等差数列的前n项和 PPT

问题3：
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项
为an，求前n项和Sn .
Sn a1 a2 a3 an ①
Sn an a n1an2 a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3.公式的应用(知三求二）
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代
入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
2100aa1114950dd
310 1220
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
【例3】已知一个等差数列的前10项的和 是310，前20项的和是1220，由此可以确 定求其前n项和的公式吗？
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
5个量：a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
练习 1 在等差数列{an}中；
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解 (1)S5＝5a1＋5×2 4d＝5，
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 的资金构成等差数列{an}且，a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为
S10
=10
500+
10
(10 2
1)
50
=7250(万元)
答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工
程中的总投入是7250万元.
【例3】已知一个等差数列的前10项的和 是310，前20项的和是1220，由此可以确 定求其前n项和的公式吗？
另解：S10
10(a1 a10 ) 2
310
a1
a10
62
①
S20
20(a1 a20 ) 2
1220
a1
a20
122②
两式相减得 a20 a10 60 10d 60
d 6 a1 4
Sn
a1n
（ n n 1）d 2
3n2
n
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
Sn
n(a1 2
问题2: 求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1 2S n(n 1) S n(n 1) 2
数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，…
a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn
高斯 Gauss.C.F （1777~1855） 德国著名数学家
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，…… 每组数的和均相等，都等于101，50个 101就等于5050了。
a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. S10＝10a1＋10× 2 9d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S17＝17×a21＋a17＝17×a23＋a15＝17×2 40＝340.
【例2】2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工 程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资 金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内， 该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
2Sn n(a1 an )
即Sn
n(a1 2
an )
等差数列的前n项和公式
Sn
Байду номын сангаас
n（a1 2
an )
an a1 ( n 1)d
n（n 1)
Sn na1
2
d
n(n 1)
d
d
S na
d n2 (a )n
n
1
2
2
1
2
a1an (n1)d
Sn
nan
n（n 2
1)
d
1.等差数列的{an}前n项和的公式
2.3 等差数列的前n项和
问题1：
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层 多放一支，最上面一层放 100支.这个V形架上共放着 多少支铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.