量子力学练习题答案

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ρ =ψ *(x)ψ (x) = δ 2 (x)
∫ 利用公式
+∞ −∞
f
(x)δ (x

x0 )dx
=
f (x0 ) ,得
∫ ∫ +∞ ρdx = +∞δ 2 (x)dx = δ (0) = ∞
−∞
−∞
该波函数也不能归一化,这也不是真实的物理问题,是对物理问题进行理
想化处理的结果。
11. 设粒子波函数为ψ (x, y, z) ,写出在 (x, x + dx) 范围找到粒子的几率。 答:在 (x, x + dx) 范围找到粒子的几率为
ψ ( x, t) = eip0x / = ⋅ e−iEt / = = e−i(Et− p0x)/ =
14. 写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的
表达式。 答:动量算符 lpK = −i=∇
动能算符 Tl = 1 (−i=∇)2
2m
角动量各分量的算符
L x
=
−i=
⎛ ⎜

y
v∫ (2)量子化假设 pkdqk = nkh ;
(3)频率条件 hν = Ei − E f 。 Bohr 的量子论用量子化假设来论证量子化,带有明显的人为的性质,仍然 保留经典轨道的概念,无法处理更复杂的原子的光谱,只能处理周期运动, 不能处理非束缚态问题。但在处理氢原子光谱时取得很大的成功,说明其 假设有一定的合理成份。 6. 写出 Sommerfeld 用正则坐标与正则动量表示的量子化条件。
答:在
K (r1
,
K r1
+
K dr1
)
范围找到粒子的几率为
∫ ∫ K
dr1
+∞ −∞
K dr2
"
+∞ −∞
drKNψ
*
K (r1
,
K r2
,"
,
K rN

K (r1
,
K r2
,"
,
K rN
)
13. 设一维自由粒子的初态ψ (x, 0) = eip0x / = ,写出ψ (x,t) 。
答:对一维自由粒子,其波函数为平面波的形式为
4. 简述 Compton 散射实验。 答:如果光具有粒子性,当高能光子与低能电子碰撞时,光子就会损失能 量,波长就会增加,这个实验就是康普顿散射实验,它证实了光的粒子性。
Δλ = h (1− cosθ )
m0c 5. 简述 Bohr 的量子论,并对它进行简单的评价。 答: Bohr 的量子论是建立在以下的假设上的 (1)定态假设:电子在原子中可以处于某种特定的状态(定态)而不辐射 能量;
v∫ 答: pkdqk = nkh (nk = 1, 2,3,")
其中 (qk , pk ) 代表一对共轭的正则坐标和动量。 7. 利用光波的双缝干涉实验,说明 Born 的概率波解释。 答:Born 认为,微观粒子的运动状态用“波函数”来描述,粒子通过双缝 时,每一个缝都有一个所谓的“波”通过,只不过与经典波的强度对应的, 是粒子在某点附近出现的相对概率。对通过双缝的粒子,其概率“分成” 了两束(波动性),但对某个具体的粒子,它只能通过其中的一个缝(粒子
⎤ ⎥ ⎦
16. 简述粒子动量与位置的不确定关系。
答:若要想精确地知道粒子的动量值,就无法得知粒子的具体位置;要想
精确地知道粒子的位置,就无法得知粒子的具体动量值,位置分布的均方
差和动量分布的均方差受到下面关系的制约
Δx ⋅ Δp ≥ = 2
17. 简述量子力学的态叠加原理。
答:量子力学的态叠加原理是指如果ψ1 、ψ 2 、ψ 3 ……均是体系的可能状态,
量子力学练习题参考答案
一、 简答题 1. 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。 答:光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有: (1)对入射光存在截止频率ν0 ,小于该频率的入射光没有光电子逸出;(2) 逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν 有关,入射光的强度无关;(3) 截止频率只与材料有关而与光强无关;(4)入射光的强度只影响逸出的光 电子的数量;(5)无论多弱的光,只要其频率大于截止频率,一照射到金 属表面,就有光电子逸出。 2. 简述 Planck 的光量子假设。 答:Planck 的光量子假设为,对于一定的频率为ν 的辐射,物体吸收或发 射的能量只能以 hν 为单位来进行。 3. 写出 Einstein 光电方程,并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。 答:Einstein 光电方程为 hν = 1 mv2 + W 。
∂ Biblioteka Baiduz

z
∂ ∂y
⎞ ⎟

L
y

=
−i=
⎛ ⎜⎝
z
∂ ∂x

x
∂ ∂z
⎞ ⎟⎠

L z
=
−i=
⎛ ⎜

x
∂ ∂y

y
∂ ∂x
⎞ ⎟ ⎠
15. 写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式。
答: L 2=
−= 2
⎡1
⎢ ⎣
sin
θ
∂ ∂θ
⎛ ⎜⎝
sin
θ
∂ ∂θ
⎞ ⎟⎠
+
1 sin2 θ
∂2 ∂ϕ 2
答:粒子位置分布的概率密度为
ρ =ψ * (x)ψ (x) = eikxe−ikx = 1
在整个位置空间,粒子的概率分布相同,这不是真实的物理问题,是对物
理问题进行理想化处理的结果,波函数不能归一化。
10. 设ψ (x) = δ (x) ,粒子的位置几率的分布如何?此波函数能否归一化?
答:粒子位置分布的概率密度为
性)。
8. 阐述概率波波函数的基本特性。 答:波函数的统计诠释,必然要求波函数具有下面的性质
(1)波函数必须是有界且平方可积的; (2)波函数可以有一个常数因子的不确定性; (3)概率密度(即ψ *ψ )必须是单值的;
(4)波函数必须是连续的。 9. 设ψ (x) = e−ikx ,粒子的位置几率的分布如何?此波函数能否归一化?
2 Einstein 对光电效应的量子解释为: (1)存在截止频率ν 0 ,W = hν 0 ,小于该频率的入射光无光电子逸出;(2) 无论多弱的光,只要ν >ν 0 ,一经照射,马上就有光电子逸出;(3)逸出功 由材料决定,即截止频率由材料决定;(4)光强代表总入射能量的多少, 并不代表单个光子的能量,光强只影响光电子的数量而不影响其能量,即 光电子的能量与入射光的频率有关与光强无关。
∫ ∫ dx +∞ +∞ dydzψ *(x, y, z)ψ (x, y, z) −∞ −∞
∫ ∫ 或者:
⎡ ⎢⎣
∞ −∞
∞ψ
−∞

dydz
⎤ ⎥⎦
dx
12.
N
粒子系的波函数为ψ
K (r1
,
K r2
,",
K rN
)
,写出在
K (r1
,
K r1
+
K dr1
)
中找到粒子
1
的几
率(其它粒子的位置不限)。
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