高等几何学习指导

《高等几何》学习指导第一章仿射坐标与仿射变换一、教学目的要求1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；4、熟练掌握仿射变换的代数表示.二、教学重点、难点重点：透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、共线三点单比（简比）的概念2、透视仿射对应1）、概念：①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；②、平面π到平面/π的透视仿射对应.2）、判断：对应点连线互相平行.3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系；2）、共线三点单比的坐标表示： 设31311233232(,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --===--则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩， 111221220a a a a ∆=≠； 5、仿射性质1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比.3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C3(,1)2-,求单比（ABC ）. 解：设A 、B 、C 的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y由3132322()1352x x ABC x x +-===---.例2、平面上是否存在仿射变换，使点A （1，2），B （-2，-4）， C （3，6）分别变为点A /（-1，-1），B /（2，2），C /（0，0）？解：由于A ，B ，C 三点共线，A /，B /， C /也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，由于：//////////312011(),(),()()325022AC A C ABC A B C ABC A B C BC B C -+======-∴≠+-因此这样的仿射变换不存在.例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.解：设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠， 将（0，0）对应（2，3）， （1，1）对应（2，5），（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：1323111213212223111223212223232537a a a a a a a a a a a a a a ===++=++=-+-=-+ ，解此方程组，得132311122122112,3,,,4,622a a a a a a ====-==故所求仿射变换为：//11222463x x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩， 且1102246-∆=≠-. 例4、求一仿射变换，它使直线210x y +-=210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.解：在直线210x y +-=上任取两点（1，0），（-1，1），由于 （1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的坐标分别代入仿射变换式/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，解得：//22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩，220322∆=≠--，即为所求的仿射变换.例5、求椭圆的面积. 解法1（见教材第15页）解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为222x y r +=即22221x y r r+=，令仿射变换T ：//x x a ry yb r⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即//ax x r b y y r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 其中2000aabrb rr ∆==≠， 其对应图形为椭圆：/2/2221x y a b+=故T 是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S ，椭圆的面积为S / 由定理4.3//22S abS S r ab S rππ=∆⇒=∆== 所以椭圆的面积为ab л.例6、求将点O （0，0），A （1，0），B （0，1）分别变为O /（1，1），A /（3，1），B /（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积.解：①、设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠ 将O （0，0）对应O /（1，1）， A （1，0）对应A /（3，1），B （0，1）对应B /（3，2）分别代人上式解得//2211x x y y y ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩且 22001∆=≠ 为所求仿射变换.②、////1,1,42OAB O A B S S S π∆∆===Q 圆，设圆的仿射对应图形面积为/S ，则//////1,42812O A B OABS S S S S ππ∆∆==∴=⨯=圆. 五、习题1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-3,2),B(6,1),C 33(,)22,求单比（ABC ）.2、经过点A （-3，2）和B （6，1）的直线AB 与直线x+3y-6=0相交于P ，求(ABP).3、求仿射变换{4y 2x 4y 1y x 7x ++='+-='的不变点.4、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形.5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？6、任意两线段之比是仿射不变量吗？7、三角形三高线共点是仿射性质吗？三角形三中线共点是仿射性质吗？8、若（ACB ）＝2，则C 是A ，B 的中点吗？ 9、在仿射变换 {73532-+='+-='y x y y x x 下，点O （0，0），A （3，2），的像点为 、 ；B （1，-4）的原像点为 .10、求将点A （1，0），B （0，-1），C （-1，1）分别变为A /（8，-1），B /（6，-6），C /（1，1）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为3的圆的仿射对应图形的面积.第二章射影平面一、教学目的要求1、理解中心射影、无穷远元素及射影平面的概念，掌握无穷远元素的性质，了解射影观点与仿射观点的区别；2、掌握笛沙格定理及其应用，了解笛沙格构图；3、掌握齐次坐标的定义，熟练掌握点和直线的方程、齐次坐标的求法及其应用；4、理解对偶元素、对偶运算及对偶命题的概念，掌握对偶原理及写出一命题的对偶命题的方法；5、明确完全四点形、四线形的概念，掌握它们的调和性质及应用；6、了解复元素的概念.二、教学重点、难点重点：无穷远元素的概念及其性质，齐次坐标的定义及运算，笛沙格定理及其应用，对偶原理.难点：无穷远元素的概念，点方程、线坐标的定义.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、无穷远元素的概念2、射影直线与射影平面的概念3、图形的射影性质经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）.射影性质⎧⎧⎨⎨⎩⎩点列同素性，射影图形结合性线束但平行性、共线三点的单比不是射影性质.4、笛沙格定理1）、笛沙格（Desargues ）定理：如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上.2）、笛沙格（Desargues ）定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点.3）、透视三点形：如果两个三点形对应边的交点共线——所在直线称为透视轴； 如果两个三点形对应顶点的连线共点——该点称为透视中心. 由笛沙格定理知，两个三点形若有透视心，则必有透视轴，反之亦然，这样的两个三点形称为透视三点形.4）、笛沙格构图：构成一个图形的基本元素有两类：点和线，分别称为第一类和第二类元素，用11a 和22a 表示，而12a 表示第一类元素点与第二类元素线结合，21a 表示第二类元素线与第一类元素点结合.Desargues 定理所表示的图形所含的第一类元素点的个数11a ＝10个，所含的第二类元素线22a ＝10条，每一点与12a ＝3个第二类元素线结合，每一线与21a ＝3个第一类元素点结合.可表示为：A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛103310 （A 称为构形矩阵，且A 为对称矩阵）. 即：图形中有10个点，每个点有3条线通过；有10条线，每条线上有3个点.布局十分巧妙！更为巧妙的是：在10个点中，任一个点都可作为透视心，在10条线中，任一条线都可作为透视轴.如图，对于任一点C,考察两个三点形/YXC ABO 和，它们对应顶点连线/,,AY BX OC 交于一点C,则其对应边交点YX AB Z Y C OA A XC BO B I I I ===,,////共线.即如果以C 为透视心，则其对应的透视轴为直线Z A B //. （读者可另行考虑以图中其余的点作为透视心，则必能找到其对应的透视轴！）5、齐次坐标 1）、齐次点坐标：① 一维齐次点坐标设直线上普通点的坐标为x，则该点的齐次坐标是122(,),,(0)x x x x x x =≠12其中， 当210,(,0)(1,0)(0)x x =∝≠1时即其中x 规定为这直线上无穷远点的一维齐次坐标.② 二维齐次点坐标设平面上的点的非齐次坐标为(x,y),则该点的齐次坐标是1212333(,,),,x xx x x x y x x == 斜率为k 的直线上的无穷远点的齐次坐标为(1,k,0)或者2121(,,0),x x x k x = ③ 直线的（齐次坐标）方程：1122330a x a x a x ++= ④ 无穷远直线的方程：30x = 2）、齐次线坐标：① 直线的齐次线坐标 []123,,u u u点123(,,)x x x x 在直线[]123,,u u u u 上1122330u x u x u x ⇒++= ② 点的方程（线有坐标，点有方程）在齐次坐标中，点123(,,)a a a a 的方程为 1122330a u a u a u ++=， 反之，[]123,,u u u 所构成的一次齐次方程表示一点. 3）、点几何与线几何的观点： 点几何——点有坐标；线有方程，平面上，把点看成几何基本元素，点的轨迹构成曲线，直线看成一系列点构成；线几何——线有坐标；点有方程，平面上，把直线看成几何基本元素，直线的集合构成曲线，点看成一束直线构成.6、对偶原理 1）、对偶图形：对偶元素 ——“点”与“直线”；对偶作图——“点在线上”与“线通过点”；对偶图形——由点和直线组成的图形，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个图形称为一对对偶图形.如：点列——线束三点形——三线性（自对偶） 简单四点形——简单四线形（自对偶） 完全四点形——完全四线形 2）、对偶命题与对偶原则：对偶命题——由点和直线组成的命题，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个命题称为一对对偶命题.对偶原则——在射影平面上，如果一个命题成立，则其对偶命题也成立. 3）、代数对偶：① 两个不同点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线（交点）的线坐标（点坐标）为：233112233112(,,)a a a a a a a b b b b b b b =⨯ ② 三个不同点（线）123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c 共线（共点）的充要条件是：1231231230a a a b b b c c c =③ 以两个不同已知点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线为底的点列中一点（交点为顶点的线束中任一直线）的齐次坐标能够写为la mb +，其中,l m 为不全为零的常数.7、复元素在复射影平面上有以下重要结论：1）、一元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭复元素重合； 2）、如果点x 在直线u 上，则x 的共轭复点x 在直线u 的共轭复直线u 上；3）、两共轭复直线的交点为一实点，两共轭复点的连线为一实直线. 四、例题例1、写出下列点的齐次坐标：(0,0)、(1,0)、(0,1)、以3为斜率的直线上的无穷远点.解：这些点的齐次坐标依次为：(0,0,1)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,3,0) 例2、写出下列直线的齐次坐标：x 轴、y 轴、无穷远直线、过原点且斜率为2的直线.解：这些直线的齐次坐标依次为：[0,1,0]、[1,0，0]、[0，0，1]、[2，-1，0].例3、求直线340x y -+=上的无穷远点的坐标和线坐标方程. 解：直线的齐次坐标方程为123340x x x -+=，这条直线与无穷远直线30x =的交点1233340x x x x -+=⎧⎨=⎩即为无穷远点，从而无穷远点的坐标（3，1，0）.这个点的齐次线坐标方程是1230u u +=.例4、求直线[1,-1,2]与两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）之连线的交点的坐标.解：两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）连线上的点（3+5λ，4-3λ，-1+λ）在直线[1,-1,2]上，所以（3+5λ）-（4-3λ）+2（-1+λ）=0，解得310λ= 所以交点坐标为（45，31，-7）.例5、试证、[2,-1,1]、[3,1,-2]和[7,-1,0]三线共点，并把[2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.解：由211312071--=-得三线共点，所以存在二实数λ，μ，使得 [2,-1,1]=λ[3,1,-2]+μ[7,-1,0]，于是有372121λμλμλ+=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得11,22λμ=-=，故[][][]112,1,13,1,27,1,022-=--+-，即 [2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.例6、利用对偶命题解题：(1)、求通过两直线[2,1,3]与[1,-1,0]的交点与点P ：12320u u u +-=的直线坐标；(2)、求两点123340u u u +-=，123530u u u -+=的连线与直线12320x x x -+=的交点坐标.解：(1)、这两直线的交点Q 方程为123213011u u u =-， 即1230u u u +-=，即Q 点的坐标为（1，1，-1），而P 点的坐标为（1，2，-1），所以过这两点的直线方程为1231210111x x x -=-，即130x x +=，其坐标为[1，0，1] .(2)、过这两点的直线l 的方程为1233410531x x x -=-，即1238290x x x --=，其坐标为[1,-8,-29]，而直线/l 坐标为[1,-1,2]，所以这两直线交点的方程为12311201829u u u -=--，即123453170u u u +-=，其坐标为(45,31,-7).例7、（1）求过点(1,,0)i -的实直线；（2）求直线[,2,1]i i -上的实点.解：（1）因为过点(1,,0)i -的实直线必过其共轭复点(1,,0)i ，所以所求直线为1231001x x x i i-=，即30x =为所求.（2）直线[,2,1]i i -上的实点为此直线与其共轭复直线[,2,1]i i -+的交点，由方程1231232(1)02(1)0ix x i x ix x i x ++-=⎧⎨-+++=⎩，解得实点为（2，-1，2）.例8、设三点形ABC 的三边BC, CA, AB 的方程分别为052,0153,0237=-+=--=+-y x y x y x ,求证三点形 ABC 与坐标三点形A 1A 2A 3透视，并求出透视轴方程.解：在三点形ABC 和 A 1A 2A 3中，123123123:7320,:350,:250,BC x x x CA x x x AB x x x -+=--=+-= 231312123:0,:0,:0,A A x A A x A A x ===其对应边之交点：233112(0,2,3),(1,0,3),(1,2,0)BC A A L CA A A M AB A A N ⨯=⨯=⨯=-因为023130120=-，所以L 、M 、N 共线，即三点形ABC 和 A 1A 2A 3透视，且透视轴方程为1236320x x x +-=例9、如图，设直线AB 与CD 交于M ，AC 与BD 交于N ，直线MN 分别交AD 、BC 于K 、H ，直线BK 交AC 于L ，求证：HL 、CK 、MA 交于一点.解：在三点形HCM 与LKA 中，对应边的交点HC хLK=B ，CM хKA=D ，MH хAL=N ，而B 、D 、N 在一条直线上，由笛沙格定理的逆定理，这两个三点形对应顶点的连线HL 、CK 、MA 交于一点.五、习题1、回答下列问题：①、坐标原点的方程是U 3＝0吗？②、X 轴上的无穷远点坐标是（0，1，0）吗？③、三直线［1，1，1］，［1，－1，1］，［3，－1，3］共点吗？ ④、共线三点的单比是射影不变量吗？⑤、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个吗？ ⑥、方程22120x x -=表示什么图形？方程22120u u -=表示什么图形？ ⑦、当正负号任意选取是，齐次坐标（1,1,1±±±）表示多少个相异的点？2、写出下列点的坐标：①、P 1(3,7,-2),P 2(0,0,1),P 3(3,-1,0)的非齐次坐标. ②、直线5x+3y-1=0上的无穷远点的齐次坐标. ③、直线l [1,1,2]与m[0,1,1]的交点坐标. ④、直线ix 1+4x 2+(1+i)x 3 = 0上的实点坐标.3、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个，对吗？4、写出下列直线的方程：①、点A(0,1,2)与B(1,0,1)D 连线方程. ②、通过点（1,i,0）的实直线方程.5、已知点123(1,1,1),(1,1,1),(3,1,3)P P P --，求证123,,P P P 共线，并求λ，μ的值，使得312P P P λμ=+.6、下列诸方程表示什么？123123120;0;0;20u u u u u u u u =-=++=+=；221122540;u u u u -+=7、已知Pappus 定理：设直线l 上有互异三点A ，B ，C ，直线l '有互异三点C ,B ,A '''，那么三点B A B A N ,A C A C M ,C B C B L '⨯'='⨯'='⨯'=共线.写出其对偶命题.8、“一线束中三直线a,b,c 与不过中心的二直线21,l l 相交得两个互成透视的点列”.写出其对偶命题.9、“如果两个三角形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线共点”.写出此命题的对偶命题.10、证明三角形三中线共点.11、指出下图中以B 为透视心的两个三点形和其对应的透视轴.12、ABCD 是个四面体，点M 在BC 上，一直线通过M 分别交AB ，AC 于P 、Q ，另一直线过M 分别交DB 、DC 于R 、S ，求证PR 、QS 、AD 交于一点.13、画出下面图形的平面对偶图形。