欠驱动手指分析与结构优化

（2.3）
式中：ϕ2n−1 是固定值；θn 是输入；只有θn+1 和ϕ2n 是未知的，由上面的两个方程可以解
28
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
出两个未知数。
将关系式(2.3)对时间取导数，这时ϕ2n−1 对时间取导后为 0，θn 杆为输入，角速
度为整理后：
⎡−an sinθn+1
⎢ ⎣
an
cosθn+1
25
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
算和分析的基础。整个手指是以上述的四边形机构作为组成单元，由和手掌相连的第 一个四边形关节算起，由多个四边形叠加而形成的，构成首尾相连的闭式运动链。
3. 自由度计算
对于多关节欠驱动手指，它的自由度计算为：假设具有 n 个关节的欠驱动手指， 那么它是由 n − 1个四边形构成的，每个四边形关节是三个连杆构成（有一个杆和相
(2.17)
这里, En 和 M n 都是常数，通过迭代可以计算出θn+1 。
2.4 欠驱动手指的静力学分析
2.4.1 两关节欠驱动手指的静力学分析
ln + an − bn − cn =0
（2.2）
1. 速度分析
对于关节 Gn 矢量关系式(2.2)又可以写成两个分量的形式：
⎧⎨⎩llnn
cosϕ2n−1 + an sinϕ2n−1 + an
cosθn+1 − bn cosθn − cn cosϕ2n = 0 sinθn+1 − bn sinθn − cn sinϕ2n = 0
cn sinϕ2n −cn cosϕ2n
⎤ ⎥ ⎦
⎡⎢⎣θϕn2+n1
⎤⎥＝θ ⎦
n
⎡ ⎢ ⎣
−bnsinθn bncosθn
⎤ ⎥ ⎦
令
An
=
⎡−an sinθn+1
⎢ ⎣
an
cosθn+1
cn sinϕ2n −cn cosϕ2n
⎤ ⎥ ⎦
，
Xn
=
⎡⎢⎣θϕn2+n1
⎤ ⎥ ⎦
，
Bn
=
⎡−bnsinθn
度分析关系式为：
⎡−asinθ1
⎢ ⎣
acosθ1
csinϕ −ccosϕ
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎡⎣θϕ1
⎥⎤⎦＝⎡⎢⎣
0 −l
⎤⎥⎦＝ ⎡⎢⎣
0 −v
⎤ ⎥⎦
令
A
=
⎡−a sinθ1
⎢ ⎣
a
cosθ1
c sin ϕ −c cosϕ
⎤ ⎥ ⎦
，
X
=
⎡⎢⎣θϕ1
⎤ ⎥ ⎦
，
B
=
⎡0⎤ ⎢⎣−v⎥⎦
，得到：
(2.11)
⎢ ⎣
bncosθ
n
⎤ ⎥ ⎦
：
（2.4）
An X n = θnBn
Xn
=
A −1nθ n Bn
=
A
−1 n
Bnθ
n
因为
A−1n Bn 为
2×1
矩阵，令：
A−1n Bn
=
⎡En ⎤
⎢ ⎣
Fn
⎥ ⎦
，
⎡⎢⎣θϕn2+n1
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ En
⎢ ⎣
Fn
⎤ ⎥
θ
n
，
⎦
所以得到：
（2.5）
θ n+1 = E nθ n
欠驱动手指机构是由可变构形的四边形机构和最后一个刚性三角形结构组成的。
欠驱动手爪的基本的结构和受力单元模型，如图 2.2 所示。
Fn dn
Fn−1
lnϕ+12n+1yn+1cn+1 ϕ2n+2 an θn+1 bn+1
ln yn cn
ϕ2n−1 bn
ϕ2n
an−1 θn
ln−1
cn−1
图 2.2 欠驱动手爪的结构和受力单元模型
⎤ ⎥ ⎦
，
Xn
=
⎡⎢⎣θϕn2+n1
⎤ ⎥ ⎦
，
Bn
=
⎡bn sinϕn ⎢⎣bncosϕn
⎤ ⎥
，
BnT
⎦
=
⎡bncosϕn ⎢⎣bn sinϕn
⎤ ⎥ ⎦
：
An X n
+
Cn X n
= θnBn
+
θ
2 n
BnT
（2.15）
对于公式（2.15），前面计算了它的速度，所以速度是已知的，则有：
An X n = θnBn + g(θn , X n )
dof = 3m − 2PL − PH = 3(3(n − 1) + 3) − 2 × (4(n − 1) + 4)
= 9n − 8n
=n
（2.1）
式中： m 为活动构件数， PL 为低副数量， PH 为高副的数量，这里没有高副，所以 PH = 0 ，这里三角形看成是刚性结构。
Fs
图 2.3 三关节欠驱动手指机构自由度
24
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
(4) 中第二个关节指面和物体接触，并产生约束作用。 (5) 中三个关节指面完全和物体接触，驱动元件的作用力都加在物体上。当驱动 连续转动时，手指完全闭合约束物体，产生抓持作用力。
（1）
（2）
（3）
（4）
图 2.1 三关节欠驱动手指工作原理
（5）
2. 手指的基本构成
（2.16）
30
式中： g(θn , X n ) = θn2BnT − Cn X n 。
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
Xn
=
A −1n Bnθ n
+
A
−1 n
g
(θ
n
,
X
n
)
同样,令：
A−1n Bn
=
⎡ En
⎢ ⎣
Fn
⎤ ⎥ ⎦
，
A−1n g(θn ,
Xn)
=
⎡Mn
⎢ ⎣
N
n
⎤ ⎥ ⎦
，得到：
θ n+1 = Enθ n + M n
⎤ ⎥ ⎦
⎡⎢⎣θϕn2+n1
⎤ ⎥ ⎦
(2.14)
令：
An
=
⎡−an sinθn+1
⎢ ⎣
an
cosθn+1
cn sinϕ2n −cn cosϕ2n
⎤ ⎥ ⎦
，
Cn
=
⎡⎢⎣−−θθnn++11aann
cosθn+1 sinθn+1
ϕ2ncn ϕ2ncn
cosϕn sin ϕn
⎤ ⎥ ⎦
，
Xn
=
⎡⎢⎣θθn2+n1
仔细分析图 2.1 的抓取过程，可以得到多关节欠驱动手指抓取物体的闭合过程
中，从手指根部的第一个关节 G1一直到末关节 Gn 算起，对于每一个手指的关节 Gi 来
说，运动学运动过程基本上可以分为两个过程：
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第二章 欠驱动手指分析与结构优化
1．关节 Gi 和物体靠近的过程
2．关节 Gi 和物体接触的过程
图 2.4 多关节欠驱动手指结构
2.3 欠驱动手指的运动学分析
机构的运动学分析，就是对机构的位移、速度、加速度进行分析。运动学分析是 手指设计和控制的基础，手指相当于串连和并联关节之间，具体的说就是根据原动件 的已知运动的规律，分析各个手指关节部位的位移、速度和加速度，运动学分析对于 我们了解欠驱动手爪的抓取过程是十分必要的。
cn sinϕ2n −cn cosϕ2n
⎤ ⎦⎥
⎡⎢⎣θϕn2+n1
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡⎢⎣−−θθnn++11aann
cosθn+1 sinθn+1
＝θn
⎡ −bnsinθn ⎢⎣−bncosθn
⎤ ⎥ ⎦
+
θn
2
⎡−bncosθn
⎢ ⎣
−bnsinθ
n
⎤ ⎥ ⎦
ϕ2ncn ϕ2ncn
cosϕ2n sinϕ2n
邻关节的四边形是公用的），第一个关节多出 1 个连杆，再加上推杆部分 2 个连杆，
总共的连杆数是 3(n −1) + 3（这里三角形看成是刚性结构，计算为一个连杆），每个
关节的三个连杆有 4 个低副， PL = 4(n − 1) ，加上推杆部分 4 个低副，低副的总数 4(n − 1) + 4 。那么，手指的自由度为：
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
2.1 引 言
在研制舱内服务机器人手爪时，需要设计一种形状适应能力强、出力大、控制简 单的手指机构，从结构上简化控制的复杂性，同时又能满足舱内服务机器人多任务的 抓取要求。基于连杆的欠驱动手指机构是一种很好的选择。
那么什么是欠驱动（Underactuation）机构呢？我们知道，在机构设计中，机构 在具有确定运动时，所必须给定的独立运动的参数数目称为机构的自由度。一般来说， 机构自由度的数量应该等于驱动元件的数量。当机构中驱动元件的数量比机构自由度 数多的时候，物体将无法实现给定的运动。当机构中驱动元件的数量比机构自由度数 少的时候，我们说这个机构是欠驱动的。
l+a−c =0
(2.9)
c1 Fc1
O1 b1
ϕ2
a c θ1 lϕ
Fs
图 2.6 三角形推杆矢量封闭形
29
第二章 欠驱动手指分析与结构优化
而此矢量表达式又可以写成两个分量的形式，得到两个非线性方程组：
⎧⎨⎩la+coassθi1n−θ1c−cocssϕin=ϕ0=0
(2.10)
由上面的两个方程可以解出未知数ϕ 和θ1 。 将公式(2.10)对时间取一次导数，令推杆的速度为: v = dl ,得到四边形机构速 dt
2.2 欠驱动手指基本模型
1. 欠驱动手指工作原理 我们以图 2.1 中三关节欠驱动手指抓取物体时的封闭顺序为例，揭示欠驱动手指 抓取的基本的工作原理： (1) 中手指处于初始状态，没有作用力，第一个手指关节向物体接近。 (2) 中第一个关节已经接近上物体了，并产生约束作用。 (3) 中第二和第三个关节正在接近物体。
由计算可以看出：自由度和关节数是线性关系，对于具有 n 个关节的欠驱动手指， 那么它的欠驱动度是 n −1，也就是说，有 n −1个自由度没有受到约束。对于我们设
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第二章 欠驱动手指分析与结构优化
计的三关节手指来说， dof = 3 ，手指有三个自由度却只有一个动力源，存在 2 个欠
驱动度，如图 2.3 所示，因此运动是不确定的，当手指在遇到图中虚线的约束以后（并 且假定不发生转动），运动才是唯一确定的。
θ1 = A−1B = v sin ϕ a sin(θ1 − ϕ )
(2.12)
θ n+1 = En E1v sin ϕ a sin(θ1 − ϕ )
(2.13)
同样，按照相同的步骤，可以推导出ϕ2n 。
2. 加速度分析 将公式（2.4）再对时间取一次导数，即得到手指机构的加速度分析关系式为：
⎡−an sinθn+1 ⎣⎢ an cosθn+1
同样，对于关节 Gn
−
1，
X nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
=
⎡⎢⎢⎣ϕ2θ(nn−1)
⎤ ⎥ ⎥⎦
我们有：
θ n = θ E n−1 n−1
以此类推：
（2.6） （2.7）
θ n+1 = En E1θ1
（2.8）
对于三角形推杆部分，如图 2.6 所示，在向物体的运动过程中，根据四边形机构
所构成的矢量封闭形，可以写出以下的矢量关系表达式：
接触以后，会受到抓持力 Fn 的作用， Fn 对四边形有个瞬时的约束作用，此时通过两
个传递杆 cn 的作用力 yn+1 ，使得动力向下一个杆件传递。欠驱动的模型是复杂的，这
种复杂性表现在：抓取闭合后，每个手指和物体可能会脱离，因此，每个四边形指面
的作用力是否存在，在什么情况下存在是未知的。四边形模型是后面运动和静力学解
基本的参数包括四边形的每条边的尺寸{an , bn , ln , cn} ，每条边和水平线之间
{ } { } 的运动夹角 θn+1, θn , ϕ ϕ 2n−1, 2n 。四边形受到两个指面关节杆 ln−1, ln+1 的作用力，
两个传递杆{cn−1, cn+1} 的作用力，以及物体对手指面 ln 的作用力 Fn 。当物体和手指
ϕ2n
G1 O1
l1 ϕ1 b1
ac
ω1 c1
θ1
Fcϕ12
y
lϕ
Fs
图 2.5 欠驱动手指运动单元矢量封闭形
下面对手指关节和物体接触的过程进行运动学分析。为了简便计算，以推杆 l 为 x 坐标轴，垂直于推杆 l 为 y 坐标轴，建立如图 2.5 所示的坐标系，对于四边形
{an , bn , ln , cn} 构成的矢量封闭形，可以得到以下的关系式：
欠驱动手指的四边形机构是构成欠驱动手指的基础，有一个四边形机构的是两关 节的欠驱动手指，有两个四边形机构的是三关节欠驱动手指。设想如果将多个这样的 四边形机构单元叠加在一起，就组成如图 2.4 所示的抓持机构。这种机构最大的优点 形状自适应能力强，柔顺性好，抓取物体时就像蛇一样缠绕在物体上，目前更多关节 （超过 3 个）的欠驱动机构并未应用到实际中，有待于进一步研究它的特性，加以开 发和利用。
对于关节 Gi 和物体靠近的过程，此时从关节 G1到关节 Gi−1都已经和物体接触，
因此，关节 Gi 一直到末关节 Gn 可以看成是一个刚体，关节 Gi 是一个刚体转动的过程，
运动学计算较为简单，略去。
GFnnO+1n+1lnlϕ+n12nca+nn1+ω1θnn++11
ϕn+1 cn
x GnOG−1nnln−ϕ1 2ann−−11cθnn−b1nωn
对于一个四杆机构，有一个边作为输入，其余的边都不固定时，便是欠驱动的， 如果这样的多个四边形机构进行叠加，则形成多关节欠驱动手指机构。手指具有出力 大、负载能力强、柔顺性好，对任意形状的物体都能抓取，扩大了抓取范围，在保持 多个自由度的前提下，可以将驱动元件数量减少到最少，简化了驱动和控制结构。
欠驱动手指机构是我们研究形状自适应手爪的基础。因此，我们有必要对基于四 边形连杆机构的欠驱动手指的基本特点和手指结构作系统和详细的分析和研究，总结 出它的特点，进一步增强对欠驱动概念的理解和认识，并对所要设计的三关节欠驱动 手指结构进行优化，为手爪的设计奠定基础。