【精选】轴对称解答题专题练习(解析版)

【精选】轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

【分析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

【详解】

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.

2．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90o，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相

交于点 F，且∠CAD＝1

2

∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

【分析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：

∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】

（1）设∠CAD=x，

∵∠CAD＝1

2

∠ABE，∠BAC＝90o，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90o，∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，

∵BF＝AB,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x，∴∠EFD=∠BFA=90°-x，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x）-(45°-x)=45°；

（3）由（2）可知：EF＝EC，

∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ， ∴AB=BF=AC=3+x ， ∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ， ∵∠BAC ＝90o， ∴222AB AE BE +=， ∴222(3)3(32)x x ++=+，

解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去） ∴BF=3+x=3+1=4. 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.

3．已知:三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为BC 的中点.

(1)如图,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且BE=AF,求证:△DEF 为等腰直角三角形.

(2)若E 、F 分别为AB,CA 延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF 是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

(1)先连接AD ，构造全等三角形：△BED 和△AFD ．AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD ，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF ，再加上BE=AF ，AD=BD ，可证出：△BED ≌△AFD ，从而得出DE=DF ，∠BDE=∠ADF ，从而得出∠EDF=90°，即△DEF 是等腰直角三角形；

(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF ≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF 是等腰直角三角形. 【详解】 解：（1）连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,

∴AD⊥BC ,BD=AD ,

∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,

又∵BE=AF ,

∴△BDE≌△ADF（SAS）,

∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,

∴△DEF为等腰直角三角形.

（2）连结AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,

∴AD=BD ,AD⊥BC ,

∴∠DAC=∠ABD=45° ,

∴∠DAF=∠DBE=135°,

又∵AF=BE ,

∴△DAF≌△DBE（SAS）,

∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.

∴△DEF为等腰直角三角形.

【点睛】

本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．

4．再读教材:

宽与长的比是5-1

2

(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.

世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)

第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.

第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，

第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，

问题解决:

（1）图③中AB=________(保留根号);

（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;

（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.

（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.

【答案】（1）5；(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.

【解析】

分析：（1）由勾股定理计算即可；

（2）根据菱形的判定方法即可判断；

（3）根据黄金矩形的定义即可判断；

（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．

详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22

+=22

AC BC

+=5．

12

故答案为5．

（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：

如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．

∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．

（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．

∵AD =5

．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1． ∵BC =2，∴

CD BC =51

2

-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =215+=51

2

-，∴矩形MNDE 是黄金矩形．

（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．

长GH =5﹣1，宽HE =3﹣5．

点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．

5．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．

①求证：∠1＝∠2；

②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；

（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，

求ABF ACF

S S

的值．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2 【解析】 【分析】

（1）①只要证明∠2+∠BAF ＝∠1+∠BAF ＝60°即可解决问题； ②只要证明△BFC ≌△ADB ，即可推出∠BFC ＝∠ADB ＝90°；

（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．只要证明△ABK ≌CAF ，可得S △ABK ＝S △AFC ，再证明AF ＝FK ＝BK ，可得S △ABK ＝S △AFK ，即可解决问题；

【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AD⊥BN，

∴∠ADB＝90°，

∵∠MBN＝30°，

∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2

②证明：如图2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，

∴BF＝2DF，

∵BF＝2AF，

∴BF＝AD，

∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，

∴△BFC≌△ADB，

∴∠BFC＝∠ADB＝90°，

∴BF⊥CF

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1， ∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ， ∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ， ∴∠1+∠4＝∠2+∠4 ∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ， ∴△ABK ≌CAF ，

∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，

∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ， ∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ， ∴AF ＝FK ＝BK ， ∴S △ABK ＝S △AFK ，

∴

ABF

AFC

S 2S ??=． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

6．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，ABC ?是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线

BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ?的一条特异线，则BDC ∠= 度．

（2）如图2，ABC ?中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点

E ，求证：AE 是ABC ?的一条特异线；

（3）如图3，若ABC ?是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．

【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；

（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；

（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】

（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=1

2

∠ABC，

∵BD是△ABC的一条特异线，

∴△ABD与△BCD为等腰三角形，

∴AD=BD=BC，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，

设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠BDC=72°，

故答案为：72；

（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，

∴△EAC为等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，

∴△EAB为等腰三角形，

∴AE是△ABC的一条特异线；

（3）

如图3，当BD是特异线时，

如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；

如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；

如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；

如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，

则：∠ABC=180°?20°?20°=140°；

当CD为特异线时，不符合题意；

综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．

（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．

（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并

延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝2

3

DC？请求出点C的坐标；

（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．

【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .

【解析】

【分析】

（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；

（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；

（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．

【详解】

解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，

∵∠BAO＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA＝6，

∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，

∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，

∵BD 是△ABC 的角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝40°，

∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，

∴DB＝DC，

在△OBD 和△HCD 中，

==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠??

=??∠∠?

∴△OBD ≌△HCD （ASA ）， ∴OB ＝HC ， 在△AOB 和△FHC 中，

==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠??

=??∠∠?

∴△AOB ≌△FHC （ASA ）， ∴CF=AB=6， 故答案为6；

（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形， ∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°， ∴∠ABC ＝∠DBQ ， 在△CBA 和△QBD 中，

BA BD ABC DBQ BC BQ =??

∠=∠??=?

∴△CBA ≌△QBD （SAS ）， ∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°， ∴∠PDO ＝60°， ∴PD ＝2DO ＝6， ∵PD ＝

2

3

DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12， ∴点 C 的坐标为（12，0）；

（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ． 由（2）得，△AEP ≌△ADB ， ∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°， ∴∠OEF ＝60°，

∴OF ＝OA ＝3，

∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小， ∴OP ＝

12OF ＝32

则OP 的最小值为

3

2

．

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

8．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为

()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且

10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,

.

（1）点A 的坐标为___________；

（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；

（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7

,03?? ???

；（3）425

【解析】 【分析】

（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG

OPG ，利用点A ，A '关于直线

OE 对称点，根据对称性，可证

'

OPG EAO ，可得'

8OP OA ，82AP

，

设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222

2BP BE EP AP AE

解之即可． 【详解】

解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，

∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：

2

2

2

2

1068AO

AB BO ，

∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BP

AB 时，如图一所示：

∴106

4OP BP BO ，

∴P 点的坐标是()4,0； 当AP AB =时，如图二所示：

∴6OP BO

∴P 点的坐标是()6,0；

当AP BP =时，如图三所示：

设OP x =，则有6AP x

∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2

2

2

86

x x

解之得：73

x =

∴P 点的坐标是

7

,03

； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：

连接'OA ，

∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，

∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA

OGP

∴

EAG

OPG ，

∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'

8OA OA ，'EA

EA

∴

'

FAO

FAO

，'

FAE FAE

∴'EAG

EAO

则有：'

OPG EAO

∴

'

AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，

∴2222

8882AP

AO OP ，

设BE x =，则有6AE x ，

根据勾股定理，有：

22

222BP BE EP AP AE 即：2

2

2

2

68

82

10

x x

解之得：42

5

BE x

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．

9．已知△ABC ．

（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．

（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接

OD OE 、求证：OD OE =；

（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是

2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.

【解析】 【分析】

（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，

用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ???,于是可得到OE=OD ；

（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，

OEH ODG ???，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明

EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可

证明OEF OGF

???,所以有EOF DOF

∠=∠,然后可得到ABC

∠

与EOF

∠的数量关系.【详解】

解：（1）如图，就是所要求作的图形；

（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G，作OH⊥AB于H，

∵BO平分∠ABC，OH⊥AB，OG垂直平分BC，

∴OH=OG，CG=BG，

∵OB=OB,

∴OBH OBG

???,

∴BH=BG，

∵BE=CD，

∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，

在OEH

?和ODG

?中,

90

OH OG

OHE OGD

EH DG

=

?

?

∠=∠=

?

?=

?

,

∴OEH ODG

???,

∴OE=OD．

（3）ABC

∠与EOF

∠的数量关系是2180

ABC EOF

∠+∠=，理由如下；

如图 ，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，

由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ???且OE=OD ， ∴EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,

∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG ∠=∠+∠=∠+∠=∠, ∴180ABC EOD ∠+∠=,

∵△BEF 的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC ∴DF=EF,

在△OEF 和△OGF 中,

OE OD EF FD OF OF =??

=??=?

, ∴OEF OGF ???, ∴EOF DOF ∠=∠, ∴2EOD EOF ∠=∠, ∴2180ABC EOF ∠+∠=. 【点睛】

本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.

10．如图，已知ABC ?()AB AC BC <<

，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边BC 上找一点M ，使得：将ABC ?沿着过点M 的某一条直线折叠，点B 与点

C 能重合，请在图①中作出点M ；

（2）在边BC 上找一点N ，使得：将ABC ?沿着过点N 的某一条直线折叠，点B 能落在边AC 上的点D 处，且ND AC ⊥，请在图②中作出点N . 【答案】（1）见详解；（2）见详解．

【解析】

【分析】

（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；

（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．

【详解】

（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：

（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：

【点睛】

本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．