计算机常用算法与程序设计教程 第1章 算法与程序设计简介

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1.1.2 算法描述 1. 描述算法的方式
算法是问题的程序化解决方案。一个问题可以 设计不同的算法来求解，同一个算法可以采用不同 的形式来表述。 描述算法可以有多种方式，如自然语言方式、 流程图方式、伪代码方式、计算机语言表示方式与 表格方式等。 当一个算法使用计算机程序设计语言描述时， 就是程序。 本书采用C语言与自然自然语言相结合来描述 算法。
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(2) 求n个整数的最大公约数程序实现 对于3个以上整数, 最大公约数有以下性质: (a1,a2,a3)=((a1,a2),a3) (a1,a2,a3,a4)=((a1,a2,a3),a4),... 应用这一性质,要求n个数的最大公约数,先求
出前n-1个数的最大公约数b,再求第n个数与b的最 大公约数；要求n-1个数的最大公约数,先求出前n2个数的最大公约数b,再求第n-1个数与b的最大公 约数；依此类推。因而，要求n个整数的最大公约 数，需应用n-1次欧几里德算法。 为输入与输出方便，把n个整数设置成m数组， m数组与算法中的相关变量a,b,c,r设置为长整型变 量，个数n与循环变量k设置为整型。即有
关，也与输入的数据相关。 对算法的改进与优化，主要表现在有效 缩减算法的运行时间与所占空间。 2 O ( n ) 例如把求解某一问题的算法时间从 优化缩减为 O(n log n) 就是一个了不起的 成果。 或者把求解某一问题的算法时间的系数 缩小，例如从2n缩小为3n/2，尽管其时 间数量级都是，系数缩小了也是一个算 法改进的成果。
1.2 算法复杂性分析
算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资



源的多少。 算法的复杂性越高，所需的计算机资源越多；反 之，算法的复杂性越低，所需的计算机资源越少。 计算机资源，最重要的是时间资源与空间资源。 需要计算机时间资源的量称为时间复杂度，需要 计算机空间资源的量称为空间复杂度。 算法分析是指对算法的执行时间与所需空间的估 算，定量给出运行算法所需的时间数量级与空间 数量级。
解：在欧几里德算法描述基础上进行数据
描述即为求整数的最大公约数的程序。 (1) 求两个整数的最大公约数程序实现 设置算法中的相关变量a,b,c,r为长整型变量， 即有
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/* 求整数a,b的最大公约数（a,b）*/ #include<stdio.h> void main() { long a,b,c,r; printf("请输入整数a,b: "); scanf("%ld,%ld",&a,&b); /* 输入整数a,b */ printf("(%ld,%ld)",a,b); if(a<b) {c=a;a=b;b=c;} /* 交换a,b ,确保a>b*/ r=a%b; while(r!=0) {a=b;b=r; /* 实施"辗转相除" */ r=a%b; } printf("=%ld\n",b); /* 输出求解结果 */ } 23
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1.2 程序设计简介 1.2.1 算法与程序 1. 基本概念 算法是程序设计的基础，是程序的核心。 程序是某一算法用计算机程序设计语言的具 体实现。 具体来说，一个算法使用C语言描述，就是C 程序。
上机实践是检验算法与程序的标准。
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2. 程序的内容
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n n
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(2)



m=0; for(k=1;k<=n;k++) for(j=k*k;j<=n;j++) m++; 时间复杂度为O( n n ).
注意(1)、(2)中m++语句的执行次数 的
计算，具体见教材详列。
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一个算法的运行时间，与问题的规模相
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1. 时间复杂度定义
定义： 对于一个数量级为的 f (n) 算法，
如果存在两个正常数c和m，对所有的 n≥m，有

f (n) c g(n)
大时，该算法的实际运行时间不会超过 的某个常数倍时间。
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则记作 f (n) O( g (n)) ，称该算法具有 用 O( g (n)) 的运行时间，是指当n足够
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常用算法与程序设计 2.

算法描述举例


【例1.1】 求两个整数a,b(a>b)的最大公约 数的欧几里德算法: (1) a除以b得余数r;若r=0,则b为所求的 最大公约数。 (2) 若r≠0,以b为a,r为b,继续(1)。 注意到任两整数总存在最大公约数,上述辗转相 除过程中余数逐步变小,相除过程总会结束。 欧几里德算法又称为“辗转相除”法，具体描 述如下：
定理1.2
(1.1) (1.2)
如果
f (n) a m n m a m1n m1 a1n a0
是n的m次多项式，则
f (n) O(n )
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m
(1.3)
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【例1.3】 估算下列程序段代表算法的时间




复杂度。 (1) t=1;m=0; for(k=1;k<=n;k++) { t=t*2; for(j=t;j<=n;j++) m++; } 时间复杂度为O(nlogn).
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2. 例如程序段：





for(k=1;k<=n;k++) { x=x+y; y=x+y; s=x+y; } 每个赋值语句执行频数为n，该算法的数 量级为3n； 其计算时间即时间复杂度为O(n)。
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3. 例如程序段：
for(t=1,k=1;k<=n;k++) {t=t*2; for(j=1;j<=t;j++) s=s+j; } 2 n n 内循环赋值语句执行频数 2 2 2 2(2 1)
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1.2.1 时间复杂度
在分析算法时，隐藏细节的数学表示法成为大写O记
法 一个算法的时间复杂度是指算法运行所需的时间。 一个算法的运行时间取决于算法所需执行的语句 （运算）的多少。算法的时间复杂度通常用该算法 执行的总的语句（运算）的数量级决定。 就算法分析而言，一条语句的数量级即执行它的频 数，一个算法的数量级是指它所有语句执行频数之 和。
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输入正整数a,b; if(a<b)


{c=a;a=b;b=c;} /* r=a%b; while(r!=0) { a=b;b=r; /* r=a%b; } printf(最大公约数b);
交换a,b ,确保a>b */
实施"辗转相除" */
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2. 结构化程序设计的基本要点 （1） 自顶向下, 逐步求精； （2） 模块化设计； （3） 结构化编码。 自顶向下是指对设计求解的问题要有一个全面的
理解，从问题的全局入手，把一个复杂问题分解 成若干个相互独立的子问题。 逐步求精是指程序设计的过程是一个渐进的过程。
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常用算法与程序设计 1.2.2 空间复杂度
算法的空间复杂度是指算法运行的存储空间，是实
现算法所需的内存空间的大小。 一个程序运行所需的存储空间通常包括固定空间需 求与可变空间需求两部分。 固定空间需求包括程序代码、常量与结构变量等所 占的空间。 可变空间需求包括数组元素所占的空间与运行递归 所需的系统栈空间等。 二维或三维数组是空间复杂度高的主要因素之一。 在算法设计时，为降低空间复杂度，要注意尽可能 少用高维数组。
n n
一般地，当n取值比较大时，在计算机上实现指数时
间算法是不可能的，就是比时间复杂度 O(n log n) 高 的多项式时间算法运行也很困难。
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5.

两个定理
定理1.1
时间复杂度符号O有以下运算规则：
O(f)+O(g)=O(max(f,g)) O(f)O(g)=O(fg)
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1.1 算法与算法描述 算法定义 算法描述 1.2 算法复杂性分析 时间复杂度 空百度文库复杂度 1.3 程序设计简介 算法与程序 结构化程序设计
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1.1 算法与算法描述
1.1.1 算法
1. 算法是程序设计的基础，是计算机科学的
核心。
2. 算法是指解决某一问题的运算序列。或者
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/* 求n个整数的最大公约数*/ #include<stdio.h> void main() { int k,n; long a,b,c,r,m[100]; printf("请输入整数个数n: "); /* 输入原始数据 */ scanf("%d",&n); printf("请依次输入%d个整数: ",n); for(k=0;k<=n-1;k++) { printf("\n请输入第%d个整数： ",k+1); scanf("%ld",&m[k]); } b=m[0]; for(k=1;k<=n-1;k++) /* 控制应用n-1次欧几里德算法 */ {a=m[k]; if(a<b) {c=a;a=b;b=c;} /* 交换a,b ,确保a>b*/ r=a%b; while(r!=0) { a=b;b=r; /* 实施"辗转相除" */ r=a%b; } } printf("(%ld",m[0]); /* 输出求解结果 */ for(k=1;k<=n-1;k++) printf(",%ld",m[k]); printf(")=%ld\n",b); } 25
2(2 n 1) 2 2 n n 2 算法的时间复杂度为O( )。
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4.
算法时间关系：
常见多项式时间算法:
O(1) O(logn) O(n) O(n logn) O(n ) O(n )
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常见指数时间算法:
O(2 ) O(n !) O(n )
一个程序应包括对数据的描述与对运算操作的
描述两个方面的内容。 著名计算机科学家沃思(Nikiklaus Wirth)就此 提出一个公式：
数据结构＋算法＝程序
(1.4) 数据结构是对数据的描述，而算法是对运算操 作的描述。
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3. 程序设计举例 1.4 程序实现求两个整数a,b的最大公约数 (a,b)的欧几里德算法(见例1.1)，并应用欧 几里德算法求n个整数的最大公约数。
常用算法与程序设计 1.3.2 结构化程序设计 1. 几个概念 不应该把面向对象与面向过程对立起来。 在面向对象程序设计中仍然要用到面向过程的 知识。 面向过程程序设计通常由结构化程序设计实现。 任何简单或复杂的算法都可以由顺序结构、选 择结构和循环结构这三种基本结构组合而成。 顺序结构、选择结构和循环结构被称为程序设 计的三种基本结构，也是结构化程序设计必须 采用的结构。
说算法是问题求解过程的运算描述，一个 算法由有限条可完全机械地执行的、有确 定结果的指令组成。
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3. 算法是满足下列特性的指令序列：
(1) 确定性 组成算法的每条指令是清晰的，无歧义的。 (2) 可行性 算法中的运算是能够实现的基本运算，每一种 运算可在有限的时间内完成。 (3) 有穷性 算法中每一条指令的执行次数有限，执行每条 指令的时间有限。 (4) 输入 一个算法有零个或多个输入。 (5) 输出 一个算法至少产生一个量作为输出。
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4. 选择算法的标准
通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择， 选择的主要标准是算法的正确性和可靠性。其次是 算法所需要的存储空间少和执行时间短等。
在实际工程中我们遇到许多高难度计算问题， 有的问题在巨型计算机上用普通算法来求解可能要 数个月的时间，而且很难找到精确解。但用一个好 的算法，即使在普通的个人电脑上，可能只需数秒 钟就可以求得解答 。