《高等数学》分部积分法

)n
2 n In 2 n a2In1
得递推公式
I n1
1 2na2
(x2
x a2)n
2 2
n n
1 a2
I
n
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In
dx (x2 a2)n
递推公式
I n1
1 2na2
(x2
x a2)n
2 2
n n
1 a2
In
Leabharlann Baidu
说明: 例如,
已知
I1
1 arctan a
x a
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例2. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x , v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1 (x arctan x) C
2
2
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例3. 求 ex sin x dx.
例8. 求In
(x2
dx a2
)n
.
解: 令 u
In (x
(
2
1 x2 a2 x a2)n
)n
, 2
v n
(
1, x2
则 u
x2 a2
(
x
2
2nx a2)
)n1 dx
n1
,
v
x
(x2
x a2)n
2n
(x2 a2) a2 (x2 a2 )n1
dx
(x2
x a2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设 u ex , v 为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
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解题技巧: 选取 u 及 v的一般方法 :
把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三”
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例4. 求 arccos x dx.
的 反: 反三角函数
对: 对数函数 幂: 幂函数
解: 令 u arccos x , v 1 , 则
指: 指数函数 三: 三角函数
u
1 1 x2
,
vx
原式 x arccos x 1 x2 C
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例5. 求
ln cos x cos2 x
dx
.
解:
令
u ln cos x ,
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v 后
3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式
4. 计算格式 : u u
v v
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思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
cos sin
x x
dx
d sin x sin x
sin sin
x x
(1 sin
) sin x
x
dx
1
cos x sin 2 x
sin
x
dx
1
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
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tan n
x
dx
tan n1 n 1
x
In2
(n 2)
证: In tan n2 x (sec2 x 1) dx
tan n2 x d(tan x) In2
tann1 x n 1
In2
注: In I0 或 I1
I0 x C , I1 ln cos x C
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v
1 cos2
x
,则
u tan x , v tan x
原式 tan x ln cos x tan x x C
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例6. 求 e x dx.
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t 原式 2e x ( x 1) C
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例7. 求 x2 a2 dx (a 0).
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x x2a2
,
vx
x2 a2 dx
x x2 a2
x2 a2 dx a2
dx x2 a2
∴
原式
=
1 2
x
x2 a2 a2 ln ( x 2
x2 a2 ) C
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第三节
第三章
分部积分法
由导数公式 (uv) uv uv
积分得: uv uvdx uvdx uvdx uv uv dx 分部积分公式
或 udv uv v du
选取 u 及 v(或dv) 的原则: 1) v 容易求得 ;
2) uv dx 比 u v dx 容易计算 .
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C
利用递推公式可求得
In .
I3
1 4a2
(x2
x a2
)2
3 4a2
I2
1 4a2
(x2
x a2)2
3 4a
2
1 2a
2
x2
x a2
1 2a2
I1
1 4a2
(x2
x a2
)2
3 8a4
x2
x
a2
3 8a5
arctan
x a
C
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例9. 证明递推公式
In
cos x
x
,
求
x f (x) dx.
解:
x
f
(
x)
dx
sin
x
2
cos x
x
C
说明: 此题若先求出 f (x) 再求积分反而复杂.
x
f
(x) dx
cos
x
2 sin x
x
2 cos x2
x d
x
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内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx 1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分
解: 令 u sin x , v ex , 则 u cos x , v ex
∴ 原式 ex sin x ex cos x dx
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
例1. 求 xcos x dx.
解: 令 u x , v cos x , 则 u 1, v sin x ∴ 原式 x sin x cos x C
思考: 如何求 x 2sin x dx ?
提示: 令 u x2 , v sin x, 则
原式 x2 cos x 2 x cos x dx
说明: 分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
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例10.
已知
f
(x)
的一个原函数是