高数答案第七章

第七章 空间解析几何与向量代数

§ 向量及其线性运算

必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：

1、 求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标. 解：（1） xoy 面（a,b,-c ）,yoz 面（-a,b,c ）, xoz 面（a,-b,c ）; (2）ox 轴（a,-b,-c ）, oy 轴（-a,b,-c ）, oz 轴（-a,-b,c ）; (2）关于原点（-a,-b,-c ）。

2、 ）

3、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的

位置

(3,4,0),(0,4,3),(3,0,0),(0,1,0).A B C D -

解：xoy 面：z=0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0.

ox 轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A 在xoy 面上，B 在yoz 面上， C 在x 轴上， D 在y 轴上。 4、 在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标. 解：设C （0，0，z ），有|AC|=|BC|，解得：z=

149，所求点为(0,0, 14

9

). 5、 设2,3,u a b c v a b c =-+=-+-试用,,a b c 表示23.u v - 解：235117u v a b c -=-+.

?

5、已知两点1M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模，方向余弦和方向角.

解：{}

121,M M =-，122M M =，方向余弦为1

cos 2

α=-

，

cos 2β=-

，1cos 2γ=，方向角23πα=，34πβ=，3

πγ=.

6、设向量a 的模2,a =方向余弦1cos 0,cos ,cos 22

αβγ==

=求.a

解：设{},,a x y z =，则

02x =，122y =，2

y

=，所以0x =，1y =，

z ={0,1,3a =

7、设有向量12,PP 122,PP

=它与x 轴、y 轴的夹角分别为34

π

π

和，

如果已知1(1,0,3),P 求2P 的坐标.

解：设2P 的坐标为(,,)x y z ，{}121,,3PP x y z =--，11

cos 232

x π-==，

所以2x =；

cos 242

y π==，所以y =122,PP =，所以

2=，解得2z =或4z =，所以2P 的坐标为2)

或者4).

8、求平行于向量}{6,7,6a =-的单位向量.

）

解：36493611a =++=，与a 平行的单位向量为}{1

6,7,611

±

-，即为}676,,111111⎧-⎨

⎩，或者}

676

,,111111

⎧--⎨⎩.

§ 数量积 向量积 混合积

必作题： P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：

1、已知向量}{1,2,2a =-与{}2,3,b λ=垂直，向量}{1,1,2c =-与

}{2,2,d μ=平行，求λμ和的值.

解：a b ⊥，2620a b λ⋅=-+=，2λ=

a b ，

112

22u

-==

，4u =-. 2、已知向量23,3,2a i j k b i j k c i j =-+=-+=-,分别计算以下各式.

⑴ ((a b

c a c b -））； ⑵ ()()a b b c +⨯+；⑶ ()a b c ⨯. &

解：⑴ ((88824a b

c a c b c b j k -=-=--））

⑵ ()()(344)(233)a b b c i j k i j k j k +⨯+=-+⨯-+=--

⑶ 231

()1

132120

a b c -⨯=-=-.

3、已知3,3OA i k OB j k =+=+，求ABO ∆的面积. 解：33OA OB i j k ⨯=--+

ABO ∆的面积119

22

S OA OB =

⨯=. § 曲面及其方程

必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10. 必交题：

1、一动点与两定点()()2,3,14,5,6A B 和等距离，求该动点的轨迹方程.

；

解：设动点(,,)P x y z ，因为PA PB =，所以

222222(2)(3)(1)(4)(5)(6)x y z x y z -+-+-=-+-+-，解得动点的轨

迹方程为63

2252

x y z ++=

. 2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.

⑴ 1y x =+； ⑵ 224x y +=； ⑶ 22

1x y -=； ⑷ 2

2x y =； ⑸ 2

2

0x y +=.

解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面 ⑷抛物线；抛物柱面 ⑸原点；Oz 坐标轴

3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.

⑴ 222

1499

x y z ++=； ⑵ 222()z a x y -=+. 解：⑴xOy 坐标面上椭圆22

149x y +=绕Ox 轴旋转形成，或者xOz 坐标面上椭圆

22

149

x z +=绕Ox 轴旋转形成。 ~

（2）xOz 坐标面上z a x =+绕Oz 轴旋转形成，或者yOz 坐标面上

z a y =+绕Oz 轴旋转形成.

4、指出下列方程表示什么曲面

⑴ 222

194x y z ++=； ⑵ 22349

z x y =+； ⑶ 2

2

2

x y z +=； ⑷ 2

2

2

4x y z --=.

解：⑴ 椭球面 ⑵ 椭圆抛物面 ⑶ 圆锥面 ⑷ 旋转双叶双曲面.

5、建立单叶双曲面

222

11645

x y z +-=与平面230x z -+=的交线关于xoy 面的投影柱面与投影曲线方程. 解：

将曲面与平面方程联立，消去变量z 得到投影柱面

222

(3)116420

x y x ++-=，