哈尔滨工程大学硕士研究生随机过程测试第1页

哈尔滨工程大学

2013级硕士研究生随机过程第一次测试

1、已知随机过程)(t X ，x 是任一实数，定义另一个随机过程

⎩⎨

⎧>≤=x

t X x

t X t Y )(,0)(,1)( 试求：)(t Y 的均值和自相关函数。

解：均值为：[]()1{()1}0{()0}E Y t P Y t P Y t =⨯=+⨯=

{()}P X t x =≤

(;)X F x t =

相关函数为：[]1212(,)()()Y R t t E Y t Y t =

1221{()1,()1}0{()0,()0}P Y t Y t P Y t Y t =⨯==+⨯== 1122{(),()}P X t x X t x =≤≤

1212(,;,)

X F x x t t =

2、随机过程00()cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，A 、B 均为高斯变

量，并且[][]0E A E B ==，222[][]E A E B σ==。

（1） 若A 、B 相互独立，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。 （2） 若A 、B 相互独立，求(0)X 和(1)X 的一维概率密度。 （3） 若A 、B 正交，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。 解：（1）]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=

t B E t A E ωωsin ][cos ][+=

0= （0][][==B E A E ）

)]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==

]

sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=

21212

2

1212

[]cos cos [][]cos sin [][]sin cos []sin sin E A t t E A E B t t E A E B t t E B t t ωωωωωωωω=+++

212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=）

)(cos 122t t -=ωσ

)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）

2

2[()](0)X X D X t R m σ=-=

可见()X t 是宽平稳随机过程。 在任意时刻对()X t 采样得到高斯变量A 、B 的线性组合，可见()X t 为一高斯随机过程. 所以它也是严平稳的。

（2

）一维概率密度：22(,0)(,1)2X X x f x f x σ⎧⎫==

-⎨⎬⎩⎭ （3）A 、B 为高斯随机变量，所以不相关与统计独立等价，又因为这两个变量均值为零，所以不相关与正交等价。因此在A 、B 正交的情况与A 、B 统计独立情况等价，()X t 为宽平稳过程，也为严平稳过程

3、)(t X 和)(t Y 联合平稳过程定义了一个随机过程t t Y t t X t V 00sin )(cos )()(ωω+= （1）)(t X 和)(t Y 数学期望和相关函数满足那些条件可使)(t V 是平稳过程。 （2）在（1）结果的基础上用)(t X 和)(t Y 的功率谱密度和互谱密度表示的)(t V 的

功率谱密度。

（3）如果)(t X 和)(t Y 不相关，那么)(t V 的功率谱密度是什么？

解：（1）00[()][()cos ()sin ]E V t E X t t Y t t ωω=+00[()]cos [()]sin E X t t E Y t t ωω=+

欲使)]([t V E 与时间无关，不随时间函数t 0cos ω、0sin ωt 变化，

)(t X 和)(t Y 的数学期望必须是0)]([,0)]([==t Y E t X E ；

)

(sin sin )()(cos sin )()

(sin cos )()(cos cos )()(sin sin )]()([)(cos sin )]()([)(sin cos )]()([)(cos cos )]()([)}](sin )()(cos )(}{sin )(cos )([{)]

()([),(00000000000000000000τωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωττωτωωττ+++++++=+++++++++++=++++++=+=+t t R t t R t t R t t R t t t Y t Y E t t t X t Y E t t t Y t X E t t t X t X E t t Y t t X t t Y t t X E t V t V E t t R Y YX XY X V

在)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，上式与时间起点无关： τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=

因此，当0)]([,0)]([==t Y E t X E ，)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，

)(t V 是平稳过程。

（2）对τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=两边同时作傅氏变换：

000000()()[()cos ()sin ]11

[()()][()()]22j j V V X XY X X XY XY S R e

d R R

e d S S S S j

ωτ

ωτωτττωττωττ

ωωωωωωωω∞

∞

---∞

-∞

=

=+=-+++--+⎰

⎰

（3）)(t X 和)(t Y 不相关，)(t V 的互功率谱密度为零。

)]()([2

1

)(00ωωωωω++-=X X V S S S

4、0()cos()()X t A t N t ω=+Φ+，0ω、A 为常数，Φ在(0,2)π上均匀分布，

0()2N S N ω=，Φ、()N t 统计独立，()X t 通过传输函数为1

()1H j RC

ωω=

+的积

分电路，试求输出信号()t Y 的均值、自相关函数和功率谱密度函数. 解：计算()X t 的均值与自相关函数，

[][]0()cos()()0E X t E A t N t ω=+Φ+=

{}{}{}000(,)cos()()cos()()X R t t E A t N t A t N t τωωωττ+=+Φ+++Φ++

=()()2

00cos 22

N A ωτδτ+ []2

000()()()2

2

X N A S πωδωωδωω=-+++

可见)(t X 是广义平稳的,因此

[]()(0)0X E Y t m H == 2

()()()

Y X S S H j ωωω=

[][]2000

22

00022222201()()221()()()2(1)2(1)

N A RC N A

R C R C πδωωδωωωπδωωδωωωω⎧⎫=-+++⨯⎨⎬+⎩⎭=-+++++

1

()()2j Y Y R S e d ωττωωπ

∞

-∞

=

⎰

=2

002220cos 2(1)4RC

N A e R C RC

τ

ωτω-++

哈尔滨工程大学

2013级硕士研究生随机过程第二次测试

1、设窄带平稳随机过程00()=()cos -()sin X t a t t b t t ωω的功率谱密度()X S ω满足：