微分方程求解

微分方程求解

一、 实验目的与要求

1．掌握用Matlab 求微分方程及其方程组解的方法； 2．学会求微分方程近似解的欧拉折线法；

3．学会建立一些简单问题的微分方程模型，并能运用Matlab 分析研究这些

问题。

二、 问题描述

对于很多实际问题，要直接找出所需的函数关系往往非常困难，但根据实际问题所提供的条件，有时却可以列出含有未知函数导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。怎样利用微分方程求得所需未知函数，往往是我们解决实际问题经常需要面对的问题，即解微分方程。这里我们借用Matlab 对此问题进行简单探讨。 三、 问题分析

在处理关于微分方程的实际问题时，我们一般须先建立微分方程，再利用所学的数学知识解微分方程。事实上真正能找到精确解的微分方程只是很少一部分，大部分只能求近似解，即数值解。 四、 背景知识介绍

1． 求微分方程解析解的命令。 求微分方程解析解的命令为： dsolve （‘方程1’，‘方程2’，…，‘初始条件1’，‘初始条件2’，…，‘自变量’），

对于可用积分方法求解的微分方程和微分方程组，可以用dsolve 命令来求其通解和特解。

例1：要求方程043=-'+''y y y 的通解，可以输入以下语句Matlab 命令： dsolve (‘D2y+3*Dy-4*y=0’,’x ’)

运行结果：ans =C1*exp(-4*x)+C2*exp(x)

即x x e C e C y 241+=-

注：求一阶用D 表示，二阶导数用D2表示，三阶导数用D3表示，以此类推。如果自变量没有选定，默认自变量为’t ’。

例2：解方程054=+'+''y y y

dsolve ('D2y+4*Dy+5*y=0','x')

运行结果：ans =C1*exp(-2*x)*sin(x)+C2*exp(-2*x)*cos(x)

即： ()x C x C e y x c o s s i n 212+=- 例3：解方程(

)

2

212

x xe xy y x =+'+

dsolve ('(1+x^2)*Dy+2*x*y=x*exp(x^2)','x')

运行结果：ans =(1/2*exp(x^2)+C1)/(1+x^2)

即： 2

1

1212

x C e y x ++=

如果要求微分方程的初值问题：10,60240

='

==-'+''==x x y y

y y y ，可

输入以下语句

dsolve ('D2y+4*Dy-2*y=0','y(0)=6','Dy(0)=10','x') 运行结果：ans =

(3+11/6^(1/2))*exp((-2+6^(1/2))*x)+(-11/6^(1/2)+3)*exp(-(2+6^(1/2))*x)

即：()()x

62x 6261136113--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=e

e y 2．求微分方程数值解。

求微分方程数值解命令为ode45，ode23，ode15s 。

对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题，可以用ode45，ode23，ode15s 命令求特解。

例4：求微分方程3,0

22=++='=x y

x y x y y 的近似解（40≤≤x ）可用下

面的命令：

function f=odefun1(x,y) f=y^2*x+y+x^2; [x,y]=ode45(‘odefun1’,[0,4],3); plot ( x , y , ‘ r - ’ )

输出结果为：

例5：解初值问题()10,1=++-='y t y y dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1')

输出结果：ans =t+exp(-t)

即：t e t y -+=

现在我们用数值求解命令求解后和解析解比较

function f=odefun2(t,y) f=-y+t+1;

t=0:0.1:1;y=t+exp(-t);plot(t,y,'b-') hold on

[t,y]=ode45('odefun2',[0,1],1); plot(t,y,'r.')

hold off

输出结果：

例6：求初值问题()()1,1,02sin ='==++''ππy y x y y 解：设y y y y '==21,，则原方程可化为

()()⎪⎩⎪

⎨⎧==--='='1

,12sin 21

12

21ππy y x y y y y Matlab 语言：

function f=odefun3(x,y) f=[y(2);-y(1)-sin(2*x)];

[x,y]=ode45('odefun3',[pi,2*pi],[1,1]); plot(x,y(:,1),'r-')

输出结果：

利用ode45命令还可以求解耦合微分方程，所谓耦合微分方程，方程组中的未知函数是相互影响的，相互依赖的，其中的一个求解会影响到另一个求解，下面求一对耦合微分方程的数值解：

例7：解方程组

()()

()()()

()

⎩

⎨

⎧

-

-

=

'

=

'

t x

t y

t

y

t y

t

x

sin

01

.0

其中()()1.2

,

0=

=y

x

Matlab语句：function f=odefun4(t,y)

f=[y(2),-0.01*y(2)-sin(y(1))]';

[t,y]=ode15s('odefun4',[0,100],[0,2.1]); 函数()t x

x=的图像：

plot(t,y(:,1),'r-')

输出结果为：

函数()t y

y=的图像：