高等数学II试卷及答案

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试卷（B ） （本试卷共 4 页）
1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。

(A)不存在
(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的
（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点
（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点
3、设f (x ,y )为连续函数，则积分
可交换积分次序为
4、 级数 ()∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1
cos 11n n n α （常数0>α） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关。

5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是
(A) 1 ； (B) 3e ； (C) 3-e ； (D) 1-.
6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式
（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++ （B ）x Bx Ax 2cos )(2
+ （C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）x B Ax 2cos )(+
答 1、 2、 3、 4、 5、
6、
一. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4小题，每小题4分，总计 16 分 ）
1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ= 。

2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)3
1,2,1(处的切线方程是 。

3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。

4、如果幂级数
()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . 二. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。

2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向的方向导数。

得分
阅卷人
. 四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ）
1、(7分)计算二重积分 224+-⎰⎰D x y dxdy 其中D ：x 2+y 2≤9.
2、（7分）设f (x ,y )为连续函数，写出积分
在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。

（要求：必须画出积分区域的图形）
五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ） 1、（7分）判别级数∑∞=+1)]
1[ln(1n n n 的敛散性。

2、（8分 ）求幂级数∑∞=+11n n nx
的收敛域及和函数.
六、解答下列各题（本大题共 3小题，总计 19分 ）
1、（5分）求微分方程0)()(7='+''t x t x 的通解。

2、（7分）
求微分方程024)12(=+-'+-y e y x 的通解。

3、（7分）设⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++++++-=+∞→)!1(!3!21)1(lim 122n x x x x x y n n 试证明y 是初始值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+==0
d d 0x y y x x y 的解。

得分
阅卷人 得分
阅卷人 得分
阅卷人
《高等数学Ⅱ》期末考试
参考答案及评分标准
三. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在大题末的表格中）（本大题共 6 小题，每小题
4分，总计 24 分 ） 答 1、 C 2、 B 3、 C 4、 C 5、 B 6、 A 四. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4 小题，每小题 4分，总计 16 分 ）
1、[]2222)()(),(),,(xy y x y x y x f f ++=ϕ。

2、3
12221-=-=-z y x 3、C x y +=33
1 4、)3,1[-
三、解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 12 分 ）
1、 x x z x cos sin 1=
（3分） y z y 1=
（5分） 2、 {}
(){}0,2,11,,0,1,2±=-±=z e x y n 2分
0cos 52
cos 51
cos =±
=±=γβα 3分 ()
()()
()()
()()01210,1,20,1,20,1,20,1,20,1,20,1,2=-=====z e z u x y u y x u ∂∂∂∂∂∂ 5分
5052251±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+±=n u ∂∂ 7分 四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ）
1、解 D 分为D 1：x 2+y 2－4≤0. D 2:4≤x 2+y 2≤9 2分
224+-⎰⎰D x y dxdy 2223
220002(4)(4)=-+-⎰⎰⎰⎰d r rdr d r rdr ππθθ 5分 412
π= 7分 2、解
=
7 五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）
1、解法1 记[]0)1ln(1>+=
n n n u
有
[]
[])2ln(1
)2ln(1
)2ln()1ln()11ln()1ln(11+≤+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++=+++=++n n n n n n u u n
n n
n n
（3分） 而()02ln 1
lim =+∞→n n ，故 10lim 1
<=+∞→n
n n u u （5分）
由比值判别法，原级数[]∑∞
=+1)1ln(1
n n n 收敛。

（7分）
解法2 因为ln(1)2(8)+>>n n 所以 1
1
(8)ln(1)2<>+n n
3分 于是 1
1(8)[ln(1)]2<>+n n n n 4分 又 112
n n ∞
=∑收敛， 5分 由比较审敛法，原级数[]∑∞
=+1)1ln(1
n n n 收敛。

（7分）
2、解 收敛域（-1，1） 2分
1212111
(
)∞
∞∞
+-==='==∑∑∑n n n n n n nx x nx x x 4分 2()1'=-x
x x 6分
2()1=-x
x 8分
六、 解答下列各题 （本大题 3小题，总计19 分 ）
1、特征方程为：
072=+λλ
特征根为： 71
021-==λλ （3分）
通解为： t e C C y 71
21-+= （5分）
2、 解法一：12d
24d +=--x x
e y y （3分） 12d
22d +-=-x x
e y e y y
C x e y ln )12ln()2ln(++-=- （5分）
即 C x e y =+-)12)(2( （7分）
解法二：原方程化为
124
122d d +=++x e x x e y y
（3分）
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++=⎰+⎰+-⎰x e x C e e x x
x x
y d 12412d 212d 2
（5分）
}4{1
21x C x ++=
（7分） 3、x e x x y ++-=)1()( （3分）
y x e y x +=+-='1 （5分）
0)0(=y 故y 为初始值问题的解。

（7分） 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。