§14.1 圆锥曲线及其生成

§14．1 圆锥曲线及其生成

预备知识

轨迹的概念

重点

圆锥曲线的生成及定义

难点

双曲线和抛物线定义的思想方法

焦点、离心率及渐近线的概念

学习要求

了解圆锥曲线的生成方法

掌握圆锥曲线的几何定义

了解圆锥曲线的各主要参数的含义

掌握圆锥曲线参数之间的换算关系，并能由参数判断圆锥曲线的

形状

自然天体和人造空间运动器在太空中运行的路径是一条曲线；抛 掷一个物体，物体在空中运动的路径也是一条曲线；桥梁、洞涵等建 筑物的剖面图是一条可见的曲线……这些曲线中有部分是圆，也有很 多是一种特殊类型的曲线――圆锥曲线．

圆锥曲线分为三大类――椭圆、双曲线和抛物线．我们在这一节 将学习它们的生成方法、主要参数以及大致形状．

⒈ 椭圆的生成及主要参数 (1)椭圆的生成

我们知道，到定点的距离是一个常数的动点的轨迹是一个圆，通过如图14-1(1)那样的实验，任何人都可以轻而易举地作出一个圆．现在假想在F 处是两个重合的点F 1，F 2，连接动点和定点的线FP 是一根双股线，它们的一端固定在动点P 、另一端分别固定在F 1，F 2（如图14-1⑵）．现在把原来与F 2重合的点F 1向右拉开一些，拉紧PF 1、PF 2并移动点P ，那么得到的是到两个定点距离之和为常数的动点的轨迹．这时的轨迹是一个“扁”的圆（如图14-2），我们把它叫做椭圆，即椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹．

(2)椭圆的主要参数

为了具体描述椭圆的形状，分别标记图14-2上最右、最高、最左、最低点为A 、B 、A 1、B 1，标记F 1，F 2的中点为O (如图14-3)，记

OA =a ， OB =b ， OF 2=c ．

依次把 A 、B 、A 1、B 1叫做顶点，AA 1长2a 叫做长轴、BB 1长2b 叫做短轴、F 1F 2（长2c ）叫做焦距；把a 叫做长半轴长，b 叫做短半轴长，c 叫做半焦距．把定点F 1，F 2叫做焦点，O 叫做椭圆的中心．从生成方法可知，任何椭圆的焦距必定小于长轴，即a >c ．

椭圆是有界曲线――被围在过顶点、边平行于顶点连线的定界矩形内，

图14-1(1)

图14-1(2)

图14-2

图14-3

以AA1、BB1所在直线为对称轴，有一个对称中心．

据椭圆生成法则，有

BF1+BF2=AF1+AF2，

因为BF1=BF2，AF2=F2O+ OF1+F1A=2OF1+F1A，所以

2BF1=2（OF1+AF1）＝2a，BF1=a，

OF1c(14-1-1) 由此可见，动点到两个定点的距离之和等于椭圆的长轴；而F1、F2的距离2c确定了椭圆的焦距，从而也确定了椭圆“扁”的程度．事实上你可以继续做实验：把两点F1、F2并拢一些(c减小)，画出来的椭圆越接近圆；反之，若F1、F2分开一些(c增大)，则椭圆会更“扁”．因此人们用比值

e=c（0

来更准确地反映椭圆“扁”的程度，把e直观地叫做离心率(原来重合的两个定点被拉开的距离与动点到两个定点距离之和的比)．当e越接近1(两点分得越开)，椭圆越“扁”；e越接近0(两点并得越拢)，椭圆越“圆”．特别地，当e=0，即c=0(a=b)时，两点并成一点了，椭圆回复成为圆．可见，圆可以作为椭圆的特例．

课内练习1

1．求下列椭圆的离心率e，焦距2c，并说明哪个椭圆比较“扁”一些．

(1)到相距为6的两个定点的距离和为8的点的轨迹；

(2)到相距为6的两个定点的距离和为10的点的轨迹．

2．已知椭圆的离心率ｅ=1

，长轴长=6，求短半轴的长．

3

3．已知椭圆的长轴是10，短轴是8，求椭圆的焦距和离心率．

⒉双曲线的生成及主要参数

(1)双曲线的生成

类似于椭圆的生成方法，人们也考虑到两个定点距离之差为一正常数的动点的轨迹是怎样的．同样，我们可以先以实验方式描出它．取两根细绳，一端分别固定在定点F1，F2处，另一端穿过一个能紧箍细绳的扣子，拉紧

F 1、F 2之间的细绳，用一支铅笔紧贴扣子，设此时的铅笔尖位于点P 处(如图14-4(1))．在张紧PF 1、PF 2的前提下逐渐放长PF 2、PF 1，两条细绳每次放长相同的长度，于是笔尖P 在移动过程中保持到两个定点的距离差不变，因此铅笔尖在纸面会画出一条曲线，它就是所求的轨迹(如图14-4(2))．

注意：笔尖可以向上移动，也可以向下移动，因此在F 1、F 2连线的上、下两侧都有轨迹．如果图14-4(1)中笔尖P 的初始位置偏在定点F 1一侧P 1处，且P 1F 2- P 1F 1=PF 1-PF 2，按同样方法，还可以得到图14-4(2)上左半支轨迹．因此所求的轨迹实际上有左右两支．

到两个定点距离之差的绝对值为一常数的动点的轨迹，即图14-4(2)所示的两支曲线叫做双曲线．

(2)双曲线的主要参数

为了具体描述双曲线的形状，标记两个定点间连线F 1F 2与双曲线的交点为A 、A 1，线段F 1F 2的中点为O (见图14-5)．记

OA =a ， OF 2=c ．

A ，A 1叫做顶点；定点F 1，F 2叫做焦点；线段AA 1（长2a ）叫做实轴，a 叫做实半轴长； F 1F 2的中垂线叫做虚轴；F 1F 2长2c 叫做焦距，c 叫做半焦距．从生成方法可知，任何双曲线的焦距必定大于长轴，即a

双曲线是无界曲线，以实轴和虚轴为两条对称轴，以O 为对称中心，把O 叫做双曲线的中心．

据双曲线生成法则，有

A F 1-A F 2=A 1 F 2-A 1 F 1=2a ，

可见，动点到两个定点的距离之差等于双曲线的实轴长．与椭圆类似，把比值

e =

c

a

， (e >1) (14-1-3) 叫做双曲线的离心率．如同椭圆的离心率能表征椭圆的“扁”、“圆”程度一样，双曲线的离心率能表征它张口的“大”、“小”．如图14-6(1)，相同的a ，当c 越大(即e 越大)，得到的双曲线的张口也较“大”，反之则张口越“小”．

考虑一下极端情况,如果a=c ,即半焦距与实半轴长相等,轨迹会变成怎样？

图14-5

图14-4(2)

1

图14-4(1)

2

通过作轨迹图来判断张口大小是很不方便的，为此我们以如下公式引进双曲线的另一个正参数b ：

b 2=

c 2-a 2， 即b

或c 2=a 2+b 2或c

(14-1-4) 其中，b 叫做虚半轴长，而2b 叫做虚轴长．

作一个如图14-6(2)(3)那样的定界矩形，它以O 为中心，边长为2a 、2b ，两条边平行于F 1F 2，另两条边分别过顶点A 、A 1．再作该定界矩形的两条对角线，立即可见，双曲线不但在对角线之间、与实轴相交，且当它无限延伸时，越来越靠近这两条对角线(见图14-6(2)，(3))，因此把定界矩形的对角线叫做双曲线的渐近线．这样，我们根据双曲线的主要参数a ，c ，e ，b ，即使不画轨迹，也可以利用顶点、焦点位置、定界矩形及渐近线，作出双曲线的大致图像．

课内练习2

⒈ 求下列双曲线的离心率e ，焦距2c ，并说明哪一支双曲线的张口“大”一些：

⑴ 到相距为10 的两个定点的距离之差为6的点的轨迹； ⑵ 到相距为10 的两个定点的距离之差为8的点的轨迹； ⒉ 已知双曲线的离心率为53，实轴长是6，求虚轴和焦距的长；

⒊ 已知双曲线的焦距是8，虚轴长是6，求虚轴长和离心率． ⒊ 抛物线的生成及主要参数 (1)抛物线的生成

如图14-7，平面上定点F 到定直线l 的距离为FM ，动点P 的初始位置是FM 的中点O ．若动点P 在移动过程中始终保持到l 和到F 的距离相等，则动点P 的轨迹叫做抛物线．也就是说，抛物线是到一定点和到一定直线距

图14-6(1)

图4-6(2)

图4-6(3)

离相等的动点的轨迹． (2)抛物线的主要参数

生成抛物线的定直线l 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物线的焦点，动点P 的初始位置O 叫做抛物线的顶点．

根据抛物线的生成方法可知，抛物线是无界曲线，且以MF 所在直线为对称轴，但并不像双曲线那样分支，它仅有一支．

记抛物线的焦点到准线的距离为p (p >0)，p 是抛物线的惟一参数．p 的大小直接确定了抛物线的形状――张口的大小．图14-8(1)(2)上所画的，是参数p 的两个不同值p 1、p 2所对应的抛物线．当p 越大，抛物线的张口越宽；反之则越窄．

课内练习3

⒈ 判断下列两条抛物线张口的大小： ⑴ 抛物线的焦点到准线的距离为6；

⑵ 抛物线的焦点到准线的距离为8．

⒉ 已知抛物线上的点

P 1(2，到焦点F (1，0)的距离为3

2，求点P

到准线的距离．

阅读材料

关于圆锥曲线

⒈ 圆锥曲线名称的由来

考虑以平面切割一正圆锥表面所得的截交线，图1－4分别表示平面相

F

图14-7

P ? ? M O ?

?

? l

?

图14-8(1)

图14-8(2)

对于圆锥的3种不同位置所得的截交线．

图1的截交平面位于圆锥的顶点与底面之间且与圆锥的底面平行．截交线是一个圆心在中心轴的圆．

图2的截交平面位于圆锥的顶点与底面之间，与底面、圆锥中心轴和任何一条母线和都不平行，此时截交线l 2相当于图1的截交圆l 1被拉长了．设想圆锥的高可以无限增大，只要截交平面满足上述条件，则随着平面逐渐倾斜而趋向于与一条母线平行，截交圆l 2被越拉越长的．

图3的截交平面不过圆锥的顶点，与一条母线平行，此时不论圆锥的高多大，截交线l 3不可能是封闭曲线，而是一条随着圆锥高无限增大而无限延伸的开口曲线．

图4的截交平面不过圆锥的顶点，且平行于圆锥中心轴．此时的截交线l 4也是随着圆锥高无限增大而无限延伸的开口曲线，而且若圆锥的母线通过顶点可以在另一侧延长组成对顶圆锥，那么平面与其表面的截交线有上下两支．

截交线l 1是l 2的特例．人们早就认识到l 2， l 3， l 4是三类不同的曲线，但说不清三类曲线的区别到底在哪里．直到引进了笛卡尔坐标系，建立了这些曲线的方程，才对这三类曲线有了深入的了解，知道它们之间的本质区别．在充分考察了它们的性质之后，把以图2方式截交得到的l 2命名为椭圆，以图3方式截交得到的l 3为命名抛物线，以图4方式截交得到的l 4命名为双曲线，同时把它们的一个比较直观且容易理解的特征性质提出来，如课文正文那样作为它们的定义．由于它们最早是通过平面切割圆锥表面被认识的，故统称为圆锥曲线．

2. 三类圆锥曲线的统一 (1)定义上的统一

如果说椭圆与双曲线的定义还有点相似的话，抛物线的定义与这两者之

间的差别就显得太大了．既然椭圆、双曲线和抛物线都是通过平面与圆锥表

图4

图1

图2

图3

面截交得到，能否给它们一个和谐统一的定义吗？

其实，椭圆和双曲线也有与抛物线定义相同的一个性质． 如图5，设椭圆的长半轴、半焦距、离心率依次为a ，c ，e ，作直线l 1，l 2垂直于椭圆焦点所在直线F 1F 2，且距中心为

a e ．因为e <1，a e

>a ，所以l 1，l 2在椭圆的外侧．可以证明，椭圆上任何一点P 到F 1、 l 1的距离之比及到F 2、 l 2距离之比相等，且是一个小于1的正常数，即

11PF PP =2

2

PF PP =小于1的常数． (1) 反之使(1)成立的点P 必定在椭圆上．

(1)中的常数不难求得．事实上，当P 位于椭圆的顶点A 时，

PF 1=a -c ， PP 1=a e -a =2

a c

-a =a c (a -c )，11PF PP =c a =e ．

所以(1)式中的常数就是椭圆的离心率e ．

如图6，设双曲线的实半轴长、半焦距、离心率依次为a ，c ，e ，作直线l 1，l 2垂直于双曲线焦点所在直线F 1F 2，且距中心为

a

e ．因为e >1， a

e

11PF PP =2

2

PF PP =大于1常数． (2) 反之，使(2)成立的点P 必定在双曲线上．与椭圆情况相仿，可以求得(2)中的常数等于双曲线的离心率e ．

图5中的直线l 1，l 2叫做椭圆的准线，图6中的直线l 1，l 2叫做双曲线的准线．这样，可以把椭圆、双曲线和抛物线的定义统一如下：平面上到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准线)的距离之比为一正常数e 的动点的轨迹，叫做圆锥曲线．当比值e <1时叫做椭圆；e >1时叫做双曲线；e =1时叫做抛物线．e 叫做圆锥曲线的离心率，定点叫做圆锥曲线的焦点．

课文中我们对抛物线没有提离心率，其实它也有离心率，只是抛物线的离心率恒等于1．

圆锥曲线的这种统一定义虽然和谐优美，但对圆锥曲线性质的研究等不见得方便．例如椭圆、双曲线的焦点有两个，准线有两条；两个焦点所在直线与准线垂直等特性，在定义本身中就没有体现．

(2)认识上的统一

如图7，当椭圆的焦点F 1向右逐渐远离另一焦点F 2，但焦点到顶点的

1

1

a e

a e

图6 a e

a e

距离AF1，A1F2却保持有限值时，椭圆将越来越“扁”；当F1到了离F2无限远处，椭圆将在无限远处闭合．我们用名称“无穷远点”表示无穷远处，

所谓的“无穷远点”是一个虚拟的点．当椭圆的一个焦点在平面的有限位置，另一个焦点在无穷远点时，闭合于无限远处的“椭圆”的本质已经改变：在平面有限位置处的可见部分成了抛物线(如图8)

想像焦点F2继续“远离”F1，以至于最后它“绕过”无穷远点又回到了平面的有限位置，只是原来左右位置关系被反转了．在此过程中，原来已经变成抛物线的“椭圆”将继续变化；当焦点F1最终回到有限位置时，我们又见到了顶点A附近的“椭圆”，但此时它的本质再次发生改变：在平面有限位置处的可见部分变成了双曲线的左右两支！

当我们把视野从有限位置的欧几里德平面扩充到无穷远点时，发现三类圆锥曲线是统一的，随着焦点位置不同可以互变．在几何学中有一个分支叫做射影几何，在那里把我们感到很神秘的“无穷远点”也包含在平面里，把它视为一个普通的点，这样的平面叫做射影平面．在射影平面里就不把椭圆、双曲线、抛物线单独分类，所有圆锥曲线归为一类．

O F

1

图7

?

F? A A1

F1

图8

?

F? A A

F1

图9

?

F2

?

A A1