R Mm G mg =，得2r GM =g ，则2''r GM g =，84.0)

104.6100.6()104.6(''2

652

622=?+??==r r g g ， 故g g 84.0'=＝0.84×9.8m/s 2=8.2m/s 2；

5.如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P 点点火

加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P ，远地点为同步轨道上的Q ），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1，在P 点短时间加速后的速率为v 2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3，在Q 点短时间加速后进入同步 轨道后的速率为v 4。试比较v 1、v 2、v 3、v 4的大小，并用大于号 将它们排列起来v 2 ＞ v 1 ＞ v 4 ＞ v 3

6.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同

的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。（取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计）⑴求该星球表面附近的重力加速度g /；⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R 星:R 地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M 星:M 地。

⑴02v t g

=故：/2

1 2 m/s 5g g ==⑵2

GM g R =，所以2gR M G =可解得：M 星:M 地＝1?12:5?42＝1:80， 7.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1,w 2。根据题意有w 1=w 2

r 1+r 2=r 根据万有引力定律和牛顿定律，有G

12

112

21r w m r

m m = G

12

212

21r w m r

m m =

联立以上各式解得2

121m m r

m r +=

⑤根据解速度与周期的关系知T

w w π221=

= ⑥

v 4

联立③⑤⑥式解得3

22

214r G

T m m π=

+ 8.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别为r A ＝8.0×104 km 和r B ＝1.2×105 km 。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）⑴求岩石颗粒A 和B 的线速度之比；⑵求岩石颗粒A 和B 的周期之比；

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N ，推算出他在距土星中心3.2×105 km 处受到土星的引力为0.38 N 。已知地球半径为6.4×103 km ，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

解：⑴设土星质量为M 0，颗粒质量为m ，颗粒距土星中心距离为r ，线速度为v ，根据牛顿第二定律和万

有引力定律：

r mv r m GM 2

20=解得：r

GM v 0

= 对于A 、B 两颗粒分别有： A

A r GM v 0

=

和B B r GM v 0=得： 2

6

=B A v v ⑵设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T ，则：2πr

T v

=

对于A 、B 两颗粒分别有： 2πA A A r T v =

和2πB B B r T v = 得： 9

6

2=B A T T ⑶设地球质量为M ，地球半径为r 0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m 0，在地球表面重力为G 0，距土星中心

r 0/＝3.2×105

km 处的引力为G 0/

，根据万有引力定律：

00r GMm G =

/

000/20GM m G r = 解得：950=M M 9.某球形天体的密度为ρ0，引力常量为G ．

（1）证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．（球的体积公式

为34

3

V R π=

，其中R 为球半径） （2）若球形天体的半径为R

，自转的角速度为0ω=2

R

d =

(小于同步卫星距天体表面的高度)、密度ρ=

419

ρ的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度． （1）设环绕其表面运行卫星的质量为m ，运动周期为T ，球形天体半径为R ，天体质量为M ，由牛顿第

二定律有

222()mM G

m R R T π= 而 3

43

M R ρπ=?解得

T =T 与R 无关，为一常量． （2）设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r ，同步卫星的质量为m 0，则有

20002

()m M M G

m r r ω'+= 而 33

4[()]3

M R d R ρπ'=?+- 2r R = 则该天体的同步卫星距表面的高度h r R R =-=

10.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，

月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T 。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。 解：如图，O 和O ′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地月连心级OO ′与地月球面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对

称性，过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点。卫星在 BE

上运动时发出的信号被遮挡。

设探月卫星的质量为m 0,万有引力常量为G ，根据万有引力定律有

2

22Mm G m r r T π??

= ??? 2

0011

212mm G m r r T π??= ???

式中，T 1是探月卫星绕月球转动的周期。 得23

11T r M T m r ????

= ? ?????

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有

1t T αβ

π

-=

式中，α=∠CO ′A ，β=∠CO ′B 。由几何关系得 1cos r R R α=- ⑤ 11cos r R β= ⑥

由③④⑤⑥式得

t = ⑦