结构优化设计概述
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连续变量 设计变量 离散变量
设计变量 被动变量：达到限定值后不能变化 主动变量：可自由变化
2. 设计向量(Design Vector) 3. 设计空间(Design Space)
x [ x1, x2 ,
, xN ]T
N 维设计向量 x可用N 维空间的一个点来代表，记为 x R 。
N
设计向量、可用域和目标函数
二、常用形式（设计向量空间的数学模型）
设计向量
x
性态向量
y
, ym ]T
组合向量
z [x, y ]T [ x1 , [ z1 , z2 , x N , y1 , , z N m ]T
Find x min f ( x) s. t . g ( x) ≤ 0 ( j 1, 2, j
– 描述一个设计形状的几何参数作为设计变量－ 参数化形状优化
• 连续体结构拓扑优化
• 连续体结构拓扑优化
3 结构优化问题的分类和求解
1. 根据目标函数和约束条件分类
– – – – – – – – – 静力优化 动力优化 屈曲优化 可靠度优化 气动弹性优化 温度场优化 电磁场优化 多目标综合优化设计 。。。。。。
1 结构优化问题的引出
传统结构的设计过程
假设 分析 校核 重新设计
力学的作用Hale Waihona Puke Baidu
• 分析和校核
设计者的作用
• 提出初步方案 • 进行力学分析 • 进行约束校核 • 修改设计方案
• 被动的
结构的优化设计过程
建模 分析 搜索 最优设计
力学的作用
• 综合和优选
• 主动的
设计者的作用
• 建立优化模型 • 寻求优化算法 • 编程上机求解 • 判断最终结果
4. 约束面
• 约束方程 hk (x) 0 或 g j (x) 0 在设计空间中形成的零等值面称为该约
束的约束面。
主动约束：在最优点取等式 约束条件 被动约束：在最优点取不等式
5. 可行域
• 全部约束的约束面联合起来把设计空间分成二个区域，即可行域和不可行 域。可行域内任何一个设计点都满足所有约束条件，而不可行域则相反。 结构优化设计的过程，就是在可行域内寻找最优设计点的过程。
3 结构优化问题的分类和求解
2. 根据设计变量分类
– 尺寸优化 – 形状优化 – 拓扑优化 – 复合材料优化
宏观参数：铺层厚度，铺层角度 微观参数：材料组分，单胞形状
。。。。。。
3 结构优化问题的分类和求解
3. 其他分类方法：
– 连续变量优化 – 离散变量优化 – 混合变量优化 – 约束优化 – 无约束优化
设计变量的类型
• • • • • • 结构尺寸 结构的边界形状参数 桁架和框架结构的节点位置 梁截面形状参数 结构拓扑设计 材料设计参数（复合材料层合板与夹层板结构的 铺层角度和层厚） • 材料的选择 • 边界条件（载荷，热源，热流，支撑，集中质量 位置）
设计变量的层次
• 边界形状优化设计
• 参数化形状优化
f (x) Ci Li Ai ci xi
i 1 i 1 N N
N
N
结构造价
i 1
f (x) Li Ai ci xi
i 1 i 1
N
设计向量、可用域和目标函数
三、目标函数
2. 目标函数的种类
单目标函数 目标函数 多目标函数
• 目标函数的转化：最大化→最小化
, n)
2
结构优化设计的数学模型
连续变量优化 集中参数优化 设计变量 分布参数优化 单目标优化 离散变量优化
结构优化模型
目标函数 多目标优化 无约束优化 约束函数 有约束优化
设计向量、可用域和目标函数
一、设计变量
1. 设计变量(Design Variable)
预定参数：在设计中保持不变的参数 设计参数 设计变量：在设计中可调整变化的基本参数
结构优化的应用
a) 航空、航天结构，汽车、机械、土木工程 b) 电子机械，微电子机械系统，材料，生物 c) 工艺优化设计⎯成形加工（锻压、冲压、注 塑），装配、铸轧 d) 结构优化软件⎯ACCESS ，ASTRO, SAOD, SASOP, ANSYS，NASTRAN, DDDU, MCADS, JIFEX e) 反问题⎯识别（反演），控制
设计向量、可用域和目标函数
可行域
x2 g3 0
x2
g2 0
g4 0
g1 0 x1
g2 0
g1 0 x1
五、荷载条件（工况） • 在结构优化设计中，称每种荷载情况为一种工况 • 在建立性态约束方程时必须考虑所有工况
常见目标函数和约束条件的定义
• • • • • • • • • • 结构的重量 结构的强度（应力） 结构的刚度/强度（位移最小或最大） 结构的固有振动频率或振型（避免共振，振型节点位置） 结构的振动响应 结构的屈曲荷载 传热/散热性能（温度均匀分布） 可靠度 …… 多种目标的优化设计
– – – – – – – – – 线性规划 动态规划 非线性规划 基于梯度的算法 几何规划 遗传算法 粒子群算法 蚁群算法 模拟退火算法
• 随机搜索算法及仿生算法（智能算法）
3 结构优化问题的分类和求解
5. 结构优化问题的求解步骤
Step1. 建立优化模型。给定初始设计方案。 Step2. 结构分析(有限元） Step3. 优化（收敛性）检验。满足则结束程序， 否则继续Step4 Step4. 灵敏度分析 Step5. 求解优化问题，修改结构模型，返回 Step2 。
二、性态变量 • 性态变量（behavior variable），也称状态变量（state variable），是在 一个给定的荷载条件下结构的反应量，如应力、变形、振动频率等。 • 性态变量是设计变量的函数。 • 性态向量举例： σ [1, 2 , , n ]T 三、目标函数
u [u1, u2 , , un ]T
5 结构优化研究和应用的发展
结构优化设计理论形成阶段（20世纪60年代～70年代）
1. 结构优化设计理论产生的背景
• 社会生产的需求：50年代末、60年代初，航空航天、海洋开发、新能源、 新材料等工业的发展。
• 电子计算机的出现：计算结构力学，计算固体力学，计算流体力学 • 结构分析的理论与方法的日益成熟：有限元方法（FEM） • 数学规划理论的发展： 40年代：前苏联的康托洛维奇提出了线性规划问题； 美国学者Dantzig提出了求解线性规划的单纯形方法。
议上发表论文：“Structural Design by Systematic Synthesis”，首次提出将
有限元方法和非线性规划（NLP）结合起来进行系统综合的想法，宣告 结构优化设计理论正式作为一门独立学科的诞生。
3. 结构优化设计基本理论与方法的创立
• 60年代：数学规划法 • 70年代：理性准则法 • 70年代末期：混合法（最优准则法和数学规划法的结合）
1 结构优化问题的引出
1. 设计理论；经验、感性 科学 粗略估计 定量的精确计算
结构设计 的发展
2. 设计方法；生物比拟法、类比设计法 寻求 合理的结构
3. 设计的改进；设计师的直觉和才能
凭经验，靠积累
结构的优化设计
材料力学、结构力学 不会算 由艺术 到科学 有限元方法的产生 手算 电算 电子计算机的应用 手算 弹塑性理论、稳定性理论
5 结构优化研究和应用的发展
结构优化设计理论孕育阶段（20世纪60年代以前）
1. 古代的朴素优化设计
• 结构型式从梁演变到拱（Arch）、桁架（Truss）、穹顶(Dome) • 古代的结构优化设计以进化般的速度缓慢地发展
2. 近代的解析优化设计
• 1869年，麦克斯韦（Maxwell）提出最优桁架的Maxwell定理
3 结构优化问题的分类和求解
4. 结构优化问题的求解方法
– 显式数学模型 – 解析法 – 解题规模小
微分方法
准则设计法
– 依靠工程经验 – 效率高 – 缺乏严格数学基础
最优准则法
– 基于库塔克（K-T）条件， – 需构造迭代求解算法 – 通用性不强
3 结构优化问题的分类和求解
数学规划方法 有严格的数学基础，有较好的通用性，计算效率要考虑。
5 结构优化研究和应用的发展
结构优化设计理论发展阶段（20世纪80年代～至今 ）
• 结构优化设计的层次: 尺寸优化、形状优化、拓扑优化、布局优化 、类型优化
• 动力优化设计 • 不确定性优化设计: 模糊优化设计、随机优化设计 、模糊随机优化设计 • 可靠性优化设计 • 多目标优化设计 • 多学科优化设计 • 离散变量优化设计 • 智能优化设计 • 并行优化设计 • 全系统全寿命优化设计 • 集成化优化设计: CAD+CAE+OD+DSA+VR+RP+PDM+……
结构优化设计概述
李建宇 天津科技大学
提 纲
• 结构优化问题的引出
• 结构优化的基本模型 • 结构优化问题的分类和求解 • 结构优化研究和应用的发展
1 结构优化问题的引出
• 结构分析：若干例子
1 结构优化问题的引出
• 商品化的分析软件
1 结构优化问题的引出
• 结构分析的过程
• 问题：
在给定结构性能的条件下，如何设计结构模型参数？
应力约束：强度，稳定性 位移约束：刚度 频率约束
2. 约束函数
显式约束：尺寸约束 约束函数 隐式约束：性态约束
设计向量、可用域和目标函数
3. 约束方程
等式约束：性态方程 约束方程 不等式约束：其它三类约束 g j (x) ≤ 0
hk (x) 0 (k 1,2,
( j 1,2,
, m)
, n)
的极值问题，可归结为求其等值线同心椭圆族的中心。根据椭圆族中心的
不同途径，存在着各种最优化方法。
设计向量、可用域和目标函数
四、约束条件
1. 约束条件
• 一个可行的设计方案必须满足一系列条件，这些条件称为约束条件。约 束条件是对设计变量和性态变量的限制。
几何约束 尺寸约束条件 约束条件 性态约束条件 设计变量非负 性态方程： 平衡方程，变形协调方程 物理方程，运动方程
• 1904年，米歇尔（Michell）提出最小体积桁架的优化设计问题 • 满应力设计（Fully stressed design） • 同步失效设计法（Simultaneous failure mode design）
结构优化设计理论发展缓慢的的主要原因
• 缺乏高速的计算工具进行结构分析 • 缺乏有效的数学方法指导和改进设计，近代的结构优化理论是借助 于古典的微分法和变分法进行的
50年代：1951年，美国学者Bellman提出了动态规划理论；
1957年，发表世界名著《Dynamic Programming》。 60年代：非线性规划理论得到极大发展。
5 结构优化研究和应用的发展
2. 结构优化设计理论诞生的标志
• 1960年，施密特（L.A. Schmit）在美国ASCE第二届全国电子计算学术会
ω [1, 2 , , n ]T
1. 目标函数的定义
• 目标函数是设计中预期要达到的目标，是人们用来衡量设计方案好坏的 一种广义的性能指标。 f (x) f ( x , x , 1 2 结构重量 结构体积
f (x) i Li Ai ci xi
i 1
N
, xN )
• 设计变量
– 约束条件 » 目标函数
2 结构优化设计的数学模型
一、整体形式（组合向量空间的数学模型 ）
Find z min f ( z) s. t . h ( z ) 0 ( k 1, 2, , m) k g j ( z ) ≤ 0 ( j 1, 2, , n )
1 结构优化问题的引出
• 结构优化设计的两大核心技术
– 结构分析的计算方法 (有限元分析) – 优化设计理论和方法（？）
• 结构优化设计需要的其他辅助技术
– 计算机硬件 – 软件工程 – 几何建模技术
2 结构优化的基本模型
• 结构优化设计－基于结构分析技术，在给
定的设计空间实现满足使用要求且具有最 佳性能或最低成本的工程结构设计的技术 • 优化设计的三要素
max f (x) min[ f (x)]
• 目标函数的确定：全面考虑各种情况，抓住主要矛盾
3. 目标函数的等值面
在设计空间中，目标函数值相等的各点构成的超曲面称为目标函数等值面 • 二维问题：等值线（等高线）
f (x) C
• 三维问题：等值面 • N 维问题：等值超曲面
等值面示例
在许多最优化问题中，最优点周围往往是一族近似的共心椭圆族，而每一 个近似椭圆就是一条目标函数的等值线。这时，求最优点即是求目标函数
设计变量 被动变量：达到限定值后不能变化 主动变量：可自由变化
2. 设计向量(Design Vector) 3. 设计空间(Design Space)
x [ x1, x2 ,
, xN ]T
N 维设计向量 x可用N 维空间的一个点来代表，记为 x R 。
N
设计向量、可用域和目标函数
二、常用形式（设计向量空间的数学模型）
设计向量
x
性态向量
y
, ym ]T
组合向量
z [x, y ]T [ x1 , [ z1 , z2 , x N , y1 , , z N m ]T
Find x min f ( x) s. t . g ( x) ≤ 0 ( j 1, 2, j
– 描述一个设计形状的几何参数作为设计变量－ 参数化形状优化
• 连续体结构拓扑优化
• 连续体结构拓扑优化
3 结构优化问题的分类和求解
1. 根据目标函数和约束条件分类
– – – – – – – – – 静力优化 动力优化 屈曲优化 可靠度优化 气动弹性优化 温度场优化 电磁场优化 多目标综合优化设计 。。。。。。
1 结构优化问题的引出
传统结构的设计过程
假设 分析 校核 重新设计
力学的作用Hale Waihona Puke Baidu
• 分析和校核
设计者的作用
• 提出初步方案 • 进行力学分析 • 进行约束校核 • 修改设计方案
• 被动的
结构的优化设计过程
建模 分析 搜索 最优设计
力学的作用
• 综合和优选
• 主动的
设计者的作用
• 建立优化模型 • 寻求优化算法 • 编程上机求解 • 判断最终结果
4. 约束面
• 约束方程 hk (x) 0 或 g j (x) 0 在设计空间中形成的零等值面称为该约
束的约束面。
主动约束：在最优点取等式 约束条件 被动约束：在最优点取不等式
5. 可行域
• 全部约束的约束面联合起来把设计空间分成二个区域，即可行域和不可行 域。可行域内任何一个设计点都满足所有约束条件，而不可行域则相反。 结构优化设计的过程，就是在可行域内寻找最优设计点的过程。
3 结构优化问题的分类和求解
2. 根据设计变量分类
– 尺寸优化 – 形状优化 – 拓扑优化 – 复合材料优化
宏观参数：铺层厚度，铺层角度 微观参数：材料组分，单胞形状
。。。。。。
3 结构优化问题的分类和求解
3. 其他分类方法：
– 连续变量优化 – 离散变量优化 – 混合变量优化 – 约束优化 – 无约束优化
设计变量的类型
• • • • • • 结构尺寸 结构的边界形状参数 桁架和框架结构的节点位置 梁截面形状参数 结构拓扑设计 材料设计参数（复合材料层合板与夹层板结构的 铺层角度和层厚） • 材料的选择 • 边界条件（载荷，热源，热流，支撑，集中质量 位置）
设计变量的层次
• 边界形状优化设计
• 参数化形状优化
f (x) Ci Li Ai ci xi
i 1 i 1 N N
N
N
结构造价
i 1
f (x) Li Ai ci xi
i 1 i 1
N
设计向量、可用域和目标函数
三、目标函数
2. 目标函数的种类
单目标函数 目标函数 多目标函数
• 目标函数的转化：最大化→最小化
, n)
2
结构优化设计的数学模型
连续变量优化 集中参数优化 设计变量 分布参数优化 单目标优化 离散变量优化
结构优化模型
目标函数 多目标优化 无约束优化 约束函数 有约束优化
设计向量、可用域和目标函数
一、设计变量
1. 设计变量(Design Variable)
预定参数：在设计中保持不变的参数 设计参数 设计变量：在设计中可调整变化的基本参数
结构优化的应用
a) 航空、航天结构，汽车、机械、土木工程 b) 电子机械，微电子机械系统，材料，生物 c) 工艺优化设计⎯成形加工（锻压、冲压、注 塑），装配、铸轧 d) 结构优化软件⎯ACCESS ，ASTRO, SAOD, SASOP, ANSYS，NASTRAN, DDDU, MCADS, JIFEX e) 反问题⎯识别（反演），控制
设计向量、可用域和目标函数
可行域
x2 g3 0
x2
g2 0
g4 0
g1 0 x1
g2 0
g1 0 x1
五、荷载条件（工况） • 在结构优化设计中，称每种荷载情况为一种工况 • 在建立性态约束方程时必须考虑所有工况
常见目标函数和约束条件的定义
• • • • • • • • • • 结构的重量 结构的强度（应力） 结构的刚度/强度（位移最小或最大） 结构的固有振动频率或振型（避免共振，振型节点位置） 结构的振动响应 结构的屈曲荷载 传热/散热性能（温度均匀分布） 可靠度 …… 多种目标的优化设计
– – – – – – – – – 线性规划 动态规划 非线性规划 基于梯度的算法 几何规划 遗传算法 粒子群算法 蚁群算法 模拟退火算法
• 随机搜索算法及仿生算法（智能算法）
3 结构优化问题的分类和求解
5. 结构优化问题的求解步骤
Step1. 建立优化模型。给定初始设计方案。 Step2. 结构分析(有限元） Step3. 优化（收敛性）检验。满足则结束程序， 否则继续Step4 Step4. 灵敏度分析 Step5. 求解优化问题，修改结构模型，返回 Step2 。
二、性态变量 • 性态变量（behavior variable），也称状态变量（state variable），是在 一个给定的荷载条件下结构的反应量，如应力、变形、振动频率等。 • 性态变量是设计变量的函数。 • 性态向量举例： σ [1, 2 , , n ]T 三、目标函数
u [u1, u2 , , un ]T
5 结构优化研究和应用的发展
结构优化设计理论形成阶段（20世纪60年代～70年代）
1. 结构优化设计理论产生的背景
• 社会生产的需求：50年代末、60年代初，航空航天、海洋开发、新能源、 新材料等工业的发展。
• 电子计算机的出现：计算结构力学，计算固体力学，计算流体力学 • 结构分析的理论与方法的日益成熟：有限元方法（FEM） • 数学规划理论的发展： 40年代：前苏联的康托洛维奇提出了线性规划问题； 美国学者Dantzig提出了求解线性规划的单纯形方法。
议上发表论文：“Structural Design by Systematic Synthesis”，首次提出将
有限元方法和非线性规划（NLP）结合起来进行系统综合的想法，宣告 结构优化设计理论正式作为一门独立学科的诞生。
3. 结构优化设计基本理论与方法的创立
• 60年代：数学规划法 • 70年代：理性准则法 • 70年代末期：混合法（最优准则法和数学规划法的结合）
1 结构优化问题的引出
1. 设计理论；经验、感性 科学 粗略估计 定量的精确计算
结构设计 的发展
2. 设计方法；生物比拟法、类比设计法 寻求 合理的结构
3. 设计的改进；设计师的直觉和才能
凭经验，靠积累
结构的优化设计
材料力学、结构力学 不会算 由艺术 到科学 有限元方法的产生 手算 电算 电子计算机的应用 手算 弹塑性理论、稳定性理论
5 结构优化研究和应用的发展
结构优化设计理论孕育阶段（20世纪60年代以前）
1. 古代的朴素优化设计
• 结构型式从梁演变到拱（Arch）、桁架（Truss）、穹顶(Dome) • 古代的结构优化设计以进化般的速度缓慢地发展
2. 近代的解析优化设计
• 1869年，麦克斯韦（Maxwell）提出最优桁架的Maxwell定理
3 结构优化问题的分类和求解
4. 结构优化问题的求解方法
– 显式数学模型 – 解析法 – 解题规模小
微分方法
准则设计法
– 依靠工程经验 – 效率高 – 缺乏严格数学基础
最优准则法
– 基于库塔克（K-T）条件， – 需构造迭代求解算法 – 通用性不强
3 结构优化问题的分类和求解
数学规划方法 有严格的数学基础，有较好的通用性，计算效率要考虑。
5 结构优化研究和应用的发展
结构优化设计理论发展阶段（20世纪80年代～至今 ）
• 结构优化设计的层次: 尺寸优化、形状优化、拓扑优化、布局优化 、类型优化
• 动力优化设计 • 不确定性优化设计: 模糊优化设计、随机优化设计 、模糊随机优化设计 • 可靠性优化设计 • 多目标优化设计 • 多学科优化设计 • 离散变量优化设计 • 智能优化设计 • 并行优化设计 • 全系统全寿命优化设计 • 集成化优化设计: CAD+CAE+OD+DSA+VR+RP+PDM+……
结构优化设计概述
李建宇 天津科技大学
提 纲
• 结构优化问题的引出
• 结构优化的基本模型 • 结构优化问题的分类和求解 • 结构优化研究和应用的发展
1 结构优化问题的引出
• 结构分析：若干例子
1 结构优化问题的引出
• 商品化的分析软件
1 结构优化问题的引出
• 结构分析的过程
• 问题：
在给定结构性能的条件下，如何设计结构模型参数？
应力约束：强度，稳定性 位移约束：刚度 频率约束
2. 约束函数
显式约束：尺寸约束 约束函数 隐式约束：性态约束
设计向量、可用域和目标函数
3. 约束方程
等式约束：性态方程 约束方程 不等式约束：其它三类约束 g j (x) ≤ 0
hk (x) 0 (k 1,2,
( j 1,2,
, m)
, n)
的极值问题，可归结为求其等值线同心椭圆族的中心。根据椭圆族中心的
不同途径，存在着各种最优化方法。
设计向量、可用域和目标函数
四、约束条件
1. 约束条件
• 一个可行的设计方案必须满足一系列条件，这些条件称为约束条件。约 束条件是对设计变量和性态变量的限制。
几何约束 尺寸约束条件 约束条件 性态约束条件 设计变量非负 性态方程： 平衡方程，变形协调方程 物理方程，运动方程
• 1904年，米歇尔（Michell）提出最小体积桁架的优化设计问题 • 满应力设计（Fully stressed design） • 同步失效设计法（Simultaneous failure mode design）
结构优化设计理论发展缓慢的的主要原因
• 缺乏高速的计算工具进行结构分析 • 缺乏有效的数学方法指导和改进设计，近代的结构优化理论是借助 于古典的微分法和变分法进行的
50年代：1951年，美国学者Bellman提出了动态规划理论；
1957年，发表世界名著《Dynamic Programming》。 60年代：非线性规划理论得到极大发展。
5 结构优化研究和应用的发展
2. 结构优化设计理论诞生的标志
• 1960年，施密特（L.A. Schmit）在美国ASCE第二届全国电子计算学术会
ω [1, 2 , , n ]T
1. 目标函数的定义
• 目标函数是设计中预期要达到的目标，是人们用来衡量设计方案好坏的 一种广义的性能指标。 f (x) f ( x , x , 1 2 结构重量 结构体积
f (x) i Li Ai ci xi
i 1
N
, xN )
• 设计变量
– 约束条件 » 目标函数
2 结构优化设计的数学模型
一、整体形式（组合向量空间的数学模型 ）
Find z min f ( z) s. t . h ( z ) 0 ( k 1, 2, , m) k g j ( z ) ≤ 0 ( j 1, 2, , n )
1 结构优化问题的引出
• 结构优化设计的两大核心技术
– 结构分析的计算方法 (有限元分析) – 优化设计理论和方法（？）
• 结构优化设计需要的其他辅助技术
– 计算机硬件 – 软件工程 – 几何建模技术
2 结构优化的基本模型
• 结构优化设计－基于结构分析技术，在给
定的设计空间实现满足使用要求且具有最 佳性能或最低成本的工程结构设计的技术 • 优化设计的三要素
max f (x) min[ f (x)]
• 目标函数的确定：全面考虑各种情况，抓住主要矛盾
3. 目标函数的等值面
在设计空间中，目标函数值相等的各点构成的超曲面称为目标函数等值面 • 二维问题：等值线（等高线）
f (x) C
• 三维问题：等值面 • N 维问题：等值超曲面
等值面示例
在许多最优化问题中，最优点周围往往是一族近似的共心椭圆族，而每一 个近似椭圆就是一条目标函数的等值线。这时，求最优点即是求目标函数