哈工大自动控制原理第四章习题答案
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1 + G( j) H ( j) = 0
− 3 + 1.76k = 0 −(0.01 + k ) + 0.166k = 0
2
解得
1 = 0及2、 3 = 0.385
k = 0.084
。
可得根轨迹与虚轴的交点坐标为(0,j0) 、 (0,j0.385) 、 (0,-j0.385)
Root Locus 2
2������ 3 + 11������ 2 + 20������ + 10 = 0 其中(-0.8026,0)为汇合点。 令 s = j, 系统的特征方程
������1 = −0.8026 ������2,3 = −2.3487 ± 0.8447������
Imaginary Axis
9 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 0.95 -4
-6
0.84
0.7 -8 -9 -8 -7 -6
0.56 -5 Real Axis -4
0.42 -3
0.3 -2
0.2 -1
0.09 0
a=9 (3)当(������ − 1)(������ − 9) > 0,即������ < 1 或������ > 9, s2,3 为实极点。 当0 < ������ < 1时,判断 s2,3是否位于(-1,-a)的负实轴上。即是否满足下式: −(3 + ������) ± √(������ − 9)(������ − 1) < −������ 4 ⟺ −4 < −(3 + ������) ± √(������ − 9)(������ − 1) < −4������ ⟺ ������ − 1 < ±√(9 − ������)(1 − ������) < 3 − 3������ = 3(1 − ������) ⟺ −√1 − ������ < ±√9 − ������ < 3√1 − ������ 因为上面的不等式不成立, s2,3 都不在(-1,-a)的负实轴上, 所以当0 < ������ < 1时, 根轨迹与负 实轴无交点 例:取 a=0.4 时的根轨迹如下: −1 < s2,3 =
������ = 0.688
同理, 汇合分离点-6.828 对应 K 为 ������(−0.25 × 6.828 + 1) 1+ =0 −6.828(−6.828 × 0.5 + 1)
������ = 23.313
若希望系统无超调,则系统闭环两个极点为一阶实极点位于实轴上。所以 K 的取值范围 是0 < K ≤ 0.688和K ≥ 23.313。 4.3 系统开环传递函数为 G(s)H(s) = ������(������ + 0.1)(0.6������ + 1) ������ 2 (������ + 0.01)
令 s = j, 得
-1
0.975
−2 2 + k = 0 − 3 + 2 = 0
0.91 -2
0.82 -3 -4 -3.5 -3
0.7 -2.5
0.56 -2 -1.5
0.42 -1
0.28
0.14 -0.5 0 0.5 1
解得 = 0及 = 2 。 从开环极点−1 ± j延两条渐近线发出两条根轨迹。 4.2 系统开环传递函数为 ������(0.25������ + 1) G(s) = ������(0.5������ + 1) 开环极点 0,-2;开环零点-4。实轴 上[0,-2]和[-∞,-4]属于根轨迹。 根轨迹的汇合分离点满足: 0.25s(0.5s + 1) − (0.25s + 1)(s + 1) = 0 求 得 汇 合 分 离 点 为 −4 ± 2√2 = −6.828, − 1.172 都在根轨迹上。 所以两条根轨迹从两个开环极点 0, -2 出发, 在实轴上汇合到-1.172 处, 然后分离,画圆再汇合到-6.828 处, 再然后一条指向实轴负无穷处,一 条指向开环零点-4。 求汇合分离点-1.172 对应的 K, K 应满足
Root Locus 10 0.64 8 6 4 0.8 0.5 0.38 0.28 0.17 0.08
10 8 6 4
0.94 2
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Imaginary Axis
2 0 -2 -4 -6 -8 0.8 0.94
2 4 6 8 0.64 0.5 -7 -6 -5 Real Axis 0.38 -4 0.28 -3 0.17 -2 0.08 -1 10 0 -9 -8
0.7 -0.4
0.52 -0.2
0.3 0 0.2
Real Axis
a=1 当 a=9 时汇合分离点在-3 处,在-9 到-1 的负实轴上,根轨迹与负实轴只有一个交点。 这种情况下根轨迹如下:
Root Locus 8 0.7 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
6
0.84
4 0.95 2
o o 角: p1 = −45 , p 2 = 45
Root Locus 3 0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
2 0.91
Imaginary Axis
求根轨迹与虚轴的相交点: 系 统 的 特 征 方
1
0.975
程
4 0
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
s 3 + 2s 2 + 2s + k = 0 ,
第四章习题答案
4.1 系统开环传递函数为 G(s) = 0.5������ ������(0.5������ 2 + ������ + 1)
具有三个开环极点 0,−1 ± j,有三条根轨迹。从原点到负无穷的负实轴为一条根轨迹。 渐近线: ������ 5������ −2 ,������, ������ = 3 3 3 根轨迹在复数开环极点处的出射 ∅=
Root Locus 4
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2 Real Axis
0
0.2
0.4
0.6
a=-0.2 当a > 0时,在负实轴上从-a 到-1 为根轨迹,根轨迹与负实轴有无交点,取决于根轨迹 汇合分离点在-a 到-1 的负实轴上有几个。 根轨迹汇合分离点满足 [G(s)H(s)]′ = 0,即 ������ 2 (������ + ������) − (������ + 1)(3������ 2 + 2������������) = 0 s=0 2������ 2 + (3 + ������)������ + 2������ = 0 求得 s1 = 0 s2,3 = −(3 + ������) ± √(3 + ������)2 − 16������ −(3 + ������) ± √(������ − 9)(������ − 1) = 4 4
������1 = 0不算负实轴上的点。对于 s2,3 (1)当(������ − 1)(������ − 9) < 0时,即1 < ������ < 9时, s2,3 为共轭极点,不是根轨迹汇合分离 点,所以根轨迹与实轴无交点。例当 a=8 时的根轨迹如下:
Root Locus 8 0.64 0.5 0.38 0.28 0.17 0.08
Root Locus 0.4 0.95 0.9 0.82 0.7 0.52 0.3
0.3 0.978 0.2
0.994 0.1
Imaginary Axis
1.2 0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.1 0.994
-0.2 0.978 -0.3
-0.4 -1.2
0.95 -1
0.9 -0.8 -0.6
0.82
Imaginary Axis
Real Axis
Root Locus 3
2
1
0
-1
-2
-3 -8
-7
-6
-5
-4 Real Axis
-3
-2
-1
0
1 + G(s)|������=−1.172 = 0
1+
������(−0.25 × 1.172 + 1) =0 −1.172(−1.172 × 0.5 + 1)
-10 -10
可以算出两个汇合分离点为-4,-2.5,对应 K 为 32,31.25。也即当31.25 ≤ k ≤ 32时, 闭环系统具有三个实极点。例取 k=31.5,可求出闭环极点为-4.8229,-3.0000,-2.1771。
最终,此题结果为当 a=9 时,根轨迹与负实轴只有一个交点;当 a>9 时,根 轨迹与负实轴有两个交点,其他时候无交点。
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5 Real Axis
-1
-0.5
0
0.5
1
4.4 给定系统的根轨迹方程式为: ������(������ + 1) = −1 ������ 2 (������ + ������) 有开环极点 0,0,−������;开环零点-1。 当a ≤ 0时,根轨迹与负实轴无交点。 例 a=-0.2
有三个开环极点 0,0,-0.01;两个开环零点-0.1,-5/3。 负实轴上从开环极点-0.01 到开环零点-0.1 为一条根轨迹。 根轨迹的汇合分离点满足: (1.2������ + 1.06)(������ 3 + 0.01������ 2 ) − (0.6������ 2 + 1.06s + 0.1)(3������ 2 + 0.02s) = 0 s=0, -3.38,-0.1461,-0.006749 其中 0 和-3.38 是可能的汇合分离点。 从重极点 0,0 分出两条跟轨迹,画圆到-3.38 汇合再分离,一条延负实轴指向无穷远, 一条指向开环零点-5/3。 令 s = j, 系统的特征方程
4.5 开环系统 ������(������ + 2) (������ + 3)(������ 2 + 2������ + 2) 由于本系统为正反馈系统,所以需要按照 0 度根轨迹绘制方法来给定其根轨迹。 G(s)H(s) = 系统有三个开环极点: p1 = −3, p2、 3 = −1 j; 一个开环零点为: z1 = −2 系统有两条渐近线,渐近线与实轴正向的夹角为:������ =
8 7 6 5 4 3
6
0.8
4 0.94 2
2 1
Imaginary Axis
0
1 -2 0.94 3 -4 4 5 -6 0.8 6 7 0.64 -8 -8 -7 -6 -5 0.5 -4 Real Axis 0.38 -3 0.28 -2 0.17 -1 0.08 8 0 2
(2)当������ = 1, ������ = 9时, s2,3为重极点。 当 a=1 时,系统开环传函 ������(������ + 1) ������ = = −1 ������ 2 (������ + 1) ������ 2 根轨迹与零点相交,可以认为根轨迹与负实轴无交点。如果不进行零极相消,偶极子开环极 点(-1,0)到开环零点(-1,0)也不是根轨迹与负实轴的交点
Root Locus 2.5 2 1.5 1
Imaginary Axis
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
a=0.4
当������ > 9时,判断 s2,3 是否位于(-a,-1)的负实轴上。即是否满足下式: −(3 + ������) ± √(������ − 9)(������ − 1) < −1 4 ⟺ −4������ < −(3 + ������) ± √(������ − 9)(������ − 1) < −4 ⟺ 3(1 − ������) < ±√(������ − 9)(������ − 1) < ������ − 1 ⟺ −3√������ − 1 < ±√������ − 9 < √������ − 1 因为上面的不等式总是成立的,因此当������ > 9时, s2,3 都在(-a,-1)的负实轴上,此时根轨 迹与负实轴有两个交点。例:a=10 时的根轨迹如下: −������ < s2,3 =
2������������ ������−������
,得������1 = ������, 0。
o o 根轨迹在复数开环极点处的出射角: p1 = −71.6 , p 2 = 71.6
求根轨迹分离汇合点: (������ + 3)(������ 2 + 2������ + 2) − (������ + 2)[(������ + 3)(������ 2 + 2������ + 2)]′ = 0