全国初中数学竞赛试题参考答案广东省

全国初中数学竞赛试题及参考答案
（广东省3月17日复试）
一．选择题（5×7'=35'）
1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5
【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ．
2.已知关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 2
353
52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2
116.-≤≤-t D 【分析】20232
35352<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ．
注意到15=x 时，只有4个整数解．所以
2116152314-≤<-⇒<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x
x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【分析】422222222+-=⇒--=-+-x x a x
x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）；
ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）；
再考虑等根：
ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84=
→=--=∆a a ，当21,272,1==x a . 故27,
8,4=a ，2
1,1,1-=x 共3个.本题选C ．
4.如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段
BC 的延长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部
分的面积为( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【分析】设ABC ∆底边BC 上的高为h ，则
DE CF CF BC h 121244848====，
)(2121212121h h DE h DE h DE S S BDE ADE +⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=
+∆∆ 本题选D ．
6122121=⋅⋅=⋅⋅=
DE DE h DE
5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )．
41.A 92.B 185.C 36
7.D 【分析】9
236811291214==+++=C C C P 本题选B ．
二．填空题（5×7'=35'）
6.设33=a ，b 是a 2的小数部分，则3)2+b （的值为 ．
【分析】考虑到33=a ，则33333332292,29,327982，93=+-==<<===b b a 则9)9()2333==+b （
7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ．
【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有612⨯，而总次数是666⨯⨯次，则其概率为3
1666612=⨯⨯⨯=
P .
8.已知正整数a 、b 、c 满足a +b 2-2c -2=0,3a 2-8b +c=0，则abc 的最大值为 ．
【分析】先消去c ，再配方估算．24
166)8()121(621662222+=-++⇒=-++b a b b a a
观察易知上式中3≤a ，故3,2,1=a ，经试算，2,1=a 时，b 均不是整数；当3=a 时，11,5=b ，于是有)61,11,3(),13,5,3(),,(=c b a ，故201361113max =⨯⨯=abc ．
9. 实数a 、b 、c 、d 满足：一元二次方程x 2+cx +d=0的两根为a 、b ，一元二次方程x 2+ax +b=0的两根为c 、d ，则所有满足条件的数组（a 、b 、c 、d ）为 ．
【分析】由根与系数关系知b cd d ab d b a d c c b a ===⇒=++=++,,0，然后可得
（a 、b 、c 、d ）=(1,-2,1,-2)
本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．
10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔．
【分析】设4元的卖x 支，7元的卖y 支，则350,2013
74<+=+y x y x 4125031820124201374++
-=⇒++-=⇒=+y y x y y x y x 令144
1-=⇒=+k y k y ，则k k k x 7505)14(2503-=+--=，又350≤+y x ，即523
151350147505≥−−→−≥⇒≤-+-∈k k k k N k ，207152414=-⨯≥-=k y 即他至少卖了207支圆珠笔．
三．解答题（4×20'=80'）
11．如图，抛物线y =ax 2+bx -3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，
与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA ．直线13
1+-
=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC -∠CBE ．
【分析】易知4)1(3222--=--=x x x y ，)4,1()3,0()0,3(),0,1(---D C B A ，，，作EF ⊥CO 于F ，连CE ，易知△O
BC 、△CEF 都是等腰直角三角形，则△CBE 是直角三角形．分别在Rt △O
BD 、Rt △BCE 中运用正切定义，即有
3
1232tan 31tan =====BC CE ，OB OD βα，则βα= 从而可得∠DBC -∠CBE=45º．
12．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一
点(不是端点)，满足CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，E 为垂足，若CE =10，且AD
与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．
【分析】设圆O 半径为r ，则由相似或三角函数或射影定理可知，
)10(1022-=⇒⋅=r DE OE CE DE ，又
r r DE CE CD 10)10(10102222=-+=+=
由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC 、BC 用相似或三角函数，易知
r CD BD AD 102==⋅①，而r BD AD 2=+②
令y BD x AD ==,，①/②即
155210-=⇒==+y x y r r y x xy ，显然有x y <<0，则10<<x y ，即105115
0<<⇒<-<y y ，y 为正整数，故9,8,7,6=y ，又x 也为正整数，经逐一试算，仅当30,6==x y 这一组是正整数，故30=AD .
13．设a 、b 、c 是素数，记c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,，当2,2=-
=y x y z 时，a 、b 、c
能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 【分析】281102222a z a z z y z a z y c
b a z b a
c y +±-=⇒=-+−−−→−==+⇒⎩⎨⎧-+=-+= a 、b 、c 是素数，则z c b a =-+为整数，则1281+=+k a ，k 为正整数．化简整理后，有
a k k 2)1(=+⎩
⎨⎧=+==+==⇒=+==+=⇒3121,2(121121,1a k k ）a a k k 非质数 2,332811-=−−→−=+±-=
z a a z ⅰ)112,2529,9,3=⇒=-=⇒=-==b b z x x x y z ,c b a b =<=+=+=1720173,17不能围成三角形;
ⅱ)是合数9,16,4,2====b x y z
综上所述，以a 、b 、c 不能围成三角形．
14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a 1，a 2，．．．，a n ，满足对任意一个正整数m ，在a 1，a 2，．．．，a n 中都至少有一个为m 的“魔术数”．
【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a 1，a 2，．．．，a n 互不相等，不妨设n a a a <<<...21，余数必为1、
2、3、4、5、6，0，设t k a i i +=7，（6,5,4,3,2,1,0;,...,3,2,1==t n i ），至少有一个为m 的“魔术数”．因
为m a k i +⋅10（k 是m 的位数)，是7的倍数，当6≤i 时，而k i a 10⋅除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当7=i 时，而k i a 10⋅除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当7=i 时，依抽屉原理，k i a 10⋅与m 二者余数的和至少有一个是7，此时m a k i +⋅10被7整除，即n =7．。