必修二第一章空间几何体练习题(含答案)
人教版A版高中数学必修2课后习题解答
第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构练习（第7 页）1．（1）圆锥；（2）长方体；（3）圆柱与圆锥组合而成的组合体；（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。
2．（1）五棱柱；（2）圆锥3．略习题1．1A组1．（1） C；（2）C；（3）D；（4） C2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。
（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体。
3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；（2）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体。
4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。
5．制作过程略。
制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。
B组1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。
2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。
1．2 空间几何体的三视图和直观图练习（第15 页）1．略2．（1）四棱柱（图略）；（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）；（3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）；（4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。
3．（1）五棱柱（三视图略）；（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）；4．三棱柱练习（第19 页）1．略。
2．（1）√（2）×（3）×（4）√3．A4．略5．略习题1．2A组1．略2．（1）三棱柱（2）圆台（3）四棱柱（4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体3~5．略B组1~2．略3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图。
1．3 空间几何体的表面积与体积。
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第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。
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人教版高一数学必修2第一章《空间几何体》专题检测一.选择题1. 在三棱锥P-ABC 屮，PA = PB = AC = BC = 2,AB = 2A //3,PC= 1,则三棱锥P-ABC 的外接球的表而积为( )4兀 52兀 A. — B. 4兀 C. 12n D. ---------------------- 3 3【答案】D【解析】取AB 中点D,连接PD,CD,则AD = \$, PD = ^AP 2-AD 2 = h 所以ABZAPD = 60°, ^APB= 120°,设△ APB 外接圆圆心为0】，半径为「则2T = ------------ = 4 sinl20°所以r = 2.同理可得：CD = L ZACB = 120°, A ABC 的外接圆半径也为2,因为PC = PD = CD= 1,所以APCD 是等边三角形，ZPDC = 60%即二面角P-AB-C 为60。
，球心O 在平面PCD 上, 过平面PCD 的截血如图所示，则O 】D = L PD=1,所以001=^01D = —,所以OF 2 = OO J + O J F 2 = - 3 3 3D.【点睛】本小题主要考查儿何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法•在解决有关儿何体外 接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径•找球心的方法是先找到一个 血的外心，再找另一个血的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.2.直三棱柱ABC ・AiB 】C ］的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2,则此球的表面积等于()52兀52兀 A. ---- B. 20兀 C- 10n D. 9 ・ 13 _ + 4 =—— ； 3 即R 2 = -,所以外接球的表而积S = 4TT R 2 = —.故选【答案】B【解析】设三角形BAC 外接圆半径为「，则= 盂=薯・•・「= 2・・・球的半径等于、夕+ 1 = “5,表面积等于4HR 2 = 20n.选B ・3. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（—2—H —2T【答案】C【解析】该儿何体为三棱锥，其直观图如图所示，体枳V = 1x （lx2 ><2卜2=±.故选C.4. 已知正四棱锥P-ABCD 的顶点均在球0上，且该正四棱锥的各个棱长均为2,则球0的表面积为A. 4兀B. 6兀C. 8兀D. 16n 【答案】c【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ；贝|JAO‘=-AC = Q, PA = 2, PCT 丄平面ABCD,故 2PO = 7P A 2-AO 2 = 而底iklABCD 所在截面圆的半径AO‘ = ©，故该截血圆即为过球心的圆，则球的半径 R = &‘故球O 的表面积$ = 4?rR 2 = 87T»故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切 问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的A.B. 1C.-D.俯视图关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做岀轴截面.5. 己知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为【答案】D【解析】由三视图可知，该儿何体为三棱锥，如图所示:C. 6 cm 3D. 7 cm 3【答案】A 【解析】 几何体如图四棱锥’体积为+ 2) x 2 = 4,选A.俯觀图A. 4cm 3B. 5 cm 3()A. 6yj2B. 6&C. 8D. 9AAB = 6, BC = 3忑,BD = CD = 3屈 AD = 9,故选：D点睛：思考三视图还原空间儿何体首先应深刻理解三视图Z间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.我国古代数学名箸《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺•问：须工儿何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为38丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A. 24642B. 26011C. 52022D. 78033【答案】B20 + 54【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为------ x 38 x 5500 = 7803300 （立方尺），一个秋夭工期2所需人数为------- = 26011,故选B.3008.已知某儿何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该儿何体外接球的表面积为（）A. 2兀B. 2#5兀C. 4兀D. 8兀【答案】D【解析】由已知三视图得：该几何体的直观图如下可知该儿何体外接球的半径为Q则该儿何体外接球的表而积为4兀•(厨=8TI故选D9. 在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是A(0Q2), B(220), C(1.2,l), D(222).则该四而体的体积V=()二、填空题10. 在平行六面体 ABCD —A]B]C]D]中，AB = 4 , AD = 3 , A 】A=5,厶 BAD = 90。
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则四边形 EFGH 是
；
②若 AC BD ， 则四边形 EFGH 是
．
三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分 )．
15．（ 12 分）将下列几何体按结构分类填空
①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；
⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○ 11 量筒；○12 量杯；○13 十字架．
（ 1）具有棱柱结构特征的有
；（ 2）具有棱锥结构特征的有
；
（ 3）具有圆柱结构特征的有
；（ 4）具有圆锥结构特征的有
；
（ 5）具有棱台结构特征的有
；（ 6）具有圆台结构特征的有
；
（ 7）具有球结构特征的有
；（ 8）是简单集合体的有
；
（ 9）其它的有
．
16．（ 12 分）已知： a ,b ,a b A, P b, PQ // a.求证： PQ .．
C．③④
3．棱台上下底面面积分别为 16 和 81,有一平行于底面的截面面积为
（） D ． ①②③④
36,则截面戴的两棱台高
的比为
（）
A ．1∶ 1
B． 1∶ 1
C． 2∶ 3
D ．3∶4
4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形 ,则这个平行六面体是
（）
A ．正方体
B．正四棱锥
C．长方体
D ．直平行六面体
2la
Q1 2 Q2 2
S侧 4al 2 Q12 Q2 2
19．解：设 A1B1C1D1 是棱台 ABCD －A2B2C2D 2 的中截面，延长各侧棱交于
P 点.
a
∵ BC=a ，B2C2=b ∴ B1C1=
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第一章章节测试题YC一、选择题：1．不共面的四点能够确立平面的个数为（）A ． 2 个B． 3 个C． 4 个 D ．没法确立2．利用斜二测画法获得的①三角形的直观图必定是三角形；②正方形的直观图必定是菱形；③等腰梯形的直观图能够是平行四边形；④菱形的直观图必定是菱形 .以上结论正确的选项是（）A ．①②B．①C．③④ D ．①②③④3．棱台上下底面面积分别为16 和 81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为（）A ．1∶ 1B． 1∶ 1C． 2∶ 3 D ． 3∶44．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A ．正方体B．正四棱锥C．长方体 D ．直平行六面体5．已知直线 a、 b 与平面α、β、γ，以下条件中能推出α∥β的是（）A ．a⊥α且 a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a α， b β， a∥ b D． a α， bα， a∥β， b∥β6．如下图，用符号语言可表达为（）A ．α∩β＝ m， nα， m∩ n＝AB ．α∩β＝ m，n∈α， m∩ n＝ AC．α∩β＝ m，nα， A m， A nD ．α∩β＝ m， n∈α， A ∈ m， A ∈ n7．以下四个说法① a//α， b α ,则 a// b②a∩α＝ P， bα，则 a 与 b 不平行③ a α，则 a//α④a// α， b //α，则 a// b此中错误的说法的个数是（）A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm, 高是 1cm,它的侧面积为（）97B．9 7 cm223 cm2 D ． 3 2 cm2A ．cm2C．239．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶ 4.再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（）A ．3∶ 4B． 9∶ 16C． 27∶64 D ．都不对10．将边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a，则三棱锥D— ABC 的体积为（）a3a33a32a3A ．B．C． D ．6121212二、填空题：11．螺母是由 _________和两个简单几何体组成的．12．一个长方体的长、宽、高之比为2：1： 3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________ ．13．如图，将边长为 a 的正方形剪去暗影部分后，围成一个正三棱锥，则正三棱锥的体积是．14．空间四边形、 、 G 、H 分别是ABCD 中， E F、 BC 、CD 、DA 的中点 .①若 AC=BD ，AB则四边形 EFGH 是；②若 ACBD ， 则四边形 EFGH 是．三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分 )．15．（ 12 分）将以下几何体按构造分类填空①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○11量筒；○ 量杯；○ 十字架．1213（ 1）拥有棱柱构造特点的有 ；（ 2）拥有棱锥构造特点的有 ；（ 3）拥有圆柱构造特点的有 ；（ 4）拥有圆锥构造特点的有 ；（ 5）拥有棱台构造特点的有 ；（ 6）拥有圆台构造特点的有 ；（ 7）拥有球构造特点的有；（ 8）是简单会合体的有；（ 9）其余的有．16．（ 12 分）已知： a,b ,a b A, P b, PQ // a.求证： PQ .．17．（ 12 分）正四棱台的侧棱长为 3cm ，两底面边长分别为 1cm 和 5cm ，求体积．18．（ 12 分）直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 Q 1， Q 2 ，求直平行六面体的侧面积．19．（14 分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求此中截面把此棱台侧面分红的两部分面积之比．20．（ 14 分）如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中， AC ＝ BC ＝1，∠ ACB ＝ 90°， AA1＝ 2 ，D是 A1B1中点．（1）求证 C1 D ⊥平面 A1B ；（ 2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．参照答案（五）一、 CBCDA ACADD ．二、 11．正六棱柱，圆柱； 12．48cm 31313) 13a2； 14．菱形，矩形 .；．(212三、 15．⑴①⑦⑨；⑵⑧；⑶⑾；⑷⑩；⑸⒁；⑹⑿⒃；⑺③⑥⒂；⑻②④⒀；⑼⑤. 16．此题主要考察用平面公义和推论证明共面问题的方法.证明∵ PQ∥ a,∴PQ 与 a 确立一个平面,直线 a,点P.p b,b,p又 a与重合PQ17．解：正四棱台ABCD A1 B1C1 D1O1 , O是两底面的中心A1 C1 2 ，AC 5 2A1O12AO 5 2 222O1O 3 252212211 1 [125212 52]1[1 25 5]31( cm 3 )Vh[ S SSS ]333318．解：设底面边长为 a ， 侧棱长为 l ， 两对角线分别为c ， d.c lQ 1 (1)则d l Q 2 (2)1 21 2c22da (3)2消去 c ， d 由（ 1）得 cQ 1，由（ 2）得 dQ 2， 代入（ 3）得ll221 Q 1 1 Q 2a 2Q 1 2 Q 2 2 4l 2a 22laQ 12Q 2 22 l 2 lS 侧 4al2 Q 1 2 Q 2219．解：设 A 1B 1C 1D 1 是棱台 ABCD －A 2B 2C 2D 2 的中截面，延伸各侧棱交于P 点.2 21 1a b∵ BC ∥B 11 S ∵ BC=a ，B C =b ∴ B C =C ∴2S(a b)2∴ S PB 1 C 14a2S PBCPBCa 2 PB 1C 1a b 2 ()2同理SPB 2 C 2b 2SPBCSB 1C 1CBSPB 1C 1SPBCa2∴S B C C BSPB C2SPB C2 2 1 121 1(a b) 24a2122ab2(b3a)(b a) b 3ab3ab 2 (ab) 23b 2 2ab a 2(3b a)(b a)3b aa 24a 2同理：SABB 1 A 1S DCC 1 D 1SADD 1 A 1b 3a SA 1B 1 B 2 A 1SD 1 C 1C 2 D 2SA 1D 1D 2 A 13b a由等比定理，得S 上棱台侧＝ 3a bS 下棱台侧a 3b20．（ 1）证明：如图 ，∵ABC — A 1B 1C 1 是直三棱柱，∴ A 1C 1 ＝ B 1C 1 ＝ 1，且∠ A 1C 1B 1 ＝90°．又D 是B 的中点 ，∴CD ⊥ A B 1．A 1 111∵ AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1 ， C 1D 平面 A 1B 1C 1 ，∴ AA 1 ⊥ C 1D ，∴ C 1D ⊥ 平面 AA 1B 1B ．（2）解：作DE ⊥ AB 1 交 AB 1 于 E ， 延伸 DE 交 BB 1 于 F ， 连接 C 1F ， 则 AB 1 ⊥ 平面 C 1DF ， 点 F 即为所求．事实上，∵C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1平面 AA1B1B ，∴C1D ⊥AB1．又 AB1⊥DF ， DF C1D ＝ D ，∴AB 1⊥ 平面C1DF ．。
数学《必修2》第一章“空间几何体”测试题与答案
数学《必修2》第一章“空间几何体”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)１．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是正方形；③等腰梯形的直观图一定是等腰梯形；④平行四边形的直观图一定是平行四边形。
以上结论正确的是（）Ａ.①②Ｂ.①④Ｃ.③④Ｄ. ①②③④2．下列说法正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展开成平面图形D.棱柱的各条棱都相等3．圆台的母线长为6，两底面半径分别为2、7，则圆台的侧面积为（）A.54πB.8πC.4πD.164．给出下列结论：①圆柱的母线是其上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线；②圆锥的母线是圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线；③圆台的母线是圆台上、下底面圆周上任意两点的连线。
其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.②。
5．已知底面为正方形的长方体的各顶点都在一个球面上，长方体的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π6．下列说法错误的是（）A.棱柱最少有5个面B.棱锥最少有4个面C.棱台的底面有2个D.棱锥的底面边数和侧棱数不一定相同7．下列四个图形不是下图1中几何体的三视图之一的是（）图1 A B C D8．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台 9．正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ）A. B.64 C.16 D. 96 10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．半径为2的球的体积等于 ，表面积等于12．圆锥的侧面展开图为圆心角为120、半径为1的扇形，则圆锥的侧面积为 13．如下图所示，等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰AD CB ==3AB =，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画的直观图''''A B C D 的面积为 14．某几何体的三视图如下图所示, 则其体积为_______.15．某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是____________.第13题图14题图第15题图三、解答题：(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．求下列几何体的体积与表面积。
【三维设计】人教版高中数学必修2练习：第一章 空间几何体(含答案解析)
1．1空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征空间几何体与多面体[导入新知]1．空间几何体1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要4个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a 所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b 所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c 所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d 所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[答案](3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形答案：D棱锥、棱台的结构特征[例2]下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．[答案](2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：下列说法正确的有()①由5个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余4个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A多面体的平面展开图[例3]如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的6个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．5C．快D．乐答案：B1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例]如下图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析]①正确，因为有6个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如下图所示．[答案]①③④⑤[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如右图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案：A一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C2.如右图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案：B3．下列说法正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①②B．①③C．②③D．②④答案：B4．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10答案：D5．下列命题正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．答案：三 57.如右图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)答案：(1)不一定(2)不一定三、解答题9．如右图所示，长方体ABCD -A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征旋转体 [导入新知]1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．简单组合体[导入新知]1．简单组合体的概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[化解疑难]简单组合体识别的要求(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．旋转体的结构特征[例1]给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径．其中说法正确的序号是________．[答案](2)(3)(4)[类题通法]1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪种平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[活学活用]给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．答案：(1)(2)简单组合体[例2]观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)题图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①.(2)题图②所示几何体的结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②.(3)题图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？请说明该几何体的面数、棱数、顶点数．[解](1)图①是由圆锥和圆台组合而成．可旋转如下图形180°得到几何体①.(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如下图形360°得到几何体②.(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．[类题通法]1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如题图③所示的组合体有9个面，9个顶点，16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．[活学活用]指出图①～图③的3个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：图①几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成；图②几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成；图③几何体由一个六棱柱挖去一个圆柱而成．1.旋转体的生成过程[典例]如右图所示，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．[解题流程][规范解答]以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图①所示．以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图②所示．以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图③所示．以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图④所示．[活学活用]一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解：如图①和图②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．一、选择题1．下列说法正确的是()A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形答案：C2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥答案：D3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥答案：D4．下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1C．2 D．3答案：B5.如右图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案：D二、填空题6．有下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．其中正确的是________(把所有正确说法的序号都填上)．答案：②④7．下面这个几何体的结构特征是_____________________________________.答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱三、解答题9．指出如图①、图②、图③所示的图形分别是由哪些简单几何体构成的．解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体；图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体；图③是由一个半球、一个圆柱和一个圆台拼接而成的简单组合体．10.如右图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如右图所示，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD ，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，所以l ＝20 cm ，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1．2空间几何体的三视图和直观图1.2.1 & 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图中心投影与平行投影 [导入新知] 1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别 (1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．三 视 图 [导入新知]1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．中心投影与平行投影 [例1] 下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③两条相交直线的平行投影是两条相交直线． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B [类题通法]1．判定几何体投影形状的方法．(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质： ①直线或线段的投影仍是直线或线段； ②平行直线的投影平行或重合；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．[活学活用]如右图所示，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的序号是________．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影与在平面ABB′A内的投影是全等的平行四边形．答案：①③画空间几何体的三视图[例2]画出如右图所示的四棱锥的三视图．[解]几何体的三视图如下：[类题通法]画三视图的注意事项(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．[活学活用]沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()答案：B由三视图还原空间几何体[例3]如下图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．(1)(2)(3)[解](1)该三视图表示的是一个四棱台，如右图．(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如下图．(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如右图所示．[类题通法]由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．[活学活用]如图①、图②、图③、图④为4个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台答案：C2.画几何体的三视图常见误区[典例]某几何体及其俯视图如下图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()[解析]该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.[答案] A[易错防范]1．易忽视该组合体的结构特征是由圆柱切割而得到，对正视方向与侧视方向的判断不正确而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．[成功破障]沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如右图所示，它的俯视图是()答案：D一、选择题1．4个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有()答案：A2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案：D3．若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案：B4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案：C5．将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案：B二、填空题6．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．答案： 27．如图甲所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．答案：(1)(2)(3)8．两条平行线在一个平面内的正投影可能是________．①两条平行线；②两个点；③两条相交直线；④一条直线和直线外的一点；⑤一条直线．答案：①②⑤三、解答题9．如下图所示，画出下列组合体的三视图．解：三视图如图①、图②所示．10．某组合体的三视图如下图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的是组合体，如右图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．1．2.3空间几何体的直观图斜二测画法[导入新知]1．用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．[化解疑难]1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．水平放置的平面图形的直观图[例1]按右图所示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.。
高中数学必修二第一章空间几何体解答题专项练习题附答案学生版
16.如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
17.直角梯形 ABCD 如图所示，分别以 AB、BC、CD、DA 所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
18.如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何 体的表面积（其中∠BAC=30°）及其体积． 19.根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形.
25.有一块扇形铁皮 OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形 ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的 扇形 OCD 内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求: （1）AD 应取多长? （2）容器的容积为多大?
26.如图是表示以 AB=4，BC=3 的矩形 ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形 EFGH 为截面．已知 AE=5，BF=8，CG=12． （1）作出截面 EFGH 与底面 ABCD 的交线 l； （2）截面四边形 EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求 DH 的长．
3.
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ° ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱
的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为
，求该三棱柱的体积.
4.如图所示，四棱锥 V-ABCD 的底面为边长等于 2 的正方形，顶点 V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高， 侧棱长均为 4，求这个四棱锥的体积及表面积.
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24.如图，甲、乙是边长为 t 的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一 个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．
高中数学必修二第一章《空间几何体》单元练习题(含答案)
高中数学必修二第一章《空间几何体》单元练习题(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.所给三视图表示的简单组合体的结构特征是( )A.由圆柱和圆锥组成B.由圆柱和棱锥组成C.由棱柱和圆锥组成D.由圆台和圆锥组成3.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.2+C.1+2D.24.圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( )A.SB.πSC.2πSD.4πS5.若圆台两底面周长的比是1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是 ( )A.B.C.1D.6.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是 ( )二、填空题(每小题4分,共12分)7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.8.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点,则三棱锥P-A 1MN 的体积是 .9.用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不计,则轴截面面积是 cm 2.三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知四棱锥P-ABCD,其三视图和直观图如图,求该四棱锥的体积.11.如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积是多少?高中数学必修二第一章《空间几何体》单元练习题(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.根据棱柱的结构特征不可能有奇数个,因此最多2个.2.所给三视图表示的简单组合体的结构特征是( )A.由圆柱和圆锥组成B.由圆柱和棱锥组成C.由棱柱和圆锥组成D.由圆台和圆锥组成【解析】选A.由三视图可知此组合体的上方是圆柱,下方是圆锥,故选A.3.(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.2+C.1+2D.2【解析】选B.由该四面体的三视图可知,该四面体的直观图如图所示:其中侧面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=,取AC的中点O,连接PO,BO,则在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB=,所以S=2××2+×2×2=2+.4.(2015·西安高一检测)圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( )A.SB.πSC.2πSD.4πS【解析】选B.设圆柱底面半径为r,则S=4r2,S侧=2πr·2r=4πr2=πS.5.若圆台两底面周长的比是1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是( )A. B. C.1 D.【解析】选D.设上、下底半径分别为r1,r2,过高中点的圆面半径为r0,由题意得r2=4r1,r0=r1,所以==.6.(2015·威海高一检测)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )【解析】选C.当俯视图为A中正方形时,几何体为棱长为1的正方体,体积为1;当俯视图为B中圆时,几何体为底面半径为,高为1的圆柱,体积为;当俯视图为C 中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,体积为;当俯视图为D 中扇形时,几何体为圆柱的,且体积为. 二、填空题(每小题4分,共12分)7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.【解析】设球的半径为rcm,则πr 2×8+πr 3×3=πr 2×6r.解得r=4. 答案:48.(2015·四川高考)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点,则三棱锥P-A 1MN 的体积是 .【解析】V=××=.答案:9.用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不计,则轴截面面积是 cm 2.【解析】以4为高卷起,则2πr=8,所以2r=,所以轴截面面积为cm 2;若以8为高卷起,则2πR=4,所以2R=,所以轴截面面积为cm 2.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知四棱锥P-ABCD,其三视图和直观图如图,求该四棱锥的体积.【解析】由三视图知底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4.顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E,即棱锥的高为2,则体积V P-ABCD=S ABCD×PE=×2×4×2=.11.如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积是多少?【解析】设球半径为Rcm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm,球心到截面的距离为(R-2)cm,所以由42+(R-2)2=R2,得R=5,所以球的体积V=πR3=π×53=(cm3).。
高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案)
高一数学必修2第一章测试题班别姓名考号得分一、选择题：（每小题5分，共50分）1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（）A. 1：3B. 1：1C. 2：1D. 3：14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：95.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. 3B. 32 C. 33 D. 346.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:97.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：（）俯视图主视图侧视图A.24πcm2，12πcm3B.15πcm2，12πcm3C.24πcm2，36πcm3D.以上都不正确8．下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2 C．3 D．49．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）10．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对二、填空题:（每小题6分，共30分）11．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
12．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。
高中数学人教课标实验A版必修2第一章《空间几何体》同步练习(附答案)
《空间几何体》同步练习一、教学内容空间几何体二、重点、难点1．空间几何体的结构2．三视图与直观图，斜二测画法3．表面积与体积三、典型例题例1 （1）n 棱柱有 个面 个顶点 棱 个侧面 侧棱．（2）n 棱锥有 个面 个顶点 棱 个侧面 侧棱．（3）n 棱台有 个面 顶点 棱 个侧面 侧棱．解：（1）n n n n n ,,3,2,2+ （2）n n n n n ,,2,1,1++ （3）n n n n n ,,3,2,2+例2 下列命题中正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 答案：C例3 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ）A ．圆柱B ．三棱柱C ．圆锥D ．圆台 答案：C例4 已知正三角形ABC 边长为a ，那么ABC ∆的平面直观图C B A '''∆的面积为 ．解：如图a B A ='' ∴ a B O A O 21=''='' ∴ a C O 43='' 过C 作B A D C ''⊥''于D ' ︒='''∠45D O C ∴ a D C 86='' ∴ 216621a D C B A S C B A =''⋅''⋅='''∆ 例5 ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，b AC =，a BC =（b a >）分别绕BC 、AC 、AB 旋转三角形得三个旋转体，其体积c b a V V V 、、的由大到小顺序为 ．解：a b V a ⋅=231πb a V b 231π=2222222223)(31ba b a b a b a ab V c +⋅=+⋅+=ππ0)(31>-=-b a ab V V a b π ∴ a b V V >]1[31222b a a ab V Vc a +-=-π0)(322222>-+⋅+=a b a b a ab π∴ c a V V > ∴ c a b V V V >>例6 圆柱全面积为S ，侧面积为Q ，求体积． 解：设底面半径为r ，高为h∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧==+)(2222222Q S Q h QS r Q rh S r rh πππππ )(242Q S Qh r V -⋅==πππ 例7 圆锥全面积为π，求体积的最大值． 解：设底面半径为r ，高为h ，母线长为l⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒+==+211222222r h r r l h r l rl r πππ81)41(23232131312242222+--=-=-⋅=⋅=r r r rr h r V ππππ∴ 412=r ，21=r 时，π122max =V 例8 球、正方体、等边圆柱（轴截面为正方形，即r l 2=）等边圆锥（轴截面为正∆，r l 2=）体积相等，则表面积的大小关系．解：设体积为V ，正方体棱长为a ，圆柱底面半径为1r ，圆锥底面半径为2r ，球半径为3r（1）正方体：3a V =，31V a =，322166V a S ⋅== （2）圆柱：312r V π=，32321231546,2V r S Vr πππ=== （3）圆锥：32322332323243,32,63V r S Vr r V ππππ====（4）球：32.32343333364,43,34V r S Vr r V ⋅====ππππ ∴ 4213S S S S >>>例9 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．（1）求这个三个球的表面积之比 （2）求这个三个球的体积之比 解：（1） ① 21,2,2a S ar a r π===② 222,22,22a S a r a r π=== ③ 233,23,32a S a r a r π=== ∴ 3:2:1::321=S S S （2）① 6)2(34331a a V ππ==② 32)22(34332a a V ππ== ③ 23)23(34333a a V ππ== ∴ 33:22:1::321=V V V例10 长方体1111D C B A ABCD -中，AB =3，BB 1=2，BC =1，求沿表面由A 到C 1的最短距离．解：主要研究长方体的表面展开图（1）沿11C B ，11D C ，11A D 展开，2333221=+=AC（2）沿BB1，B1C1，C1C展开，265121=+=AC（3）沿111,,BCCCBC展开，5242221=+=AC∴1AC最小为23例11 正四棱台两底面面积分别为2249,25cmcm，侧棱长为cm23，求这个棱台的体积，表面积以及截得这个棱台的原棱锥的高．解：（1）17231751111=⇒⎭⎬⎫==⇒⎭⎬⎫==DBBBBDABBA∴17)75(214)4925(⋅+⋅++=表S2)172474(cm+=（2）423227251111=⇒⎪⎭⎪⎬⎫==⇒⎪⎭⎪⎬⎫==E C CC CE AC C A 334364)354925(31cm V =⋅++=（3）2251=F C 227=CQ 41=E C ∴CQF C PQ E C PQ 11=- PQ PQ 5287=- PQ=14∴ 14=锥h。
必修二空间几何体试题三套含答案
（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）AB. C. D. 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．D5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，主视图 左视图 俯视图则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
人教版高中数学必修2第一章空间几何体练习题及答案全
第一章空间几何体1.1 空间几何体的构造一、选择题1、以下各组几何体中是多面体的一组是〔〕A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、以下说法正确的选项是〔〕A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面相互平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面相互平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是〔〕A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、以下说法错误的选项是〔〕A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是〔〕A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个〔〕A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
8、一个棱柱有10个顶点，全部侧棱长的和为60，那么每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、程度放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面〞表示。
图中是一个正方体的平面绽开图，假设图中的“似〞表示正方体的前面，“锦〞表示右面，“程〞表示下面。
那么“祝〞“你〞“前〞分别表示正方体的—————三、解答题：祝你前程似锦11、长方体—A 1B 1C 1D 1中，＝3，＝2，1＝1，由A 到C 1在长方体外表上的最短间隔 为多少？12、说出以下几何体的主要构造特征 〔1〕 〔2〕 〔3〕 一、选择题1、两条相交直线的平行投影是〔 〕A 两条相交直线B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是〔 〕① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱A ②①③B ①②③C ③②④D ④③②正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图侧视图 俯视图甲 乙 丙3、假如一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，那么这个几何体可能是〔 〕A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥A A 1B 1BC C 1D 1 D4、以下说法正确的选项是〔 〕A 程度放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍旧是平行四边形D 相互垂直的两条直线的直观图仍旧相互垂直5、假设一个三角形，采纳斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的〔 〕 A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍6、如图〔１〕所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是〔 〕二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图及俯视图是两个全等的———————三角形。
高一数学必修二第一章空间几何形状练习题及答案
高一数学必修二第一章空间几何形状练习题及答案练题1. 已知立方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$6\text{cm}$ ，点$E$恰好在 $BC$ 上，在 $DE$ 上取点 $F$，试求：(1) $\angle A_1FB_1$ 的大小；(2) $EF$ 的长度。
2. 已知底面为等腰直角梯形的四面体$S-ABC$，$AB=AC=\sqrt{3}\text{cm}$，$BC=2\text{cm}$，$SA\perp AB$，$SA=2\text{cm}$，$M$ 为 $BC$ 中点，过点 $M$ 作 $SA$ 的垂线$MH$，交 $BC$ 于点 $H$。
(1)求 $SA$ 与面 $ABC$ 的夹角；(2) 求 $MH$ 的长度。
3. 在正四面体$S-ABC$中，$M$ 为 $BC$ 中点，过 $S$，$M$ 的平面与直线 $AB$ 交于点 $E$，过 $S$，$M$ 的平面与直线$BC$ 交于点 $F$。
(1) 求 $EF$ 的长；(2) 设 $SE$ 交 $AF$ 于 $N$，求 $SN$ 的长。
4. 已知棱长为 $5\text{cm}$ 的正四棱锥 $S-ABCD$，平面$ABCD$ 与平面 $SAB$ 的夹角为 $60^{\circ}$。
设 $AD$ 与平面$SBC$ 相交于 $E$，$BE$ 交平面 $SAD$ 于点 $F$。
(1) 求过顶点 $S$ 的平面与平面 $ABCD$ 的交线段的长度；(2) 过顶点 $S$ 且垂直于平面 $ABCD$ 的直线交 $EF$ 于点$G$，求 $SG$ 的长度。
答案1.(1) $\angle A_1FB_1=45^{\circ}$(2) $EF=3\sqrt{2}\text{cm}$2.(1) $\cos \angle BSA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 则 $\angle BSA=45^{\circ}$。
(2) $MH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{cm}$3.(1) $EF= \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$(2) $SN=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}$4.(1) $SB=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$(2) $SG=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$以上答案仅供参考，具体求解过程需要参考相关知识点及公式计算。
高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案)
必修2第一章一、选择题：1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ）A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（ ）A. 1：3B. 1：1C. 2：1D. 3：14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：95.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A. 3B. 32C. 33D. 346.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ）A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:97.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ）俯视图 主视图 侧视图A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm 3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确8．下列几种说法正确的个数是（ ）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A ．1B ．2C ．3D ．49．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A ．B 2C ． D10．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ）A ．3∶4B ．9∶16C ．27∶64D ．都不对二、填空题:（每小题6分，共30分）11．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
12．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。
高中数学必修二第一章 空间几何体课后作业(含答案)
第一章 空间几何体 第1课时 多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是( )A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C ．正方体的各条棱长都相等D ．棱柱的各条棱长都相等 2．棱台不具备的特点是( )A ．两底面相似B ．侧面都是梯形C ．侧棱都相等D ．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．2∶1D ．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，当用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8．如图所示的是一个三棱台ABC —A 1B 1C 1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形； ②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形； （2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？第二课时 旋转体与简单组合体的结构特征一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 2．下列说法正确的是( )A ．直线绕定直线旋转形成柱面B ．半圆绕定直线旋转形成球体C ．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D ．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5) 4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()A ．a 是棱台B ．b 是圆台C ．c 是棱锥D ．d 不是棱柱5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________． 6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等 的矩形；（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l 旋转180°.7. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是( )①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行． A ．0B ．1C ．2D ．39．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12．如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．§1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图一、基础过关 1．下列命题正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图()5．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是______和________．7．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．8．画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图．二、能力提升9．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()10．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱11．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________．12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．三、探究与拓展13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？1.2.3空间几何体的直观图一、基础过关1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有()A．①②B．①④C．③④D．①③④2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．90°D．45°或135°3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()5．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是______________．(填序号)6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．二、能力提升9．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm10．如图所示的是水平放置的△ABC 在直角坐标系的直观图，其中D ′是A ′C ′的中点，且∠A ′C ′B ′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条． 11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．12．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．三、探究与拓展13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，如图，其中的对角线A ′C ′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．§1.3 空间几何体的表面积与体积第一课时 柱体、锥体、台体的表面积一、基础过关1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()A ．6B ．6πC ．35πD ．65π 4．三视图如图所示的几何体的全面积是()A ．7＋ 2B ．112＋2C ．7＋ 3D ．325．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________． 6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm 2.7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．8．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A 出发沿长方体表面爬行到C 1来获取食物，求其路程的最小值．二、能力提升9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B ，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8 10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A ．372B ．360C ．292D ．28011．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．12．有一根长为3π cm ，底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．三、探究与拓展13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．第二课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的( )A ．12B ．14C ．18D ．242．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1 3．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________ cm. 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为______ cm 3.7．（1）表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；（2）体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两垂直且P A ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积．二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为( )A ．2π，6πB ．3π，5πC ．4π，6πD ．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．章末检测一、选择题1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是 ( ) A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥组合体D ．无法确定1题图 2题图2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中()A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC4题图5题图5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是()A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6 B．9 C．12 D．188．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π9．如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6 C．8 D．1210．将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的()11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A．26B．36C．23D．22二、填空题13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱14．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm3.15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．16．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．三、解答题17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，（1）求该几何体的表面积(结果保留π)；（2）求该几何体的体积(结果保留π)．18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图如图．（1）在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；（2）求这个几何体的体积．19．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD 绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：（1）AD的长；（2）容器的容积．第一章空间几何体参考答案第1课时多面体的结构特征参考答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例第二课时旋转体与简单组合体的结构特征参考答案1．C 2.D 3.D 4.C 5.圆锥6．解(1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正五棱柱．(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．7．解如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．A9.B10.π611．解 假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示． 当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示．12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OP A 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可Q 的周长相等，求得OA ＝20 cm.设∠BOB ′＝α，由于扇形弧BB ′的长与底面圆而底面圆Q 的周长为2π×10 cm.扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40 cm ，扇度20π为所在圆形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧BB ′的长周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M ＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm.1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图参考答案1．D 2.C 3.D 4．C5．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 6.2 47．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．8．解 三视图如图所示：9．A 10．D 11．612．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.2.3 空间几何体的直观图参考答案1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.57．解 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .过C ′作C ′D ′⊥O ′A ′于D ′，则C ′D ′＝22h . 由题意知12C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S .即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (C ′B ′＋O ′A ′)＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连接V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ； (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.9．A 10.2 11.2212．解 画法：步骤：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形， ∴∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′ ＝45°，∴在原四边形ABCD 中， DA ⊥AC ，AC ⊥BC ， ∵DA ＝2D ′A ′＝2， AC ＝A ′C ′＝2，∴S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.第一课时 柱体、锥体、台体的表面积参考答案1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12 800 7.28．解 把长方体含AC 1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC 1的长分别为90、74、80.由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为74. 9．A 10．B 11．3812．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图所示)，由题意知BC ＝3π cm ，AB ＝4π cm ，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度． AC ＝AB 2＋BC 2＝5π cm ， 故铁丝的最短长度为5π cm.13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍． ∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36. ∴该几何体的表面积为36.第二课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积参考答案1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6 7．(1)球 (2)球8．解 ∵P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝PC ＝a .∴以P A 、PB 、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P 、A 、B 、C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a ，∴V ＝43πR 3＝43π(32a )3＝32πa 3.9．A 10.A 11.9π＋1812．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .13．解 设正方体的棱长为a .如图所示．(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面， 所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr21＝πa 2.(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.章末检测答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π16.14－12π17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．18．解 (1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为2，高为3，所以体积V ＝13×22×3＝433.19．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′ ＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2 ＝1483π. 20．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180×7272－x ＝3R，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12x ＝36.即AD 应取36 cm.(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6 cm ，圆台的高h ＝x 2－(R －r )2＝362－(12－6)2＝635. ∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3)．。
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第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8.如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例第2课时旋转体与简单组合体的结构特征一、基础过关1．下列说法正确的是() A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线2．下列说法正确的是() A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．a是棱台B．b是圆台C．c是棱锥D．d不是棱柱5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．(1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；(2)如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是()①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行．A．0 B．1 C．2 D．39．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12．如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB 的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．答案1．C 2.D 3.D 4.C 5.圆锥6．解(1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正五棱柱．(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．7．解如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．A 9.B 10.π611．解 假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示． 当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示． 12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OP A 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20cm.设∠BOB ′＝α，由于扇形弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为2π×10cm.扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40cm ，扇形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80πcm.所以扇形弧BB ′的长度20π为所在圆周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M ＝50cm ，即所求绳长的最小值为50cm.§1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图一、基础过关 1．下列命题正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是______和________．7．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．8．画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图．二、能力提升9．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()10．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱11．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________．12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．三、探究与拓展13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？答案1．D 2.C 3.D4．C5．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B 6.2 47．解图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．8．解三视图如图所示：9．A10．D11．612．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.2.3空间几何体的直观图一、基础过关1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有() A．①②B．①④C．③④D．①③④2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于() A．45°B．135°C．90°D．45°或135°3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()5．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是______________．(填序号)6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．二、能力提升9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8cm B．6cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．12．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4cm ，CD ＝2cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3cm ，试画出它的直观图．三、探究与拓展13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，如图，其中的对角线A ′C ′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．答案1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.57．解 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .过C ′作C ′D ′⊥O ′A ′于D ′，则C ′D ′＝22h . 由题意知12C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S .即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (C ′B ′＋O ′A ′)＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连接V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.9．A 10.2 11.2212．解 画法：步骤：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形，∴∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′ ＝45°，∴在原四边形ABCD 中， DA ⊥AC ，AC ⊥BC ， ∵DA ＝2D ′A ′＝2， AC ＝A ′C ′＝2，∴S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.§1.3 空间几何体的表面积与体积第1课时 柱体、锥体、台体的表面积一、基础过关1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A ．6B ．6πC ．35πD ．65π 4．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B.112＋2C ．7＋ 3D.325．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm 2.7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 8．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A 出发沿长方体表面爬行到C 1来获取食物，求其路程的最小值． 二、能力提升9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B ，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于() A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶810．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A．372 B．360 C．292 D．28011．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．12．有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．三、探究与拓展13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．答案1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12800 7.28．解 把长方体含AC 1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC 1的长分别为90、74、80.由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为74. 9．A 10．B 11．3812．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图所示)，由题意知BC ＝3πcm ，AB ＝4πcm ，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度． AC ＝AB 2＋BC 2＝5πcm ， 故铁丝的最短长度为5πcm.13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍． ∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36. ∴该几何体的表面积为36.第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的( )A.12B.14C.18D.24 2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶13．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为() A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2D．b2∶a24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是() A．1 B．2 C．3 D．45．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________cm.6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D 的体积为______cm3.7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果P A、PB、PC两两垂直且P A＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为() A．2π，6πB．3π，5πC．4π，6πD．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．答案1．C 2.A 3.B 4.C 5.36．67．(1)球(2)球8．解∵P A、PB、PC两两垂直，P A＝PB＝PC＝a.∴以P A 、PB 、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P 、A 、B 、C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a ，∴V ＝43πR 3＝43π(32a )3＝32πa 3.9．A 10.A 11.9π＋1812．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .13．解 设正方体的棱长为a .如图所示．(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面， 所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.(3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.章末检测一、选择题1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是() A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定1题图2题图2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是() A．①②B．②③C．①③D．①②3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中() A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC4题图5题图5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是() A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6 B．9 C．12 D．188．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π9．如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6 C．8 D．1210．将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的()11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为() A．120°B．150°C．180°D．240°12．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22二、填空题13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱14．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________． 16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．三、解答题17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图如图．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；(2)求这个几何体的体积．19.如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20.如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD的长；(2)容器的容积．答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B9．A 10．A11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π 16.14－12π17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2m 的正方体，上半部分是半径为1m的半球．(1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．18．解 (1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为2，高为3，所以体积V ＝13×22×3＝433.19．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′ ＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2 ＝1483π.20．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180×7272－x ＝3R，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12x ＝36.即AD 应取36cm.(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6cm ，圆台的高h ＝x 2－(R －r )2＝362－(12－6)2＝635. ∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3)．。