量子力学习题及答案

29．30．31．32．
对易子[
dx
?,l?]?（?i?l?），[l。,e]?xyxz
dx
?,l?]?（i?l?）?y]??x]?[x,p，[x,p，[l。xyz
d?x
?y]??x]?（）。[y,p，[y,p。,e]??xdx
，x和px的测不准关系是[
?2（?x??p?）。
4
____
2
____
2x
33．在一维情况下，若粒子处于状态?(x,t)中，则在动量表象中的波函数为
??dx?*?dx）平均值为=（?*f。
（
8．
??
??
9．
波函数?和c?是描写（同一）状态，?ei?中的ei?称为（相因子），
ei?不影响波函数?i??1）。
10．11．
定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为
零）的状态。
ee
?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是
?
2
d
22mdx2
?1(x)?u(x)?1(x)?e?1(x) 2 Ⅱ：0?x?a ?
?
2
d
2mdx2
?2(x)?e?2(x) 2 Ⅲ：x?a?
?
2
d
2mdx
2
?3(x)?u(x)?3(x)?e?3(x)由于(1)、(3)方程中，由于u(x)??，要等式成立，必须
?1(x)?0 ?2(x)?0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为d2
??01?2?1??
????s??，则在状态中，=（）。x????2?1?2?10?2
41．全同性原理的内容是：（在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换
不引起物理状态的改变）。
42．泡里原理的内容是：（不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态）。43．描写电子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而电子体系的自
22
x/2
）。
（对应于同一本征值的本征函数的数目）称为简并度，不考虑电子自旋
时，氢原子的第n个能级的简并度为（n2）。一维无限深势阱第n个能级的简并度为（1），不考虑电子自旋时，氢原
2
子的第n个能级的简并度为（nຫໍສະໝຸດ Baidu。
一维线性谐振子第n个能级的简并度为（1），考虑电子自旋以后，氢原
2
子的第n个能级的简并度为（2n）。
2
1??
2
③
④5
【篇二：量子力学习题集及答案】
xt>一、填空题
1．2．
设电子能量为4。
索末菲的量子化条件为（pdq?nh），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级en?。
3．
德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍
??
射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（e???）和（p??k。
6．
t=0时体系的状态为??x,0???0?x??2?2?x?，其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数，则??x,t??（?0(x)e
i
??t2
?2?2(x)e
5i??t2
2
）。
7
．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=），几率流密度=
i?
。?*??????*）
2?
?2???的设?(r)描写粒子的状态，(r)是（），在?(r)中f
?2k ( 7 )
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。
47．光子是（玻色）子，服从（玻色-爱因斯坦）统计，描写光子体系的
波函数只能是（对称）波函数。
――――――――――――――――――――――――――――――
在sz表象中，sx?
二、计算、证明题
?0,0?x?a
1．粒子在一维势场u(x)??中运动，试从薛定谔方程出发求出
旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。
44．电子是（费密）子，服从（费密-狄拉克）统计，描写电子体系的波
函数只能是（反对称）波函数。
45．描写玻色子体系的波函数只能是（对称）波函数，而玻色子体系的自旋
波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。
46．描写费密子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而费密子体系的自
22
??????
?x??y???y??x=（2i??z）?，s?s=。?2,l?]=（0）?x??y???y??x=（）?，[l。z
?cos???
?s在sz表象中，粒子处在自旋态???中，=（。cos2?）z?sin??2???cos??
在?z表象中，粒子处在自旋态???。?sin???中，?x=??
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
??
（e1?e2），这时几率密度和（）都与时间无关。（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。
3．t=0时体系的状态为??x,0???0?x???3?x?，其中?n?x?为一维线性谐振
12．13．14．
15．
??3(x)e子的定态波函数，则??x,t??（0(x)e。
量子力学习题及答案
【篇一：量子力学习题及解答】
>第二章波函数和薛定谔方程
2.3一粒子在一维势场
??，x?0 u(x)??
?0，
0?x?a ??
?，x?a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：u(x)与t无关，是定态问题。其定态s—方程2
?
?
d
22mdx
2
?(x)?u(x)?(x)?e?(x)
在各区域的具体形式为Ⅰ：x?0?
??
c(p,t)?（??(x,t)e
??
i?px?
dx）。
34．
35．
36．37．38．39．40．
?的本征态?(x)的迭加态?(x)?3?(x)?4?(x)一维线性谐振子处在hn24
55
-4/5，0,…））。
斯特恩—革拉赫证实电子具有（自旋）角动量，它在任何方向上投影只
??
能取两个值（）和（?）。
?? 0
, x? a
运动，求束缚态(0?e?u0)的能级所满足的方程。
解法四：（最简方法-平移坐标轴法）2
Ⅰ：?
?
2??1
?
2
2???2
?
2
2?
??3
??u0?3
3
?2?(u??0?e)1????1?0?
?
2
??
???2??2?e?2?0 ?
?2
???
??3??2?(u0?e)
?2
?3?0??20 (1) k22
d2d2
令x??x?则2?22
??dxdx?
b
?2d21b222
h??????x??
2?dx222??2?2d21b222
???(??x??)??e? 222?dx22???2d21b222?????x???e??,e??e? 2?dx222??2
粒子处在0?x?a的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
i??t2
?
7i?t2
2?2?2?2
x）（）
。2
a?a
16．基态是指（能量最低）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（n0e??
22
x/2
）。
17．
3
一维线性谐振子的第一激发态的能量为（??）、第一激发态的波函数
2
为（n12?xe??
18．19．20．21．22．
dx?
?
a
?a
a?sina
(x?a)dx
?a?
2
?
a
1n??a
2
[1?cosa
(x?a)]dxa
?
a?2
a?2
a
n?2
x
?2
?
?a
cosa(x?a)dx
?a
2
?2
a?a??
a
n?a
?a2
n?
sina
(x?a)
?a
?a?2
a
∴归一化常数a??
1#
a
2.7一粒子在一维势阱中
?u(x)??u0?0, x
? a?
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
?
??r?=（三维空间自由粒子的归一化波函数为?p
p?r1?
e），3/2
(2??)
i??
?
4．
?
5．
??
??
???r?d??（?(p??p)）。???pp??r?
p?r?1*???(r)?(r)d??e），??p?p?
(2??)3/2
?
i??
????
??(r)?动量算符的归一化本征态?p（??
（?(p??p)）。
?ka?n? ( n ? 1, 2, 3,?)
∴?n?2(x)?asina
x
由归一化条件
?
(x)2
dx?1
?
a
得a
2
?
sin
2
n?
a
xdx?1
a
由
?
m??ab
sin
a
x?sin
na
xdx?
2
mn
?a?
2
a
??2
2(x)?
n?
asiax?k2?
2me?
2
2
2?e??2
n?
2ma
2
n (n?1,2,3,?)可见e是量子化的。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态s-方程为2
?
?
d
22?dx
2
?(x)?u(x)?(x)?e?(x)
对各区域的具体形式为Ⅰ：?
?
2
2??1???u(x)?1?e?1 (x?0)
Ⅱ：?
?
2
2???2
??u0?2?e?2 (0?x?a) Ⅲ：?
?
2
2???3
??u1?3?e?3 (a?x?b) Ⅳ：?
?2(x)dx
2
?
2me?
2
?2(x)?0
令k2?
2me?
2
，得
d2
?2(x)dx
2?k2
?2(x)?0
①
②
③
1
其解为?2(x)?asinkx?bcoskx④根据波函数的标准条件确定系数a，b，由连续性条件，得?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
⑤ ?b?0
?asinka?0 ⑥
?a?0?sinka?0
氢原子的状态为r32(r)y21(?,?)，角动量平方是2、角动量z分量。
?的定义是：对于两任意函数?和?,等式厄密算符f
??dx?(f??)*?dx）成立。（??*f?
23．24．
25．26．
27．28．
力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（相互正交）。
力学量算符的属于（不同本征值）的本征函数必相互（正交）。量子力学中，力学量算符都是（厄米）算符，力学量算符的本征函数组成（完全）系。
对应于en的归一化的定态波函数为
?2 ?,t)??
?asinn?
a
xe?i
e?nt, 0?x?an(x??
0,x?a, x?a#
2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是a??
1a
2
证：
?
n
n???asin(x?a), ?
a??
? 0, ?
x?ax? a
（2.6-14）
由归一化，得
1?
?
22
n??2n
?(
k1?
k2k)sin2k2a?2cos2k2a?0
2
k1
两边乘上(?k1k2)即得
(k2
2
2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0
4
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
??, x ?
0，?
u(x)??u0 ?0,
? x?a，?
?u1,a ?x?b，
??
0, b ? x，求束缚态的能级所满足的方程。
?z=算符在其自身表象中的矩阵为（对角）矩阵，例如在?z表象中?
?10?（?。?0?1??）
??
?]=0，?存在组成?，g?，g?2，l?的如果[f则f（完全）系的共同本征态，l
z
共同本征态是（ylm(?,?)）。
?存在有组成（完全）系的共同本征态，则[f?]=（0）?，g?，g如果f，
?2，l?的共同本征态是（y(?,?)）l。lmz
n?n2?2?2
?(x)?csinx,en?,1
a2?a2
a
2
(n?1,2,?)
?nd??1?c1?
2
a
2．一粒子在一维势场u?x??
1
??2x2?bx中运动，试求粒子的能级和归一化定态2
波函数（准确解）。解：
22222
?d1bb?d12222??????(x?)?h???x?bx?? 2?dx222?dx22??22??2
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
?2?csink2x?dcosk2x
?
3
?ee
?k1x
?fe
?k1x
?1(??)有限?b?0?3(?)有限?e ?0
??,x?a,x?0?
粒子的定态能级和归一化波函数.
解：当x?0,x?a,u??,?(0)?0
22?d???e?????e?.当0?x?a,h22?dx
2?ed22
令k?得??k??0 22
?dx
?(x)?c1sinkx?c2coskx
??(0)?0，?c2?0,?(r)?c1sinkx ??(a)?0,?sinax?0,ak?n?,(n?1,2,3,?)