经典物理圆周运动专题复习

物体 P 从斜面 AB 上端 A 点无初速度下滑，物体 P 与斜面 AB 之间的动摩擦因数 μ＝0.25。不计空气阻力， g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)物体 P 第一次通过 C 点时的速度大小 vC； (2)物体 P 第一次通过 C 点时对轨道的压力大小 FN； (3)物体 P 从 D 点向上到达最高点为 E，求 E 到 D 的高度。
圆形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，半径
、
。一个质量为
kg
的小球（视为质点），从轨道的左侧 A 点以
的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距
。
小球与水平轨道间的动摩擦因数
，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重
叠。重力加速度取
，计算结果保留小数点后一位数字。试求：
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； (2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距 L 应是多少。 【答案】(1)10.0N；(2)12.5m
R
R
b
C.由图可知：当 v2＜b 时，杆对小球弹力方向向上，当 v2＞b 时，杆对小球弹力方向向下，所以当 v2=c 时，
4
杆对小球弹力方向向下，所以小球对杆的弹力方向向上，故 C 正确；
D.若 v2=2b，则 N mg m 2b 解得 N=a=mg 故 D 正确。 R
7、某同学玩“弹珠游戏”装置如图所示，S 形管道 BC 由两个半径为 R 的 1/4 圆形管道拼接而成，管道内 直径略大于小球直径，且远小于 R，忽略一切摩擦，用质量为 m 的小球将弹簧压缩到 A 位置，由静止释放， 小球到达管道最高点 C 时对管道恰好无作用力，求： ⑴小球到达最高点 C 的速度大小； ⑵若改用同样大小质量为 2m 的小球做游戏，其它条件不变，求小球能到达 的最大高度； ⑶若改用同样大小质量为 m/4 的小球做游戏，其它条件不变，求小球落地点 到 B 点的距离。
C．若 v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为 6a D．当 v2＝c 时，轻质绳最高点拉力大小为 ac ＋a
b
【答案】AC【解析】AB.在最高点，根据牛顿第二定律得： FT
mg
m v2 L
，则 FT
m v2 L
mg
可知图线的斜率 k m＝ a ，纵轴截距 mg=a，则当地的重力加速度 g a ，轻绳的长度 L bm
D．物块通过球壳最低点时所受重力做功的功率为 mgv
【答案】BC
AB.
设物块通过球壳最低点时，受到球壳的支持力为 FN ，由牛顿第二定律可知 FN
mg
v2 m
R
，解得
FN
mg
m
v2 R
，由牛顿第三定律可知物块对球壳的压力大小也为 mg
m
v2 R
，此时物块受到的摩擦力
为
f
FN
(mg m v2 ) ，故 B 正确，A 错误。 R
械能守恒定律有：Ep＝ 1 • m v2 ＋ 1 mgR 24 2
根据平抛运动规律可知，此时小球离开 C 点后做平抛运动的水平射程：x＝ v 4R g
联立以上各式解得：x＝8R 根据Βιβλιοθήκη Baidu中几何关系可知，小球落地点到 B 点的距离为：d＝x＋2R＝10R
8、（多选）如图所示,质量为 m 的小物块(视为质点)从固定的半球形金属球壳的最高点由静止沿球壳下滑,
水平平台上，一质量 m＝0.5 kg 的小物块压缩弹簧后被锁扣 K 锁住，储存了一定量的弹性势能 Ep，若打开 锁扣 K，小物块将以一定的水平速度 v0 向右滑下平台，做平抛运动恰从 A 点沿切线方向进入圆弧轨道。已 知物体与轨道 CD 间的动摩擦因数 μ＝0.8，重力加速度 g 取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
（3）因 mg cos 37 mg sin 37 ，物体沿轨道 CD 向上作匀减速运动，速度减为零后不会下滑从 B 到上
滑至最高点的过程，由动能定理有 mgR 1 cos37
mg sin 37 mg cos 37
x
0
1 2
mvB2
代入数据可解得 x 135 1.09m 在轨道 CD 上运动通过的路程 x 约为 1.09m 124
=
1 6
mgR
小球在圆管内运动过程中克服阻力做功的功率： P W克 mgR t 6t
复习 2：临界问题
【例】如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球．圆锥体固定在水平面上不 动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 θ=30°．现使小球以一定的角速度绕圆锥体的轴线在水 平面内做圆周运动．
1
(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1，根据动能定理得-μmgL1-2mgR1= mv12- mv02
小球在最高点受到重力 mg 和轨道对它的作用力 F，根据牛顿第二定律有 F+mg=m 代入数据解得轨道对小球作用力的大小 F=10.0 N (2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2，小球恰能通过第二圆形轨道， 根据牛顿第二定律有 mg=m
求：
2
(1)弹簧存储的弹性势能 EP； (2)物体经过 B 点时，对圆弧轨道压力 FN 的大小； (3)物体在轨道 CD 上运动的路程 s。 【答案】（1） 2.25J （2）34N （3）1.09m
（1）由平抛运动规律知 vy2 2gh
竖直分速度 vy 2gh 4m / s
初速度 v0
vy
tan 37
3m /
s
所以弹簧储存的弹性势能为
Ep
1 2
mv02
2.25J
（2）对从水平面运动到 B 点的过程，由机械能守恒有 mg
h R R cos 53
1 2
mvB2
1 2
mv02
经过
B
点时，由向心力公式有 FN
mg
m vB2 R
代入数据解得 FN
34N
由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小为 FN 34N ，方向竖直向下
（1）当小球角速度 v1= gl 时，求细线对小球的拉力； 6
（2）当小球角速度 v2= 3gl 时，求细线对小球的拉力． 2
【答案】（1） 1 3 3 mg （2）2mg
Lb
m
a
故 A 正确、B 错误。C. 若小球运动到最高点时的速度 v2＝b，即 v2=gL，则从最高点到最低点：
1 2
mv2
2mgL
1 2
mv12 最低点时T
mg
m
v12 L
解得
T=6mg=6a
选项
C
正确；
D.当 v2=c 时，代入解得 FT
m c mg＝ac
L
b
a 故 D 错误。
2、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个
C.以球壳的最低点为势能的零点，出状态的机械能为 mgR ，末状态的机械能为 1 mv2 ，所以全过程机械 2
能的减小量为 mgR 1 mv2 ，故 C 正确。 2
D. 物块通过球壳最低点时，重力的方向与速度的方向垂直，所以此时重力的瞬时功率为零，故 D 错误。
9、如图所示,半径为 R 的圆管 BCD 竖直放置,一可视为质点的质量为 m 的小球以某一初速度从 A 点水平抛 出,恰好从 B 点沿切线方向进入圆管,从 B 点再经时间 t 到达圆管最高点 D 后水平射出。已知小球在 D 点对 管下壁压力大小为 1 mg ( g 为重力加速度大小),且 A、D 两点在同一水平线上,BC 弧对应的圆心角 θ=60°,
2
不计空气阻力。求:
（1）小球在 A 点的初速度的大小;
（2）小球在 D 点的角速度的大小;
（3）小球在圆管内运动过程中克服阻力做功的功率。
【答案】（1） gR ；（2） 6gR ；（3） mgR
3
6t
解:(1)小球从 A 到 B 做平抛运动,竖直方向由速度与位移的关系式得： vy2 2gR 1 cos 60
根据动能定理-μmg（L1+L）-2mgR2= mv22- mv02
代入数据解得 B、C 间距 L=12.5m 3、如图所示，粗糙的斜面 AB 下端与光滑的圆弧轨道 BCD 相切于 B，整个装置竖直放置，C 是最低点，圆 心角 θ＝37°，D 与圆心 O 等高，圆弧轨道半径 R＝1 m，斜面长 L＝4 m。现有一个质量 m＝0.1 kg 的小
圆周运动专题复习
复习 1：绳（单轨）、杆（双轨）问题
1、（多选）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计阻力)，小球
运动到最高点时绳对小球的拉力为 FT，小球在最高点的速度大小为 v，其 FT－v2 图象如图乙所示，则( ) A．轻质绳长为 mb a B．当地的重力加速度为 am
解得： vy 3gR
在
B
点:将速度分解,由几何关系得： v0
vy tan 60
gR
6
(2)在
D
点,由向心力公式得：
mg
1 2
mg
m
vD2 R
解得： vD
6gR 3
根据角速度与线速度的关系得: vD 6gR R 3R
(3)从
A
到
D
全过程由动能定理得：
W克
=
1 2
mvD2
1 2
mv02
解得：W克
（1）物块 A 与弹簧刚接触时的速度大小 v1； （2）物块 A 被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度 h1； （3）调节 PQ 段的长度 L，A 仍以 v0 从轨道右侧冲上轨道，当 L 满足什么条件时，物块 A 能第一次返回圆 形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道．
3
(2)①若 A 沿轨道上滑至最大高度 h2 时，速度减为 0，则 h2 满足
5、如图所示，在水平轨道右侧安放半径为 R＝0.2 m 的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的 PQ 段铺设特殊材
料，调节其初始长度为 L＝1 m，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态．质量为 m＝1 kg
的小物块 A（可视为质点）从轨道右侧以初速度 v0＝2 3 m/s 冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩 弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块 A 与 PQ 段间的动摩擦因数 μ＝0.2，轨道其 他部分摩擦不计，重力加速度 g＝10 m/s2. 求：
(3)设
D
点到
E
点的高度为
h，从
C
点到
E
点，由动能定理可得：mg
(
R
h)
0
1 2
mvC
2
，解得：h
0.8
m
。
4、如图，半径 R＝0.5 m 的光滑圆弧轨道 ABC 与足够长的粗糙轨道 CD 在 C 处平滑连接，O 为圆弧轨道 ABC
的圆心，B 点为圆弧轨道的最低点，半径 OA、OC 与 OB 的夹角分别为 53°和 37°。在高 h＝0.8 m 的光滑
物块通过球壳最低点时的速度大小为 v 。球壳的半径为 R ,其两端的最高点在同一水平线上,物块与球壳间
的动摩擦因数为 ,重力加速度大小为 g 。下列说法正确的是（
）
A．物块运动到最低点时,受到的摩擦力大小为 mg
5
B．物块通过球壳最低点时,对球壳的压力大小为 mg m v2 R
C．从刚释放至运动到最低点的过程中,物块减少的机械能为 mgR 1 mv2 2
象如图 2 所示．则（ ）
A．小球的质量为 aR b
B．当地的重力加速度大小为 R b
C． v2 c 时，小球对杆的弹力方向向上
D． v2 2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等
【答案】ACD【详解】
AB.在最高点，若 v=0，则 N=mg=a；
若 N=0，则 mg m b 解得 g b ， m a R 故 A 正确，B 错误；
0<h2≤R
③ （2 分）
由动能定理得－2μmgL1－mgh2＝0－ 1 mv20 2
联立得
1 m≤L1<1.5 m ④ （2 分）
6、（多选）如图 1 所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 R 的
圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F，小球在最高点的速度大小为 v，其 F v2 图
【答案】(1)6m/s(2)4.6N(3)0.8m
(1)物体从
A
到
C
点过程，根据动能定理得：
mgL
sin
mgR(1
cos
)
mg
cos
L
1 2
mvC 2
0
，
代入数据解得： vC 6 m/ s ；
(2)在
C
点，由牛顿第二定律得：
FN
mg
mvC 2 R
代入数据解得： FN
4.6
N
，
由牛顿第三定律得：物体 P 第一次通过 C 点时对轨道的压力大小为 4.6N；
【答案】 ⑴vC＝ gR ；⑵h＝ 5 R ；⑶d＝10R 4
⑴由于小球到达管道最高点 C 时对管道恰好无作用力，根据牛顿第二定律和向心力公式有：mg＝ m vC2 ， R
解得小球到达最高点 C 的速度大小为：vC＝ gR
⑶改用质量为 m/4 的小球时，小球能通过最高点 C 后做平抛运动，设此时离开 C 点时的速度为 v，根据机