金融时间序列分析复习资料

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一、单项选择题（每题2分，共20分） P61关于严平稳与（宽）平稳的关系；

弱平稳的定义：对于随机时间序列y t ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t 的变化而变化，则称y t 为弱平稳随机变量，即y t 必须满足以下条件： 对于所有时间t ，有 （i ）

E （yt ）=μ为不变的常数；

（ii ） Var （yt ）=σ²为不变的常数；

（iii ） γj =E[y t -μ][y t-j -μ]，j=0，±1，,2，… （j 为相隔的阶数）

（μ=0，cov （y t ，y t-j ）=0，Var （yt ）=σ²时为白噪音过程，常用的平稳过程。） 从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差，并且自协方差只与y t 和y t-j 之间的之后期数j 有关，而与时间t 没有任何关系。 严平稳过程的定义：如果对于任何j 1,，j 2，...,j k ,随机变量的集合（y t ，

y t+j1,，y t+j2，…，y t+jk ）只依赖于不同期之间的间隔距离（j 1，j 2，…，

j k ），而不依赖于时间t ，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳

过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。 P46 t X 的k 阶差分是；△

ｋ

X t =△

ｋ-1

X t -△

ｋ-1

X t-1，△ 表示差分

符号。

滞后算子；P54对于AR ： L p y t =y t-p ，对于MA ：L

ｐ

εt =εt-ｐ

AR （p ）模型即自回归部分的特征根—平稳性；确定好差分方程的阶数，则其特征方程为：λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0，若所有的特征根的│λ│<1则平稳

补充：逆特征方程为：1-α1ｚ1

-α2ｚ²-…-αp ｚp

=0，若所有的逆特征根│ｚ│>1，则平稳。注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。 如：p57作业3： y t =1.2y t-1-0.2y t-2+εt ，为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。

MA(q )模型121.10.24t t t t X εεε--=-+，则移动平均部分的特征根----可逆性；p88 所谓可逆性，就是指将MA 过程转化成对应的AR 过程 MA 可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外， 即1+θ1ｚ

1

+θ2ｚ²+…+θp ｚp =0，│ｚ│>1，

此题q 为2，逆特征方程为：1-1.1ｚ+0.24ｚ²=0，

解得：Z=

AR （p ） MA （q ） ARMA （p ，q ） ACF 拖尾 q 期后截尾 拖尾 PACF P 期后截尾 拖尾 拖尾 若一序列满足ARIMA( p , d , q )模型(d > 0) , 则此序列平稳吗？

答：平稳，因为ARIMA( p , d , q )模型表表示经过d 次差分后的序列，其必定是平稳时间序列。

二、填空题（每题2分，共20分）。

平稳时间序列的特点：平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。 （i ）

E （yt ）=μ为不变的常数；

（ii ） Var （yt ）=σ²为不变的常数；

（iii ） γj =E[y t -μ][y t-j -μ]，j=0，±1，,2，… （j 为相隔的阶数）

ARMA 所对应的AR 特征方程为？其MA 逆特征方程为？ 对于自回归移动平均过程ARMA （p ，q ）：y t =c+α1

y t-1 +α2 y t -2+…+αp

y t-p +εt +θ1εt+θ2εt-2+…+θq εt-q ，其对应的AR 的特征方程为：

λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0，MA 的逆特征方程为：1+θ1ｚ

1

+θ2ｚ

²+…+θp ｚp =0

已知AR （1）模型为：),0(~，x 7.02x 2t t 1-t t εσεεWN ++=，则)(t x E =

20/3 ,偏自相关系数11

φ= 0.7 。

设{}x t 为一时间序列，B 为延迟算子，则=t 2y B y t -2 。

如果观察序列的时序图平稳，并且该序列的自相关图拖尾，偏相关图1阶截尾，则选用什么ARMA 模型来拟合该序列？

ARMA 模型包括：AR （）,MA （）.ARMA （）。

AR （p ） MA （q ） ARMA （p ，q ） ACF 拖尾 q 期后截尾 拖尾 PACF P 期后截尾 拖尾 拖尾

条件异方差模型记号: ARCH(p),

GARCH(p ，q),GARCH-in-Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,

三、计算题（ 共4小题，每小题5分，共20分） P57 运用滞后算子得出其逆特征方程

1-α1ｚ1-α2ｚ²-…-αp ｚp

=0。或用特征方程：：λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0

例p57（1）.y t =1.2y t-1-0.2y t-2+εt ，

为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。为一阶单整。

对下列ARIMA 模型，求)(t Y E ∇和)(t Y Var ∇。

1175.03---++=t t t t e e Y Y （t e 为零均值、方差为2e σ的白噪声序列）

关于上面答案的分析：var 表示方差，因为白噪音为均值为零、相关系数 cov （y t ，y t-j ）=0也为零，又方差为2e σ，所以得到以上运算结果； 注意方差的运算及性质：

1．设C 为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX)=C 2

D(X) （常数平方提取）；

3.当X 与Y 相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4.当X 与Y 不独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)+cov （X,Y ）

⎪⎩⎪

⎨⎧=+=-+=∇=-+=∇--22

2111625)75.01()75.03()(3

)75.03()(e e t t t t t t e e Var Y Var e e E Y E σσ