第10套量子力学自测题参考答案

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清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题

一、选择题1.4185:已知一单色光照射在钠外表上,测得光电子的最大动能是1.2 eV ,而钠的红限波长是5400 Å,那么入射光的波长是(A) 5350 Å (B) 5000 Å (C) 4350 Å (D) 3550 Å2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片,其红限波长为λ0。

今用单色光照射,发现有电子放出,有些放出的电子(质量为m ,电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动,那末此照射光光子的能量是: (A) 0λhc (B) 0λhcm eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3.4383:用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能为E K ;假设改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为:(A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K4.4737: 在康普顿效应实验中,假设散射光波长是入射光波长的倍,则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 55.4190:要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是(A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3的激发态时,原子跃迁将发出:(A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ,当氢原子从能量为-0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为(A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是(A) 12.1 eV (B) 10.2 eV(C) 12.1 eV ,10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ,10.2 eV 和 3.4 eV9.4241: 假设α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动,则α粒子的德布罗意波长是(A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh10.4770:如果两种不同质量的粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子的(A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11.4428:已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为:a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ ( - a ≤x ≤a ),那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /112.4778:设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示,那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图?13.5619:波长λ =5000 Å的光沿x 轴正向传播,假设光的波长的不确定量∆λ =10-3 Å,则利用不确定关系式h x p x ≥∆∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为:(A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm14.8020:将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍,则粒子在空间的分布概率将(A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变x (A)x (C)x(B) x (D)15.4965:以下各组量子数中,哪一组可以描述原子中电子的状态?(A) n = 2,l = 2,m l = 0,21=s m (B) n = 3,l = 1,m l =-1,21-=s m (C) n = 1,l = 2,m l = 1,21=s m (D) n = 1,l = 0,m l = 1,21-=s m 16.8022:氢原子中处于3d 量子态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为(A) (3,0,1,21-) (B) (1,1,1,21-)(C) (2,1,2,21) (D) (3,2,0,21) 17.4785:在氢原子的K 壳层中,电子可能具有的量子数(n ,l ,m l ,m s )是(A) (1,0,0,21) (B) (1,0,-1,21)(C) (1,1,0,21-) (D) (2,1,0,21-)18.4222:与绝缘体相比较,半导体能带结构的特点是(A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合(C) 满带中总是有空穴,导带中总是有电子 (D) 禁带宽度较窄19.4789:p 型半导体中杂质原子所形成的局部能级(也称受主能级),在能带结构中应处于(A) 满带中 (B) 导带中 (C) 禁带中,但接近满带顶(D) 禁带中,但接近导带底20.8032:按照原子的量子理论,原子可以通过自发辐射和受激辐射的方式发光,它们所产生的光的特点是:(A) 两个原子自发辐射的同频率的光是相干的,原子受激辐射的光与入射光是不相干的(B) 两个原子自发辐射的同频率的光是不相干的,原子受激辐射的光与入射光是相干的(C) 两个原子自发辐射的同频率的光是不相干的,原子受激辐射的光与入射光是不相干的(D) 两个原子自发辐射的同频率的光是相干的,原子受激辐射的光与入射光是相干的21.9900:xˆ与x P ˆ的互易关系[x P x ˆ,ˆ]等于 〔A〕 i 〔B〕 i - 〔C〕ih 〔D〕ih - 22.9901:厄米算符Aˆ满足以下哪一等式〔u 、v 是任意的态函数〕 〔A〕()dx v u A dx v A u ⎰⎰=**ˆˆ 〔B〕()dx u A v dx u A v ⎰⎰=**ˆˆ〔C〕()dx u v A dx u A v ⎰⎰=**ˆˆ 〔D〕()dx v u A dx v A u ⎰⎰=**ˆˆ二、填空题1.4179:光子波长为λ,则其能量=_____;动量的大小 =______;质量=_______。

量子物理试题及答案

量子物理试题及答案

量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。

答案:普朗克常数是量子力学中一个基本常数,它标志着能量与频率之间的联系。

在量子力学中,普朗克常数用于描述粒子的能量量子化,即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。

2. 描述海森堡不确定性原理。

答案:海森堡不确定性原理指出,粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

具体来说,粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。

3. 什么是波函数坍缩?答案:波函数坍缩是指在量子力学中,当进行测量时,系统从一个不确定的量子态(波函数描述的状态)转变为一个确定的经典态的过程。

4. 简述薛定谔的猫思想实验。

答案:薛定谔的猫是一个思想实验,用来说明量子力学中的超位置原理。

在这个实验中,一只猫被放置在一个封闭的盒子里,盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。

如果原子衰变,毒气瓶就会打开,猫就会被毒死。

在没有观察之前,猫处于既死又活的超位置状态。

只有当观察者打开盒子时,猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。

5. 什么是量子纠缠?答案:量子纠缠是量子力学中的一种现象,指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联,使得即使它们相隔很远,一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。

6. 解释泡利不相容原理。

答案:泡利不相容原理指出,在同一个原子内,两个电子不能具有相同的四个量子数(主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数)。

这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。

7. 描述量子隧穿效应。

答案:量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。

这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在,即使粒子的能量低于势垒的高度。

8. 什么是量子比特?答案:量子比特,又称为量子位,是量子计算中的基本信息单位。

与经典比特不同,量子比特可以处于0和1的叠加态,这使得量子计算机能够同时处理大量信息。

9. 简述狄拉克方程。

高等教育自学考试量子力学答案和评分标准

高等教育自学考试量子力学答案和评分标准

高等教育自学考试量子力学试卷(物理教育专业)参考答案及评分标准一.单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填在题干后的括号内。

每小题1分,共10分)1.① 2.② 3.② 4.④ 5.② 6.① 7.③ 8.④ 9.② 10.④ 二.多项选择题(在每小题的五个备选答案中选出一个至五个正确的答案,并将其号码填在题干后的括号内。

每小题2分,共10分) 1.④⑤2.①②③ 3.③⑤4.①④⑤ 5.①②③④⑤三.填空题(每空1分,共10分) 1.有限性 单值性 2.厄米 完全系 3.薛定谔 几率波4.4 211ψ 210ψ 121-ψ 200ψ 5.∑=12,212211221121,,,,,,,,,,,,m m m j j j m j m j m j m j m j j j )12)(12(21++j j四.名词解释(每小题3分,共15分) 1. 简并度:对应同一本征值的本征函数的个数2. 全同性原理:在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态,这一原理叫做全同性原理3. 表象:量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象4. 好量子数:若Fˆ与哈密顿H ˆ对易,则F ˆ的量子数叫做好量子数 5. 厄米算符:满足dx F dx F φψφψ⎰⎰=**)( 的算符Fˆ 五.简答题(每小题4分,共20分)1. 答:用任意波函数ψ算出H ˆ的平均值总是大于体系的基态能量0E ,而只有当ψ恰好是体系的基态波函数0ψ时H ˆ的平均值才等于基态能量0E 。

这样我们可以选取很多ψ并算出H ˆ的平均值,这些平均值中最小的一个最接近于基态能量0E 。

2. 答:较低能级(2分),因为微扰理论成立的条件是1)0()0('<<-mn mnE E H ,较低能级的能量间隔大,上述条件容易保证(2分)。

3. 答:体系的波函数可以写成坐标函数和自旋函数之积。

只要坐标函数部分是反对称的,自旋函数可以是对称的,因为这时他们的乘积仍然是反对称的。

量子物理试题及答案

量子物理试题及答案

量子物理试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 量子力学的基本原理之一是波粒二象性,以下哪个现象不能说明粒子的波动性?A. 光的干涉和衍射B. 电子的衍射C. 康普顿散射D. 光电效应答案:D2. 量子力学中,哪个物理量是量子化的?A. 能量B. 动量C. 位置D. 时间答案:A3. 根据海森堡不确定性原理,以下哪个陈述是错误的?A. 粒子的位置和动量不能同时被精确测量B. 粒子的能量和时间可以同时被精确测量C. 粒子的动量和位置可以同时被精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时被精确测量答案:C4. 薛定谔方程是描述量子系统状态的基本方程,它是一个:A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案:C5. 在量子力学中,哪个概念描述了粒子的概率分布?A. 波函数B. 动量C. 能量D. 位置答案:A6. 泡利不相容原理指出,一个原子的两个电子不能具有相同的:A. 动量B. 能量C. 量子数D. 位置答案:C7. 量子力学中的隧道效应是指:A. 粒子通过一个势垒的概率不为零B. 粒子通过一个势垒的概率为零C. 粒子在势垒内部的速度增加D. 粒子在势垒内部的速度减少答案:A8. 量子力学中的自旋是什么?A. 粒子的自转B. 粒子的内禀角动量C. 粒子的轨道角动量D. 粒子的动量答案:B9. 量子力学中的波函数坍缩是指:A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在空间中的收缩C. 测量后波函数变为一个确定的状态D. 波函数在时间中的演化答案:C10. 量子纠缠是指:A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的距离非常接近D. 两个粒子之间的状态不能独立描述答案:D二、填空题(每题3分,共15分)11. 量子力学中的波函数是________________的函数。

答案:空间和时间12. 量子力学中的态叠加原理表明,一个量子态可以表示为两个或多个态的________________。

量子力学答案第十章

量子力学答案第十章

154 第十章 全同粒子10.1 两个自旋为23的全同粒子组成一个体系,问体系对称的自旋波函数有几个?反对称的自旋波函数有几个?解 231=S ,232=S ,体系的可能S 值为21S S S +=,121-+S S ,221-+S S ,…,21S S -于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=-+=+=+031221323232121212121S S S S S S S S S S 当S 给定时,z S 可取12+S 个值,故3=S 时,z S 取7个值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±±01232=S 时,z S 取5个值⎪⎩⎪⎨⎧±±0121551=S 时,z S 取3个值⎩⎨⎧±010=S 时,z S 取1个值 0 于是,总共应有16个状态。

对每个粒子而言,因232,1=S ,其在z 方向投影可取4123212=+⨯=+l 个值,即z S 1,21,232±±=zS ,故每个粒子可能有4个态,即对第一个粒子有)1(21χ,)1(21-χ,)1(23χ,)1(23-χ对第二个粒子亦有)2(21χ,)2(21-χ,)2(23χ,)2(23-χ由它们可组成16个彼此独立的可能组合:)1(Sχ=)1(21χ)2(21χ, )2(Sχ=)1(21-χ)2(21-χ )3(Sχ=)1(23χ)2(23χ, )4(Sχ=)1(23-χ)2(23-χ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=+=+=------------)2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(232121232323232321232321212121212123232121232321)10()9()8()7()6()5(χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχSSSS SS⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=-=-=------------)2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(232121232323232321232321212121212123232121232321)6()5()4()3()2()1(χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχAA A A A A第一、二组是对称态共10个,第三组是反对称态共6个,在这些态中,z S ˆ的本征值列表如下:15710.2一个体系由三个全同的玻色子组成,玻色子间无相互作用,玻色子只有两个可能的单粒子态,问体系的可能状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?解 设两个单粒子态为αϕ,βϕ4)!12(!3)!133()!1(!)!1(=--+=--+=单态数粒子数单态数粒子数态数列表如下波函数为158 )3()2()1(αααϕϕϕ=I Ψ)}1()3()2()2()3()1()3()2()1({31II βααβααβααϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=Ψ)}2()1()3()1()3()2()3()2()1({31III ββαββαββαϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=Ψ)3()2()1(βββϕϕϕ=IVΨ10.3 两个质量为m 的粒子以频率πω2分别作一维谐振动,二粒子间以引力)(y x C -相互作用,其中C 为一常数,求粒子的能级和波函数。

量子力学答案完全版精选全文完整版

量子力学答案完全版精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版⒈热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律:表示,其中。

求人体热辐射的峰值波长(设体温为)。

解:,由题意,人体辐射峰值波长为:。

⒉宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于黑体辐射。

此辐射的峰值波长是多少?在什么波段?解:T=2.726K ,由维恩位移定律,属于毫米波。

⒊波长为的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。

在与入射方向垂直的方向上观察时,散射X射线的波长为多大?碰撞后电子获得的能量是多少eV ?解:设碰撞后,光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为θ,α,由能量守恒,,动量守恒:;;整理得:;联立第一式:nm c m h e 01.0;2sin 20201===-λλθλλ ;则X 射线的波长为:01.02sin 221+=θλc m h e ;电子能量:1λλhchc E e -= ⒋在一束电子束中,单电子的动能为,求此电子的德布罗意波长。

解:电子速度远小于光速,故:;则:。

5.设归一化函数: (x )=Aexp(-2x 2)(-)a 为常数,求归一化常数A 。

解:由归一化条件 |2dx=1 得A2==A=6.设归一化波函数=A(0n为整数,a为常数,求归一化常数A解:由归一化条件|2dx得A2=1解得A=7.自由粒子的波函数为=Aexp()其中和是粒子的动量和能量,和t是空间与时间变量,ℏ是普朗克常数,A是归一化常数,试建立自由粒子波函数所满足的方程。

解:由=Aexp(),将其对时间求偏微商,得到=-E,然后对其空间求偏微商,得到:=-利用自由粒子的能量和动能的关系式:E=就可以得到:i=---------自由粒子波函数所满足的方程8.设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为Ĥ=该粒子的初始波函数为=+设和是实数,求任意时刻的波函数及粒子的几率密度.解:由=exp()=dx=== exp()+ exp()粒子的几率密度===[ exp()+ exp()][ exp()+ exp()]因为和是实数,利用欧拉公式:原式=9.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为=求证本征函数的正交性:dx=0(m)证:===[]=0()10.原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出,它们在核中可以认为是自由的,按一维无限深势阱估算,质子从第一激发态(n=2)跃迁到基态(n=1)时,释放的能量是多少MeV?核的线度按a=1.0m计算。

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 量子力学中,粒子的波动性由哪个物理量描述?A. 动量B. 位置C. 能量D. 波函数答案:D2. 海森堡不确定性原理表明,哪两个物理量的乘积不能同时精确确定?A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度答案:A3. 薛定谔方程是描述量子系统时间演化的基本方程,它属于以下哪种类型的方程?A. 线性微分方程B. 非线性微分方程C. 代数方程D. 积分方程答案:A4. 在量子力学中,哪个原理表明一个量子系统的状态可以表示为不同状态的叠加?A. 叠加原理B. 波粒二象性原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案:A5. 量子力学中的“隧道效应”是指什么现象?A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子在势垒中的速度增加C. 粒子在势垒中的动能减少D. 粒子在势垒中的势能增加答案:A二、填空题(每题2分,共10分)1. 量子力学中的波函数必须满足______条件,即波函数的平方模表示粒子在空间某点的概率密度。

答案:归一化2. 根据泡利不相容原理,一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数,这四个量子数分别是主量子数n、角量子数l、磁量子数m和______。

答案:自旋量子数3. 在量子力学中,粒子的动量和位置不能同时被精确测量,这是由______不确定性原理所描述的。

答案:海森堡4. 量子力学中的波函数ψ(r,t)描述了粒子在空间位置r和时间t的概率分布,其中ψ*(r,t)ψ(r,t)表示粒子在位置r的概率密度,这里的ψ*(r,t)表示波函数的______。

答案:复共轭5. 量子力学中的粒子波动性可以通过德布罗意波长λ来描述,其公式为λ=h/p,其中h是普朗克常数,p是粒子的______。

答案:动量三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述量子力学中的波粒二象性。

答案:量子力学中的波粒二象性指的是微观粒子既表现出波动性也表现出粒子性。

量子力学测试题及答案

量子力学测试题及答案

量子力学测试题及答案一、单项选择题(每题 2 分,共 20 分)1. 量子力学的奠基人之一,提出了著名的薛定谔方程的科学家是:A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 波尔D. 薛定谔答案:D2. 以下哪个选项不是量子力学中的基本原理?A. 波粒二象性B. 测不准原理C. 相对性原理D. 叠加原理答案:C3. 量子力学中,哪个物理量没有量子化特征?A. 能量B. 动量C. 位置D. 时间答案:D4. 海森堡不确定性原理中,以下哪两个物理量不能同时被精确测量?A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度答案:A5. 量子力学中的“隧道效应”是由哪位科学家首次提出的?A. 波尔B. 爱因斯坦C. 海森堡D. 费曼答案:D6. 量子纠缠是量子力学中的一种现象,以下哪个选项描述了量子纠缠?A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的状态相互独立C. 两个粒子之间的状态无论多远都能瞬间影响对方D. 两个粒子之间的状态完全相同答案:C7. 在量子力学中,哪个概念描述了粒子的状态?A. 波函数B. 动量C. 能量D. 位置答案:A8. 量子力学中的“观测者效应”指的是:A. 观测者的存在会影响实验结果B. 观测者的情绪会影响实验结果C. 观测者的位置会影响实验结果D. 观测者的操作会影响实验结果答案:A9. 量子力学中的“泡利不相容原理”适用于:A. 所有基本粒子B. 费米子C. 玻色子D. 光子答案:B10. 量子力学中的“超流”现象通常出现在哪种物质中?A. 固体B. 液体C. 气体D. 等离子体答案:B二、多项选择题(每题 2 分,共 20 分)1. 以下哪些是量子力学中的基本概念?A. 波函数B. 弦理论C. 叠加态D. 量子纠缠答案:ACD2. 量子力学中的“测不准原理”是由哪位科学家提出的?A. 波尔B. 海森堡C. 薛定谔D. 爱因斯坦答案:B3. 以下哪些现象可以用量子力学解释?A. 光电效应B. 原子光谱C. 布朗运动D. 核磁共振答案:ABD4. 量子力学中的“波粒二象性”指的是:A. 粒子有时表现为波动B. 粒子有时表现为粒子C. 波动有时表现为粒子D. 波动有时表现为波动答案:ABC5. 以下哪些是量子力学中的著名实验?A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 费曼双缝实验答案:AB6. 以下哪些是量子力学中的著名方程?A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 狄拉克方程D. 牛顿第二定律答案:AC7. 以下哪些是量子力学中的测量问题?A. 波函数坍缩B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子隧穿答案:AC8. 以下哪些是量子力学中的粒子类型?A. 费米子B. 玻色子C. 光子D. 电子答案:ABC9. 以下哪些是量子力学中的著名科学家?A. 波尔B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 牛顿答案:ABC10. 以下哪些是量子力学中的著名理论?A. 相对论B. 量子场论C. 弦理论D. 量子信息答案:BCD三、判断题(每题 2 分,共 20 分)1. 量子力学中的“测不准原理”表明,粒子的位置和动量可以同时被精确测量。

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量子力学测试题10参考答案1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。

当0≤x 时,势能为零;当0>x 时,势能为E V 430=。

问在x=0处粒子被反射的几率多大?解:S-eq 为 ⎩⎨⎧≥=+''≤=+''000022221211x k x k ψψψψ 其中221/2 mE k = 4//)(2212022k V E m k =-= 由题意知 0≤x 区域 既有入射波,又有反射波;0≥x 区域仅有透射波故方程的解为x ik x ik re e 111-+=ψ 0≤xx ik te 22=ψ 0≥x在x=0处,ψ及ψ'都连续,得到 t r =+1 t k r k 2)1(11=- 由此解得912==r R 注意 透射率2t T ≠ 因为12k k ≠将 x ik e 1,x ik re 1-,x ik te 2分别代入几率流密度公式 ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=**2ψψψψx x m i j 得 入射粒子流密度 mk j 10 =反射粒子流密度 21r m k j R -=透射粒子流密度 22t mk j T =由此得 反射率 9120===r j j R R 透射率 982120===t k k j j T T 1=+T R 2、计算(1)?],[2=r L(2)设),(p x F 是p x ,的整函数,则?],[=F p解:(1)0],[],[],[],[2=+=+==βγαβγγβαβγββαβαβββααεεx x i x x i x x L x L x x x L r L因为将第二项哑标作更换γβ↔γβαβγγβαγββγαβγεεεx x i x x i x x i -==所以 0],[2=r L(2)先由归纳法证明 nn n x xi nx i x p ∂∂-=-=-1],[(·)式1=n 上式显然成立;设k n =时上式成立,即 1],[--=k k kx i x p 则 k k k k k k x k i x i kx i x p x x x p x p )1(],[],[],[1+-=--=+=+ 显然,1+=k n 时上式也成立,(·)式得证。

因为 ∑==,),(n m n m mnp x Cp x F则 F xi p mx C i p x p C p x p C F p nm nm nm n m mn n m mn n m mn ∂∂-=-===∑∑∑-,,,1],[],[],[ 3、试在氢原子的能量本征态nlm ψ下,计算1-r 和2-r 的平均值。

解:处于束缚态nlm ψ下的氢原子的能量22224122n a e n e E n -=-= μ 22ea μ = 1++=l n n r (1)计算><-1r方法1 相应的维里定理为 nlm nlm V T ><-=><21 nlm n V E ><=21所以 22112an e E r n =->=<- 方法2 选Z 为参量 相应的F-H 定理nlm neH e E >∂∂=<∂∂22 re H 2222-∇-=μ nlm r an ><-=-112 211anr >=<- (2)计算><-2r等效的一维哈密顿量2222222)1(2rl l r e dr d H μμ ++--= 取l 为参量 相应的F-H 定理nlm l n lH l E >∂∂=<∂∂ 注意1++=l n n r ><+=-22322)12(r l an e μ 322)2/1(1n a l r +>=<-4、有一个二能级体系,哈密顿量为H H H '+=0, 0H 和微扰算符H '的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21000E E H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛='0110λH 其中λ表征微扰强度,21E E ≤。

用微扰法求H 的本征值和本征态。

解:由于是对角化的,可见选用表象为0H 表象 对于21E E <,由非简并微扰论计算公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-''+=+-''+'+=∑∑ )0()0()0()0()0()0(2)0(||m m n mn m n n m n nm mnn n n E E H E E H H E E ψψψ得 0)1(1=E212)0(2)0(1212)2(1E E E E H E-=-'=λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-'=1021)0(2)0(2)0(121)1(1E E E E H λψψ 0)1(2=E122)0(1)0(2212)2(2E E E E H E-=-'=λ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'=0112)0(1)0(1)0(212)1(2E E E E H λψψ所以 ,二级近似能量和一级近似态矢为2121E E E -+λ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100121E E λ;1222E E E -+λ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011021E E λ。

对于21E E =,由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为λ+1E ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121;λ-1E ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1121。

5、自旋投影算符n S n ⋅=σ2,σ 为泡利矩阵,n为单位矢量(θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin )。

(1)对电子自旋向上态)2/( =+z s χ,求n S 的可能值及相应几率; (2)对n σ的本征值为1的本征态,求y σ的可能值及相应几率。

解:(1)由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∧θθθθϕϕcos sin sin cos 2i i n ee S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a m b a e e s i i θθθθϕϕcos sin sin cos 2得 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕθθχi n e s 2sin 2cos )(21 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ϕθθχi n e s 2cos 2sin )(21 对于电子自旋向上态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===+01)2/(αχ z s ,n S 取值2±的几率分别为2cos 012sin 2cos 22221θθθαχϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+i e 2sin 012cos 2sin22221θθθαχϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-i e (2)y σ的本征值和本征态 1=λ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+i y 121)(σχ; 1-=λ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-i y 121)(σχ 电子处于n σ的本征值为1的本征态(即n S 的本征值为2的本征态)(21n s χ), 则y σ的可能值及相应几率为1=λ ())sin sin 1(212sin 2cos 121)()(2221ϕθθθσχσχϕ+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++i n y e i 1-=λ ())sin sin 1(212sin 2cos 121)()(2221ϕθθθσχσχϕ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-i n y e i 6、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动,它们之间的相互作用能为)0()(21221>-a x x a 。

(1)若粒子自旋为0,写出它们的相对运动态的能量和波函数;(2)若粒子自旋2/1=s ,写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。

解:体系的哈密顿量为22122222122)(2122x x a x m x m H -+∂∂--∂∂-= 引入质心坐标X 和相对坐标x : )(2121x x X +=21x x x -= 在坐标变换x X x x ,,21⇒下,体系的哈密顿量变为22222222122ax x X M H +∂∂-∂∂-=μ 2/2m mM ==μ相对运动哈密顿量为222222222212212x dx d ax dx d H r μωμμ+-=+-= μωa=(1)若粒子自旋为0,则相对运动态的能量和波函数为ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n )()(2221x H e N x n x n n αψα-=μωα=,4,2,0=n限定 ,4,2,0=n 是为了保证波函数对交换1x 和2x 是对称的。

(2)若粒子自旋2/1=s ,则相对运动态的能量和波函数为ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ,2,1,0=n>=-00|)(),(2221x H e N S x n x n z αψα ,4,2,0=n ⎪⎩⎪⎨⎧>->>=-11|10|11|)(),(2221x H eN S x n x nzαψα ,5,3,1=n其中)]1()2()2()1([2110|)2()1(11|βαβααα+>=>= )]1()2()2()1([2100|)2()1(11|βαβαββ->=>=- 体系基态能量和波函数ω 21=E >=-00|),(22210x z e N S x αψ体系第一激发态能量和波函数 ω 23=E ⎪⎩⎪⎨⎧>->>=-11|10|11|)(),(121122x H e N S x x z αψα。

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