量子力学练习题答案

量子力学练习题参考答案
一、 简答题 1． 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。 答：光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有： （1）对入射光存在截止频率ν0 ，小于该频率的入射光没有光电子逸出；（2） 逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν 有关，入射光的强度无关；（3） 截止频率只与材料有关而与光强无关；（4）入射光的强度只影响逸出的光 电子的数量；（5）无论多弱的光，只要其频率大于截止频率，一照射到金 属表面，就有光电子逸出。 2． 简述 Planck 的光量子假设。 答：Planck 的光量子假设为，对于一定的频率为ν 的辐射，物体吸收或发 射的能量只能以 hν 为单位来进行。 3． 写出 Einstein 光电方程，并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。 答：Einstein 光电方程为 hν = 1 mv2 + W 。
∫ ∫ dx +∞ +∞ dydzψ *(x, y, z)ψ (x, y, z) −∞ −∞
∫ ∫ 或者：
⎡ ⎢⎣
∞ −∞
∞ψ
−∞
*ψ
dydz
⎤ ⎥⎦
dx
12．
N
粒子系的波函数为ψ
K (r1
,
K r2
,",
K rN
)
，写出在
K (r1
,
K r1
+
K dr1
)
中找到粒子
1
的几
率（其它粒子的位置不限）。
∂ ∂z
−
z
∂ ∂y
⎞ ⎟
，
L
y
⎠
=
−i=
⎛ ⎜⎝
z
∂ ∂x
−
x
∂ ∂z
⎞ ⎟⎠
，
L z
=
−i=
⎛ ⎜
⎝
x
∂ ∂y
−
y
∂ ∂x
⎞ ⎟ ⎠
15． 写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式。
答： L 2=
−= 2
⎡1
⎢ ⎣
sin
θ
∂ ∂θ
⎛ ⎜⎝
sin
θ
∂ ∂θ
⎞ ⎟⎠
+
1 sin2 θ
∂2 ∂ϕ 2
2 Einstein 对光电效应的量子解释为： （1）存在截止频率ν 0 ，W = hν 0 ，小于该频率的入射光无光电子逸出；（2） 无论多弱的光，只要ν >ν 0 ，一经照射，马上就有光电子逸出；（3）逸出功 由材料决定，即截止频率由材料决定；（4）光强代表总入射能量的多少， 并不代表单个光子的能量，光强只影响光电子的数量而不影响其能量，即 光电子的能量与入射光的频率有关与光强无关。
ρ =ψ *(x)ψ (x) = δ 2 (x)
∫ 利用公式
+∞ −∞
f
(x)δ (x
−
x0 )dx
=
f (x0 ) ，得
∫ ∫ +∞ ρdx = +∞δ 2 (x)dx = δ (0) = ∞
−∞
−∞
该波函数也不能归一化，这也不是真实的物理问题，是对物理问题进行理
想化处理的结果。
11． 设粒子波函数为ψ (x, y, z) ，写出在 (x, x + dx) 范围找到粒子的几率。 答：在 (x, x + dx) 范围找到粒子的几率为
ψ ( x, t) = eip0x / = ⋅ e−iEt / = = e−i(Et− p0x)/ =
14． 写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的
表达式。 答：动量算符 lpK = −i=∇
动能算符 Tl = 1 (−i=∇)2
2m
角动量各分量的算符
L x
=
−i=
⎛ ⎜
⎝
y
答：粒子位置分布的概率密度为
ρ =ψ * (x)ψ (x) = eikxe−ikx = 1
在整个位置空间，粒子的概率分布相同，这不是真实的物理问题，是对物
理问题进行理想化处理的结果，波函数不能归一化。
10． 设ψ (x) = δ (x) ，粒子的位置几率的分布如何？此波函数能否归一化？
答：粒子位置分布的概率密度为
v∫ 答： pkdqk = nkh (nk = 1, 2,3,")
其中 (qk , pk ) 代表一对共轭的正则坐标和动量。 7． 利用光波的双缝干涉实验，说明 Born 的概率波解释。 答：Born 认为，微观粒子的运动状态用“波函数”来描述，粒子通过双缝 时，每一个缝都有一个所谓的“波”通过，只不过与经典波的强度对应的， 是粒子在某点附近出现的相对概率。对通过双缝的粒子，其概率“分成” 了两束（波动性），但对某个具体的粒子，它只能通过其中的一个缝（粒子
v∫ （2）量子化假设 pkdqk = nkh ；
（3）频率条件 hν = Ei − E f 。 Bohr 的量子论用量子化假设来论证量子化，带有明显的人为的性质，仍然 保留经典轨道的概念，无法处理更复杂的原子的光谱，只能处理周期运动， 不能处理非束缚态问题。但在处理氢原子光谱时取得很大的成功，说明其 假设有一定的合理成份。 6． 写出 Sommerfeld 用正则坐标与正则动量表示的量子化条件。
⎤ ⎥ ⎦
16． 简述粒子动量与位置的不确定关系。
答：若要想精确地知道粒子的动量值，就无法得知粒子的具体位置；要想
精确地知道粒子的位置，就无法得知粒子的具体动量值，位置分布的均方
差和动量分布的均方差受到下面关系的制约
Δx ⋅ Δp ≥ = 2
17． 简述量子力学的态叠加原理。
答：量子力学的态叠加原理是指如果ψ1 、ψ 2 、ψ 3 ……均是体系的可能状态，
4． 简述 Compton 散射实验。 答：如果光具有粒子性，当高能光子与低能电子碰撞时，光子就会损失能 量，波长就会增加，这个实验就是康普顿散射实验，它证实了光的粒子性。
Δλ = h (1− cosθ )
m0c 5． 简述 Bohr 的量子论，并对它进行简单的评价。 答： Bohr 的量子论是建立在以下的假设上的 （1）定态假设：电子在原子中可以处于某种特定的状态（定态）而不辐射 能量；
性）。
8． 阐述概率波波函数的基本特性。 答：波函数的统计诠释，必然要求波函数具有下面的性质
（1）波函数必须是有界且平方可积的； （2）波函数可以有一个常数因子的不确定性； （3）概率密度（即ψ *ψ ）必须是单值的；
（4）波函数必须是连续的。 9． 设ψ (x) = e−ikx ，粒子的位置几率的分布如何？此波函数能否归一化？
答：在
K (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
,
K r1
+
K dr1
)
范围找到粒子的几率为
∫ ∫ K
dr1
+∞ −∞
K dr2
"
+∞ −∞
drKNψ
*
K (r1
,
K r2
,"
,
K rN
)ψ
K (r1
,
K r2
,"
,
K rN
)
13． 设一维自由粒子的初态ψ (x, 0) = eip0x / = ，写出ψ (x,t) 。
答：对一维自由粒子，其波函数为平面波的形式为