高中数学：25 倍角公式
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课时分层作业(二十五) 倍角公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C ．12
D ．1
B [f (x )＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12.]
2．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )
A ．7
24 B ．－724 C ．247
D ．－247 D [cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2
，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－3
4，
所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342
＝－
24
7，故选D.] 3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4等于( )
A.1
6 B.1
3 C.12
D.23
A [cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π42
＝1＋cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α
2
＝
1－23
2＝1
6
，选A.] 4．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )
A.76
B.32
C.16
D.－16
A [原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2α
sin 2α＋2cos 2α
＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2
＝76.]
5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3＋2α的值为( )
A ．－1
3 B ．－79 C ．13
D ．79
B [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2α
＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－α－1＝－79.]
二、填空题
6．2sin 222.5°－1＝________. －22 [原式＝－cos 45°＝－22.] 7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 1
16 [原式＝sin 6°
cos 48°cos 24°cos 12°
＝
sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°
cos 6°
＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.]
8．函数y ＝1
2sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－22＋12，22＋12 [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2
＝12sin 2x －12cos 2x ＋1
2 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12
， 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－22＋12，22＋12.]
三、解答题
9．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α的值．
[解] ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝1
2. 又∵α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，
∴sin α＝12，α＝π
6. ∴cos α＝3
2.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝3
2.
10．已知角α在第一象限且cos α＝3
5，求1＋2cos ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2α－π4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π2的值．
[解] ∵cos α＝3
5且α在第一象限， ∴sin α＝4
5.
∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－7
25， sin 2α＝2sin αcos α＝24
25，
原式＝1＋2⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α
＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α
＝145.
[等级过关练]
1．已知等腰三角形底角的余弦值为2
3，则顶角的正弦值是( ) A ．459 B ．259 C ．－459
D ．－259
A [令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝2
3，0<α<π， ∴sin α＝5
3.
∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459.]
2．已知f (x )＝2tan x －
2sin 2x 2－1
sin x 2cos x 2
，则f
⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12的值为( ) A ．4 3 B ．
83
3
C ．4
D ．8
D [∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos x
sin x ＝2sin 2x ＋2cos 2x sin x cos x ＝4
sin 2x ，