第10套量子力学自测题参考答案

量子力学测试题10参考答案
1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。

当0≤x 时，势能为零；当
0>x 时，势能为E V 4
3
0=。

问在x=0处粒子被反射的几率多大？
解：S-eq 为 ⎩⎨⎧≥=+''≤=+''0
000
22
221211x k x k ψψψψ 其中221/2 mE k = 4//)(221202
2
k V E m k =-= 由题意知 0≤x 区域 既有入射波，又有反射波；0≥x 区域仅有透射波
故方程的解为
x ik x ik re e 111-+=ψ 0≤x
x ik te 22=ψ 0≥x
在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 t r =+1 t k r k 2)1(11=- 由此解得9
12
==r R 注意 透射率2
t T ≠ 因为12k k ≠
将 x ik e 1，x ik re 1-，x ik te 2分别代入几率流密度公式 ⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂-
=**2ψψψψ
x x m i j 得 入射粒子流密度 m
k j 1
0 =
反射粒子流密度 2
1r m k j R -=
透射粒子流密度 2
2t m
k j T =
由此得 反射率 9
12
0===
r j j R R 透射率 9
8
2120===t k k j j T T 1=+T R 2、计算
（1）?],[2
=r L
（2）设),(p x F 是p x ,的整函数，则?],[=F p
解：（1）0],[],[],[],[2=+=+==βγαβγγβαβγββαβαβββααεεx x i x x i x x L x L x x x L r L
因为将第二项哑标作更换γβ↔
γβαβγγβαγββγαβγεεεx x i x x i x x i -==
所以 0],[2=r L
（2）先由归纳法证明 n
n n x x
i nx i x p ∂∂-=-=-
1],[（·）式
1=n 上式显然成立；设k n =时上式成立，即 1],[--=k k kx i x p 则 k k k k k k x k i x i kx i x p x x x p x p )1(],[],[],[1+-=--=+=+ 显然，1+=k n 时上式也成立，（·）式得证。

因为 ∑==
,),(n m n m mn
p x C
p x F
则 F x
i p mx C i p x p C p x p C F p n
m n
m n
m n m mn n m mn n m mn ∂∂
-=-===∑∑∑-
,,,1],[],[],[ 3、试在氢原子的能量本征态nlm ψ下，计算1-r 和2-r 的平均值。

解：处于束缚态nlm ψ下的氢原子的能量
2
2224
122n a e n e E n -=-= μ 22
e
a μ = 1++=l n n r （1）计算><-1r
方法1 相应的维里定理为 nlm nlm V T ><-=><21 nlm n V E ><=2
1
所以 2
2112an e E r n =-
>=<- 方法2 选Z 为参量 相应的F-H 定理
nlm n
e
H e E >∂∂=<∂∂2
2 r
e H 2
222-∇-=μ nlm r an ><-=-
112 2
1
1an
r >=<- （2）计算><-2r
等效的一维哈密顿量
2
2
22222)1(2r
l l r e dr d H μμ ++--= 取l 为参量 相应的F-H 定理
nlm l n l
H l E >∂∂=<∂∂ 注意1++=l n n r ><+=-22322)12(r l an e μ 3
22
)2/1(1n a l r +>=<-
4、有一个二能级体系，哈密顿量为H H H '+=0， 0H 和微扰算符H '的矩阵表示为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21
00
0E E H ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛='0110λH 其中λ表征微扰强度，21E E ≤。

用微扰法求H 的本征值和本征态。

解：由于是对角化的，可见选用表象为0H 表象 对于21E E <，由非简并微扰论计算公式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-''+=+-''+'+=∑∑ )0()
0()0()0()
0()0(2)
0(||m m n mn m n n m n nm m
nn n n E E H E E H H E E ψψψ
得 0)1(1
=E
2
12
)
0(2
)0(12
12
)2(1
E E E E H E
-=
-'=
λ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-'=
1021)
0(2)
0(2)0(121)1(1E E E E H λψψ 0)1(2
=E
1
22
)
0(1)
0(22
12
)2(2
E E E E H E
-=
-'=
λ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-'=0112)
0(1)0(1)0(212)
1(2
E E E E H λψψ
所以 ，二级近似能量和一级近似态矢为
212
1E E E -+λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10012
1E E λ；122
2E E E -+λ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01102
1E E λ。

对于21E E =，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为
λ+1E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121；λ-1E ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1121。

5、自旋投影算符n S n ⋅=σ2
，σ 为泡利矩阵，n
为单位矢量（θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin ）。

（1）对电子自旋向上态)2/( =+z s χ，求n S 的可能值及相应几率； （2）对n σ的本征值为1的本征态，求y σ的可能值及相应几率。

解：（1）由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∧θθθθ
ϕ
ϕcos sin sin cos 2i i n e
e S ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a m b a e e s i i θθθθ
ϕ
ϕcos sin sin cos 2得 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕθθχi n e s 2sin 2cos )(21 ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-=-ϕθθχi n e s 2cos 2sin )(21 对于电子自旋向上态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛===+01)2/(αχ z s ，n S 取值2
±的几率分别为
2
cos 012sin 2cos 22
2
21
θθ
θ
αχϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
i e 2sin 012cos 2sin
22
2
2
1θθθ
αχϕ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-i e （2）y σ的本征值和本征态 1=λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
+i y 121)(σχ； 1-=λ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-i y 121)(σχ 电子处于n σ的本征值为1的本征态(即n S 的本征值为
2
的本征态)(2
1n s χ)， 则y σ的可能值及相应几率为
1=λ ())sin sin 1(212sin 2cos 121)()(2
2
21ϕθθθσχσχϕ+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
++i n y e i 1-=λ ())sin sin 1(212sin 2cos 121)()(2
2
21ϕθθθσχσχϕ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=
+-i n y e i 6、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为)0()(2
1
221>-a x x a 。

（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；
（2）若粒子自旋2/1=s ，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。

解：体系的哈密顿量为
2
212
2222122)(2
122x x a x m x m H -+∂∂--∂∂-= 引入质心坐标X 和相对坐标x ： )(2
1
21x x X +=
21x x x -= 在坐标变换x X x x ,,21⇒下，体系的哈密顿量变为
2
2222222122ax x X M H +∂∂-∂∂-=μ 2/2m m
M ==μ
相对运动哈密顿量为
2
22
2222222
12212x dx d ax dx d H r μωμμ+-=+-= μ
ωa
=
（1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为
ω ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=21n E n )()(2221
x H e N x n x n n αψα-=
μω
α=
,4,2,0=n
限定 ,4,2,0=n 是为了保证波函数对交换1x 和2x 是对称的。

（2）若粒子自旋2/1=s ，则相对运动态的能量和波函数为
ω ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=21n E n ,2,1,0=n
>=-00|)(),(222
1
x H e N S x n x n z αψα ,4,2,0=n ⎪⎩
⎪
⎨⎧>->>=-11|10|11|)(),(222
1
x H e
N S x n x n
z
αψα ,5,3,1=n
其中
)]1()2()2()1([2
1
10|)
2()1(11|βαβααα+>=
>= )]1()2()2()1([2
1
00|)2()1(11|βαβαββ->=
>=- 体系基态能量和波函数
ω 2
1
=E >=-00|),(2221
0x z e N S x αψ
体系第一激发态能量和波函数 ω 2
3
=
E ⎪⎩
⎪
⎨⎧>->>=-11|10|11|)(),(12
1
122x H e N S x x z αψα。