枚举法PPT课件
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C语言枚举法PPT课件
if(i*i + j*j >= 2000) break;
} } return 0; }
第9页/共31页
• 还可以进一步的优化吗？？？ • 大家回去也可以好好思考下。
第10页/共31页
• 可以通过上面的例子看到，虽然都是枚举法，但是运行效率还是会有很大的差距的。 • 第一个方案 我们至少需要做 45*45次操作 • 而第三种方案明显比第一个方案少很多次操作。
• Sample Output
•1
•3
•5
•7
• 。。。 <-- 这里有很多自我数
•
• 9960
• 9971
• 9982
第23页/共31页
解题思路
• 最简单的方法，把1到1000000所有的数的产生的d(n),都算出来，所有没被算出来的数就是我们所需要的 答案了。
第24页/共31页
int b[1000001];
第27页/共31页
• 用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大，解题效率不高， 如果枚举范围太大（一般以不超过两百万次为限），在时间上 就难以承受。但枚举算法的思路简单，程序编写和调试方便， 比赛时也容易想到，在竞赛中，时间是有限的，我们竞赛的最 终目标就是求出问题解，因此，如果题目的规模不是很大，在 规定的时间与空间限制内能够求出解，那么我们最好是采用枚 举法，而不需太在意是否还有更快的算法，这样可以使你有更 多的时间去解答其他难题。
可以优化吗？？？
第26页/共31页
优化 int b[1000001]; for(i = 1; i < =1000000;
i++) {
x = i, temp = i; while(temp != 0) {
} } return 0; }
第9页/共31页
• 还可以进一步的优化吗？？？ • 大家回去也可以好好思考下。
第10页/共31页
• 可以通过上面的例子看到，虽然都是枚举法，但是运行效率还是会有很大的差距的。 • 第一个方案 我们至少需要做 45*45次操作 • 而第三种方案明显比第一个方案少很多次操作。
• Sample Output
•1
•3
•5
•7
• 。。。 <-- 这里有很多自我数
•
• 9960
• 9971
• 9982
第23页/共31页
解题思路
• 最简单的方法，把1到1000000所有的数的产生的d(n),都算出来，所有没被算出来的数就是我们所需要的 答案了。
第24页/共31页
int b[1000001];
第27页/共31页
• 用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大，解题效率不高， 如果枚举范围太大（一般以不超过两百万次为限），在时间上 就难以承受。但枚举算法的思路简单，程序编写和调试方便， 比赛时也容易想到，在竞赛中，时间是有限的，我们竞赛的最 终目标就是求出问题解，因此，如果题目的规模不是很大，在 规定的时间与空间限制内能够求出解，那么我们最好是采用枚 举法，而不需太在意是否还有更快的算法，这样可以使你有更 多的时间去解答其他难题。
可以优化吗？？？
第26页/共31页
优化 int b[1000001]; for(i = 1; i < =1000000;
i++) {
x = i, temp = i; while(temp != 0) {
枚举算法——For语句课件高中信息技术浙教版选修1(29张PPT)
1．For语句的用法。2. 学会使用For语句解决实际问题。
课前练习
04
1.某城市的出租车计费标准为起步价10元（3公里内，含3公里），在3公里到10公里之间每公里2.1元，超过10公里部分每公里3元。另外，里程超过3公里，等待时间也要计费，累计等待时间每4分钟，折算成里程1公里（即2.1元），不足4分钟部分不计费。
课前练习
1.某城市的出租车计费标准为起步价10元（3公里内，含3公里），在3公里到10公里之间每公里2.1元，超过10公里部分每公里3元。另外，里程超过3公里，等待时间也要计费，累计等待时间每4分钟，折算成里程1公里（即2.1元），不足4分钟部分不计费。
课前练习
Dim s As Integer, t As Integer, m As Singles = ① ‘输入路程t = ② ‘输入时间If ③ Then m = 10ElseIf ④ Then m = 10 + (s - 3) * 2.1 + (t \ 4) * 2.1Else m = ⑤ _ End IfLabel3.Caption = ⑥ _
枚举算法的一般格式For 循环变量＝初始 To 终值 Step 步长 If 检验表达式 Then 输出解或者计数器加1 End IfNext 循环变量
课堂小结
设计了一个找数的 Visual Basic 程序，该程序可以找出所有能被 7 整除，且至少有一位数为 1 的三位数，并统计个数，程序运行界面如右图所示。实现上述功能的 VB 程序如下，请在划线处填写合适的代码。
新课讲授
For i=1 to 100 s=s+iNext i
step 2
①循环变量是数值变量，一般为整数型。初值和终值各是一个数值表达式。步长为循环变量的增量，是一个数值表达式。其值可以是正数(递增循环)，也可以是负数(递减循环)，但不能是0。如果省略步长，则步长为1。②For－Next循环遵循“先检查、后执行”的原则，即先检查循环变量是否超过终值，然后决定是否执行循环体。
课前练习
04
1.某城市的出租车计费标准为起步价10元（3公里内，含3公里），在3公里到10公里之间每公里2.1元，超过10公里部分每公里3元。另外，里程超过3公里，等待时间也要计费，累计等待时间每4分钟，折算成里程1公里（即2.1元），不足4分钟部分不计费。
课前练习
1.某城市的出租车计费标准为起步价10元（3公里内，含3公里），在3公里到10公里之间每公里2.1元，超过10公里部分每公里3元。另外，里程超过3公里，等待时间也要计费，累计等待时间每4分钟，折算成里程1公里（即2.1元），不足4分钟部分不计费。
课前练习
Dim s As Integer, t As Integer, m As Singles = ① ‘输入路程t = ② ‘输入时间If ③ Then m = 10ElseIf ④ Then m = 10 + (s - 3) * 2.1 + (t \ 4) * 2.1Else m = ⑤ _ End IfLabel3.Caption = ⑥ _
枚举算法的一般格式For 循环变量＝初始 To 终值 Step 步长 If 检验表达式 Then 输出解或者计数器加1 End IfNext 循环变量
课堂小结
设计了一个找数的 Visual Basic 程序，该程序可以找出所有能被 7 整除，且至少有一位数为 1 的三位数，并统计个数，程序运行界面如右图所示。实现上述功能的 VB 程序如下，请在划线处填写合适的代码。
新课讲授
For i=1 to 100 s=s+iNext i
step 2
①循环变量是数值变量，一般为整数型。初值和终值各是一个数值表达式。步长为循环变量的增量，是一个数值表达式。其值可以是正数(递增循环)，也可以是负数(递减循环)，但不能是0。如果省略步长，则步长为1。②For－Next循环遵循“先检查、后执行”的原则，即先检查循环变量是否超过终值，然后决定是否执行循环体。
c语言枚举法(穷举法)课件
}
}
第3章 程序控制结构
课堂讨论：谁做的好事？
有四位同学中的一位做了好事，不留名，表扬信来了 之后，校长问这四位是谁做的好事。
A说：不是我。 B说：是C。 C说：是D。 D说：C胡说。 已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。现在要根据 这些信息，找出做了好事的人。
第3章 程序控制结构
编程思路：
三重循环
第3章 程序控制结构
void main()
{
int x,y,z;
for (x=0;x<=100;x++)
for (y=0;y<=100;y++)
for (z=0;z<=100;z++)
?
{
if (x+y+z==100 && 5*x+3*y+z/3==100 )
printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z);
{
sa=(thisman != 'A');
sb=(thisman == 'C');
sc=(thisman == 'D');
sd=(thisman != 'D');
cond=sa+sb+sc+sd;
if (cond==3) printf("做好事的人是：%c\n", thisman);
}
}
for (y=0;y<=100;y++)
{
z=100-x-y;
if (z%3==0 && 5*x+3*y+z/3==100 )
最新高中信息技术--枚举算法精品ppt课件
高中信息技术--枚举算法
例1:一天小明回家看见妈妈好像有什么心事，于是小明关心地询问妈妈，怎么回 事？妈妈告诉小明，她不小心将单位的记录账目的单据碰到了污迹，现在很难 认出，这个数字是：113702?,怎么办？小明想了一想后，问妈妈这数有什么特点？ 妈妈说：“这数是144的整数倍”，马上，小明就帮助妈妈解决了这个问题。
、、、
i <=9
F
T
4650796
结束
4651706
4651716
千位数为1 ， 十位数从0——9一一枚举：
4651726
4651736 、、、
十位数从0—9 一一枚举
4651796
、、、、、、
千位数为9 ， 十位数从0——9一一枚 举：
4659706
4659716 4659726 4659736 、、、
4659796
j=j+1 Байду номын сангаас=i+1
提高题（模糊数据二）：模糊数字是465？7？6，它是144的
整数倍 。
开始
第二步：根据条件，找出真正的解
千位数为0 ， 十位数从0——9过一遍：
千位数为1 ， 十位数从0——9过一遍：
4650706
4650716 4650726 4650736 、、、
4650796 4651706
第二步：根据条件，检验出真正的解
开始
开始
i=0
i<=9 T
X=1137020+i
F 结束
F X mod 144=0
T
输出X
i=0
int(x/144)=x/144
i<=9 F T
或者
X=1137020+i
例1:一天小明回家看见妈妈好像有什么心事，于是小明关心地询问妈妈，怎么回 事？妈妈告诉小明，她不小心将单位的记录账目的单据碰到了污迹，现在很难 认出，这个数字是：113702?,怎么办？小明想了一想后，问妈妈这数有什么特点？ 妈妈说：“这数是144的整数倍”，马上，小明就帮助妈妈解决了这个问题。
、、、
i <=9
F
T
4650796
结束
4651706
4651716
千位数为1 ， 十位数从0——9一一枚举：
4651726
4651736 、、、
十位数从0—9 一一枚举
4651796
、、、、、、
千位数为9 ， 十位数从0——9一一枚 举：
4659706
4659716 4659726 4659736 、、、
4659796
j=j+1 Байду номын сангаас=i+1
提高题（模糊数据二）：模糊数字是465？7？6，它是144的
整数倍 。
开始
第二步：根据条件，找出真正的解
千位数为0 ， 十位数从0——9过一遍：
千位数为1 ， 十位数从0——9过一遍：
4650706
4650716 4650726 4650736 、、、
4650796 4651706
第二步：根据条件，检验出真正的解
开始
开始
i=0
i<=9 T
X=1137020+i
F 结束
F X mod 144=0
T
输出X
i=0
int(x/144)=x/144
i<=9 F T
或者
X=1137020+i
《数学]枚举法》PPT课件
![《数学]枚举法》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ec8c624a770bf78a6429545c.png)
*** × ** ----------
**** **** ---------*****
15
h
❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
16
h
例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
12
h
例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
30
h
❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
3
h
枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
4
h
❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
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❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
16
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例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
12
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例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
30
h
❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
3
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枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
4
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❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
浙教版(2020)八年级信息技术上册第14课枚举算法课件(13PPT)
小
信
技
组
中
学
息
术
小
信
技
组
中
学
息
术
一、情境导入
小明的妈妈让他从密码储蓄罐里拿100元钱去隔壁李叔叔家买100只鸡 回来，当小明去开密码储蓄罐时发现首位是非零的4位数的密码忘了？大 家给小明出出主义，在不损坏储蓄罐前提下，应该怎么办？
一次一次去试
拨到1000，错了，舍弃 拨到1001，错了，舍弃 拨到1002，错了，舍弃 拨到1003，错了，舍弃 拨到1004，错了，舍弃
小
信
技
组
中
学
息
术
在枚举算法中，每列举出一个可能解，都需判断该可能解是否为正确解， 这个处理过程会重复执行直到判断完所有的可能解，所以可采用循环结构来实 现。而在利用问题提供的约束条件筛选、判断解的过程中，则需要用到分支结 构。那么我们可以将其画成通用的流程图，请同学们完成任务二，将枚举算法 的内容选择到流程图中。
中输入代码并调试
for i in range(10000): if i==3671: print("你的密码输入成功:",i)
开始
输入密码是否大于等
否
于1000小于等于9999？
是
输入的值是
否
不是密码？
是 输出储蓄罐密码
取下一个密码
结束
基本思想：一一列举 逐个检验 步骤：1.确定枚举对象、范围和判定条件 2.逐一枚举 逐一检验
…… 拨到3671，对了，记下
……
小
信
技
组
中
学
息
术
枚举算法就是按照问题本身的性质，一一列举出该
问题所有可能的解，并根据问题的条件对各解进行逐个 检验，从中挑选出符合条件的解，舍弃不符合条件的解。
信
技
组
中
学
息
术
小
信
技
组
中
学
息
术
一、情境导入
小明的妈妈让他从密码储蓄罐里拿100元钱去隔壁李叔叔家买100只鸡 回来，当小明去开密码储蓄罐时发现首位是非零的4位数的密码忘了？大 家给小明出出主义，在不损坏储蓄罐前提下，应该怎么办？
一次一次去试
拨到1000，错了，舍弃 拨到1001，错了，舍弃 拨到1002，错了，舍弃 拨到1003，错了，舍弃 拨到1004，错了，舍弃
小
信
技
组
中
学
息
术
在枚举算法中，每列举出一个可能解，都需判断该可能解是否为正确解， 这个处理过程会重复执行直到判断完所有的可能解，所以可采用循环结构来实 现。而在利用问题提供的约束条件筛选、判断解的过程中，则需要用到分支结 构。那么我们可以将其画成通用的流程图，请同学们完成任务二，将枚举算法 的内容选择到流程图中。
中输入代码并调试
for i in range(10000): if i==3671: print("你的密码输入成功:",i)
开始
输入密码是否大于等
否
于1000小于等于9999？
是
输入的值是
否
不是密码？
是 输出储蓄罐密码
取下一个密码
结束
基本思想：一一列举 逐个检验 步骤：1.确定枚举对象、范围和判定条件 2.逐一枚举 逐一检验
…… 拨到3671，对了，记下
……
小
信
技
组
中
学
息
术
枚举算法就是按照问题本身的性质，一一列举出该
问题所有可能的解，并根据问题的条件对各解进行逐个 检验，从中挑选出符合条件的解，舍弃不符合条件的解。
浙教版六年级上册信息技术第10课韩信点兵枚举法的实现课件(共16张PPT)
思路： 设原来有x名士兵，根据报数的情况可以得到，
○ x%5=1, ○ x%6=5, ○ x% =4, ○ x%11 =10，
并且这几个情况需要同时满足。 由此可以得出结果x。
4 3
4 3
类别 1
类别 2
类别 3
枚举法的例子
枚举算法概念
枚举的策略是直接基于计算机特 点而使用的思维方法，在一时找不到 解决问题的更好途径 (指从数学上找 到求解公式或规则)时，可以根据问 题中的部分条件(约束条件)将可能解 的情况列举出来，然后一一验证是否 符合整个问题的求解要求。
例1 勾股数
[问题描述] 设三个正整数a、b、c,满足 则称abc为一组勾股数。求所有 G<=N 的勾股数(N <1000)
例2直尺刻度
[问题描述]
一长29厘米的尺子，只允 许在上面刻7个刻度，就能 用它直接量出1~29厘米的长 度。求这7个刻度的位置。
30%
60%
80%
直尺刻度问题分析 从 1~29 厘米中选择七个刻度的所有可
能情况数是:
C (29,7) = (29*28*27*26*25*24*23) 1(1*2*3*4*5*6*7)
=1560780
作业1
作业2
感 谢 聆 听
韩
信
点
兵
枚 举 法
第 六 课
的
实
现
目录
1.韩信点兵枚举法。 2.枚举法的例子。
01
韩信点兵枚举法
韩信在点兵的时候，为了知道有多少 名士兵，同时又能保住军事机密，便让士兵 排队报数。 按从1至5报数，最末一个士兵报 的数为1。 再按从1至6报数，最末一个士兵 报的数为5。 再按1至7报数，最末一个士兵 报的数为4。 最后按1至11报数，最末一个士 兵报的数为10。 你知道韩信至少有多少名士 兵？
第14课 枚举算法 课件(25张PPT)
元，共有几种组合方式？
（0张50元）24张10元
（1张50元）19张10元
（2张50元）14张10元
（3张50元） 9张10元
（4张50元） 4张10元
随堂练习
一张单据上有一个5位数的编号，千位数是1，百位数是7，
个位数是8，万位数和十位数已经模糊不清，只知道该5位数
是7或11的倍数，找出所有满足这些条件的5位数并输出。
完所有的可能解，所以可采用循环结
构来实现。
而在利用问题提供的约束条件筛选、判断
解的过程中，则需要用到分支结构。
新知讲解
枚举算法的流程图
如图所示。
新知讲解
三、枚举算法的程序实例
我国古代数学家张丘建在他的《算经》
中提出了著名的“百钱买百鸡”问题：鸡
翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三
，值钱一；百钱买百鸡，问翁、母、雏各
NO. ? 17 ? 8
该题要列举的对象有两个，分别是万位数和个位数。
课堂小结
板书设计
一、枚举算法的思想和步骤
二、枚举算法的流程图表示
三、枚举算法的程序实例
作业布置
在联欢会上，小明提议大家来玩数7
的游戏。
游戏规则：从1开始数起，每个人数
一个数，凡是遇到7的倍数就要喊“过
”,这样一直数到100为止。
弃不符合条件的解。
一一列举；逐个检验
新知讲解
在很多时候，由于人类大脑的运算和处理能
力相对有限，无法立刻得出某个问题的可能解
或最优解，如复杂密码的破解。
但是，人们可以利用计算机运算速
度快和存储容量大的特点，采用最原
始的破解方法——枚举法。
新知讲解
一、枚举算法的思想和步骤
（0张50元）24张10元
（1张50元）19张10元
（2张50元）14张10元
（3张50元） 9张10元
（4张50元） 4张10元
随堂练习
一张单据上有一个5位数的编号，千位数是1，百位数是7，
个位数是8，万位数和十位数已经模糊不清，只知道该5位数
是7或11的倍数，找出所有满足这些条件的5位数并输出。
完所有的可能解，所以可采用循环结
构来实现。
而在利用问题提供的约束条件筛选、判断
解的过程中，则需要用到分支结构。
新知讲解
枚举算法的流程图
如图所示。
新知讲解
三、枚举算法的程序实例
我国古代数学家张丘建在他的《算经》
中提出了著名的“百钱买百鸡”问题：鸡
翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三
，值钱一；百钱买百鸡，问翁、母、雏各
NO. ? 17 ? 8
该题要列举的对象有两个，分别是万位数和个位数。
课堂小结
板书设计
一、枚举算法的思想和步骤
二、枚举算法的流程图表示
三、枚举算法的程序实例
作业布置
在联欢会上，小明提议大家来玩数7
的游戏。
游戏规则：从1开始数起，每个人数
一个数，凡是遇到7的倍数就要喊“过
”,这样一直数到100为止。
弃不符合条件的解。
一一列举；逐个检验
新知讲解
在很多时候，由于人类大脑的运算和处理能
力相对有限，无法立刻得出某个问题的可能解
或最优解，如复杂密码的破解。
但是，人们可以利用计算机运算速
度快和存储容量大的特点，采用最原
始的破解方法——枚举法。
新知讲解
一、枚举算法的思想和步骤
高中信息技术选修1《枚举算法》(共22张PPT)
提高任务：
如何统计 一共有多 少个可能 解？
得到可能的解
701778 711788 721798
虽然一共只得到3个可能解,其实并没有关 系，银行允许三次密码输错，福尔摩斯一定能 够取出里面钱，开心的度过美好的生日。
课堂练习
选择题
• 下列关于枚举算法的说法正确的是 （C ）
A.枚举算法是根据公式进行求解的 B.只要找到一个符合条件的解，枚举算法就结束 C.枚举算法可能也会找不到符合条件的解 D.枚举算法一般不包含选择结构
案情2
原来是福尔摩斯的好兄弟华生医生准备的厚礼。 可是，这钱却不能用真是让人不舒服。
正当福尔摩斯恼火的时候，只见便条的反面还写 着一段话：
1.密码6位，2,5位未知。 7X17Y8
2.既能被7整除，也能被11整除 3.小福，看你的了！嘻嘻
假如你是福尔摩斯
• 利用枚举算法思想解决问题：
1.确定范围
若科技是属于人工智能的 人类与人工智能对抗是 没有任何意义的
• 这种算法就叫做“枚举算法”，又称为“穷举法”。
méi
一一列举，逐个检验
流循程环图表结示 构嵌套选择结构
开始
开始
剩余钥匙>0？ N
Y 拿一个钥匙
剩余喜糖>0？
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结束
输出喜糖数目 结束
枚举算法的设计步骤
01
• 利用枚举算法思想解决问题：
1.确定范围 2.明确检验条件
3.选择控制方式
4.编程求解
20到29之间 被3除2，被5除3
有一个未知量 需要一层循环结构
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2
例题
• 例题1：有一个三位数的各位数字都不是0，且
各位数字之和是6，这样的三位数共有多少个？
• 分析：从首位开始，依照从小到大的顺序依次来 枚举出每一位。 首位不能为0，最小为1，最大为4。想一想为什么 不能是5，不能是6？
3
首位为1，有以下4种情况： 114，123,132,141.
首位为2，有以下3种情况： 213,222,231
6
汤姆有1颗，即首位为1，有以下6种情况 116,125,134,143, 152,161. 汤姆有2颗，即首位为2，有以下5种情况 215,224,233,242,251. 汤姆有3颗，即首位为3，有以下4种情况 314,323,332,341. 汤姆有4颗，即首位为4，有以下3种情况 413,422,431
• 分析：在3堆蚂蚁中，每堆至少有2只，一共有12只，因此 每堆蚂蚁至少有2只，至多有8只。同样为了方便解题，我 们先假设是有次序的，然后再去掉重复的。
第一堆有2堆，则有以下4种情况 （2,2,8）（2,3,7）（2,4,6）（2,5,5）（2,6,4）（2,7,3）
（2,8,2）
13
当第一堆有3只，则有以下2种情况 （3,2,7）（3,3,6）（3,4,5）（3,5,4）（3,6,3）（3,7,2） 当第一堆有4只，则有以下1种情况 （4,2,6）（4,3,5）（4,4,4）（4,5,3）（4,6,2） 当第一堆有5只，则有0种情况 （5,2,5）（5,3,4）（5,4,3）（5,5,2） 当第一堆有6只，则有0种情况 （6,2,4）（6,3,3）（6,4,2） 当第一堆有7只，则有0种情况 （7,2,4）（7,3,2） 当第一堆有8只，则有0种情况 （8,2,2） 则一共有4+2+1=7（种）情况
• 分析：先确定是否有次序，题目中告诉了 我们三个人的名字，说明是有次序的；再 确定范围，每人至少一个，所以最小是1， 最大是4.
• 为了思路顺畅，方便解题，我们可以先假设是有 次序的，然后再去掉重复的
• 当第一位为1时，有以下4种情况 （1,2,6）（1,3,5）（1,4,4）（1,5,3）（1,6,2）
（1,7,1）
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2020/1/15
11
当第一位为2时，则有以下2种情况 （2,1,6）（2,2,5）（2,3,4）（2,4,3）（2,5,2） （2,6,1）（2,7，x ） 当第一位为3时，则有以下1种情况 （3,1,5）（3,2,4）（3,3,3）（3,4,2）（3（3,6， x）
首位为3，有以下2中情况： 312,321
首位为4，有以下1种情况： 411
则共有：4+3+2+1=10（种）情况
4
字典排列法：
从首位开始，按从小到大的顺序枚举第一位， 对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位， 依次类推，这种方法称为字典排列法。
顾名思义，就是类似于字典中各个词条的排列 方法。
在很多枚举问题中，我们都可以用字典排列法 枚举，大家在熟练应用之后，会觉得这样枚举起 来，非常方便。
枚举法
一、“枚举法”概念：在研究问题时，把所 有可能发生的情况一一列举加以研究的方 法叫做枚举法(也叫穷举法)。
二、“枚举法”特点：有条理、不重复、不 遗漏，使人一目了然。
1
枚举法二
• 一、本节课重点：研究将一些东西分给三 个人。
• 二、方法：先固定第一个人分到的东西的 数量，然后再把剩下的东西分给两个人。 在分好类的情况下，将每一类的情况有多 少种方法枚举出来，最后将所有情况相加， 就能得到整道题的答案。
9
• 例题3：老师让小明写出3个非零自然数，且3个 数的和是9，如果数相同，顺序不同算同一种写法， 例如1+2+6,2+1+6,6+1+2都算是同一种写法，那 么小明一共有多少种不同的写法？
• 分析： 1+2+6,2+1+6,6+1+2这三种都算是同一种 写法，我们将它们记作（1,2,6）。非零的自然数， 说明最小为1，最大为7。
15
当首位为3时，有以下3种情况 313,322,331 当首位为4时，有以下2种情况 411,421 当首位为5时，有以下1种情况 511 5+4+3+2+1=15（个） 答：这样的三位数共有15个
16
• 2、费叔叔买来6个苹果，分给小悦、东东、 阿奇三个人，每人至少一个，那么一共至 少有多少种分法。
14
练习题
• 1、有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数 字之和为7，这样的3位数有多少个？
• 分析：先看有无次序之分，因为是一个三位数， 有个位、十位、百位之分，所以是有次序的，再 确定范围，各位数字都不为0，各位数字之后为7， 所以最小为1，最大为5，则应用字典排列法解题 如下。
• 解：当首位为1时，有以下5种情况 115,124,133,142,151 当首位为2时，有以下4种情况 214,223,232,241
5
• 例题2：汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，所以他们 一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀 牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？
• 分析：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0， 每人至少有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀 牙数是6，想想为什么不是7.
题中有三个人的名字，所以三个人是有次序的， 我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁 比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。
7
汤姆有5颗，即首位为5，则有以下2种情况 512,521 汤姆有6颗，即首位为6，则有以下1种情况 611 则一共有1+2+3+4+5+6=21种情况。
8
• 有次序之分：上面两道例题都强调了不同 位置地数代表不同的顺序含义，即有次序 之分。
• 无次序之分：有些情况下，我们并不强调 不同位置上的数代表不同的顺序含义，即 无次序之分。 请看下面两道例题
当第一位为4时，则有0种情况 （4,1,4）（4,2,3）（4,3,2）（4,4,1）（4,5，x）
当第一位为5时，则有0种情况 （5,1,3）（5,2,2）（5,3,1）（5,4，x） ……
以此类推下去，发现都是重复的，所以一共有 4+2+1=7（种）情况
12
• 例题4：生物老师让大家观察蚂蚁的习性，第二天小悦就 在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成 了3堆，每堆至少有2只，请问：这3堆蚂蚁的只数有多少 种可能？
例题
• 例题1：有一个三位数的各位数字都不是0，且
各位数字之和是6，这样的三位数共有多少个？
• 分析：从首位开始，依照从小到大的顺序依次来 枚举出每一位。 首位不能为0，最小为1，最大为4。想一想为什么 不能是5，不能是6？
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首位为1，有以下4种情况： 114，123,132,141.
首位为2，有以下3种情况： 213,222,231
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汤姆有1颗，即首位为1，有以下6种情况 116,125,134,143, 152,161. 汤姆有2颗，即首位为2，有以下5种情况 215,224,233,242,251. 汤姆有3颗，即首位为3，有以下4种情况 314,323,332,341. 汤姆有4颗，即首位为4，有以下3种情况 413,422,431
• 分析：在3堆蚂蚁中，每堆至少有2只，一共有12只，因此 每堆蚂蚁至少有2只，至多有8只。同样为了方便解题，我 们先假设是有次序的，然后再去掉重复的。
第一堆有2堆，则有以下4种情况 （2,2,8）（2,3,7）（2,4,6）（2,5,5）（2,6,4）（2,7,3）
（2,8,2）
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当第一堆有3只，则有以下2种情况 （3,2,7）（3,3,6）（3,4,5）（3,5,4）（3,6,3）（3,7,2） 当第一堆有4只，则有以下1种情况 （4,2,6）（4,3,5）（4,4,4）（4,5,3）（4,6,2） 当第一堆有5只，则有0种情况 （5,2,5）（5,3,4）（5,4,3）（5,5,2） 当第一堆有6只，则有0种情况 （6,2,4）（6,3,3）（6,4,2） 当第一堆有7只，则有0种情况 （7,2,4）（7,3,2） 当第一堆有8只，则有0种情况 （8,2,2） 则一共有4+2+1=7（种）情况
• 分析：先确定是否有次序，题目中告诉了 我们三个人的名字，说明是有次序的；再 确定范围，每人至少一个，所以最小是1， 最大是4.
• 为了思路顺畅，方便解题，我们可以先假设是有 次序的，然后再去掉重复的
• 当第一位为1时，有以下4种情况 （1,2,6）（1,3,5）（1,4,4）（1,5,3）（1,6,2）
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当第一位为2时，则有以下2种情况 （2,1,6）（2,2,5）（2,3,4）（2,4,3）（2,5,2） （2,6,1）（2,7，x ） 当第一位为3时，则有以下1种情况 （3,1,5）（3,2,4）（3,3,3）（3,4,2）（3（3,6， x）
首位为3，有以下2中情况： 312,321
首位为4，有以下1种情况： 411
则共有：4+3+2+1=10（种）情况
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字典排列法：
从首位开始，按从小到大的顺序枚举第一位， 对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位， 依次类推，这种方法称为字典排列法。
顾名思义，就是类似于字典中各个词条的排列 方法。
在很多枚举问题中，我们都可以用字典排列法 枚举，大家在熟练应用之后，会觉得这样枚举起 来，非常方便。
枚举法
一、“枚举法”概念：在研究问题时，把所 有可能发生的情况一一列举加以研究的方 法叫做枚举法(也叫穷举法)。
二、“枚举法”特点：有条理、不重复、不 遗漏，使人一目了然。
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枚举法二
• 一、本节课重点：研究将一些东西分给三 个人。
• 二、方法：先固定第一个人分到的东西的 数量，然后再把剩下的东西分给两个人。 在分好类的情况下，将每一类的情况有多 少种方法枚举出来，最后将所有情况相加， 就能得到整道题的答案。
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• 例题3：老师让小明写出3个非零自然数，且3个 数的和是9，如果数相同，顺序不同算同一种写法， 例如1+2+6,2+1+6,6+1+2都算是同一种写法，那 么小明一共有多少种不同的写法？
• 分析： 1+2+6,2+1+6,6+1+2这三种都算是同一种 写法，我们将它们记作（1,2,6）。非零的自然数， 说明最小为1，最大为7。
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当首位为3时，有以下3种情况 313,322,331 当首位为4时，有以下2种情况 411,421 当首位为5时，有以下1种情况 511 5+4+3+2+1=15（个） 答：这样的三位数共有15个
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• 2、费叔叔买来6个苹果，分给小悦、东东、 阿奇三个人，每人至少一个，那么一共至 少有多少种分法。
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练习题
• 1、有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数 字之和为7，这样的3位数有多少个？
• 分析：先看有无次序之分，因为是一个三位数， 有个位、十位、百位之分，所以是有次序的，再 确定范围，各位数字都不为0，各位数字之后为7， 所以最小为1，最大为5，则应用字典排列法解题 如下。
• 解：当首位为1时，有以下5种情况 115,124,133,142,151 当首位为2时，有以下4种情况 214,223,232,241
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• 例题2：汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，所以他们 一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀 牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？
• 分析：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0， 每人至少有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀 牙数是6，想想为什么不是7.
题中有三个人的名字，所以三个人是有次序的， 我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁 比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。
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汤姆有5颗，即首位为5，则有以下2种情况 512,521 汤姆有6颗，即首位为6，则有以下1种情况 611 则一共有1+2+3+4+5+6=21种情况。
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• 有次序之分：上面两道例题都强调了不同 位置地数代表不同的顺序含义，即有次序 之分。
• 无次序之分：有些情况下，我们并不强调 不同位置上的数代表不同的顺序含义，即 无次序之分。 请看下面两道例题
当第一位为4时，则有0种情况 （4,1,4）（4,2,3）（4,3,2）（4,4,1）（4,5，x）
当第一位为5时，则有0种情况 （5,1,3）（5,2,2）（5,3,1）（5,4，x） ……
以此类推下去，发现都是重复的，所以一共有 4+2+1=7（种）情况
12
• 例题4：生物老师让大家观察蚂蚁的习性，第二天小悦就 在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成 了3堆，每堆至少有2只，请问：这3堆蚂蚁的只数有多少 种可能？