【精选】轴对称解答题专题练习(解析版)

【精选】轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

【分析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

【详解】

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.

2．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相

交于点 F，且∠CAD＝1

2

∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

【分析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：

∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】

（1）设∠CAD=x，

∵∠CAD＝1

2

∠ABE，∠BAC＝90º，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90º，∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，

∵BF＝AB,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x，∴∠EFD=∠BFA=90°-x，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x）-(45°-x)=45°；

（3）由（2）可知：EF＝EC，

∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，

∴AB=BF=AC=3+x ，

∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，

∵∠BAC ＝90º，

∴222AB AE BE +=，

∴222(3)3(32)x x ++=+，

解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）

∴BF=3+x=3+1=4.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.

3．已知:三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为BC 的中点.

(1)如图,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且BE=AF,求证:△DEF 为等腰直角三角形.

(2)若E 、F 分别为AB,CA 延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF 是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)先连接AD ，构造全等三角形：△BED 和△AFD ．AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD ，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF ，再加上BE=AF ，AD=BD ，可证出：△BED ≌△AFD ，从而得出DE=DF ，∠BDE=∠ADF ，从而得出∠EDF=90°，即△DEF 是等腰直角三角形；

(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF ≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF 是等腰直角三角形.

【详解】

解：（1）连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,