材料力学1第五版 第二章习题答案

⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用 区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的 应力情况复杂，上述公式不再正确。
FN A
圣维南原理
作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个 与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应 力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离 开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。
n n B
F
A (f)
例2-1 试作图示杆的轴力图。
40kN 55kN 25kN 20kN 400
A
600
B
300
C
500
D
E
1800
解： 求支反力
FR
1
FR 10kN
2 2
F1=40kN
F2=55kN F3=25kN
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
FR
1
F1=40kN
2 2
F2=55kN F3=25kN
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 1、工程实例
2、拉伸与压缩的特点
F F F
F
受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与 其轴线重合的外力F作用。 变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压 杆。
§2-2 内力· 截面法· 轴力及轴力图
Ⅰ、内力
内力——由于物体受外力作用而引起的其内部 各质点间相互作用的力的改变量。
当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极 限”）时
引进比例常数E
Fl l A FNl Fl l EA EA
d1
F
d
F l l1
FNl l EA
单位为 Pa；
拉（压）杆的胡克定律
-1 -2
根据对称性可得，径截面上内力处处相等
FR FN 2
y FR
FN
d ( pb d )sin pbd 0 d 2 FN pbd FN 2 1 pbd pd FN ( ) b 2 2 A
p
d
d d F p(b d ) 2 π FR d Fsin
Ⅱ、拉（压）杆横截面上的应力 F F FN
m m m m m
F
FN


F
m
已知静力学条件
FN d A F
A
无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律
F F FN F
m m
m m
F FN
但荷载不仅在杆 内引起应力，还 要引起杆件的变 形。


F
c
m m
a' b'
a
b
d
c' d'
F
可以从观察杆件 的表面变形出发， 来分析内力的分 布规律。
(a)
(b)
d FN dA d FS dA
FN d A
A
FS d A
A
M
F
M
A
(a)
(b)
应力量纲
应力单位
ML1T 2
Pa MPa
GPa
1Pa 1N/m2 6 1MPa 10 Pa 2 1MPa 1N/mm 1GPa 109 Pa
F
F
FN图
F
FN图
注意：
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体 前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或 用静力等效的相当力系替代。
(a)
F F
F F
(b)
n
m m
F
A C
n n B
F
m m
C
n B
A
(a)
m m
(d)
m m
FN=F
(b)
F
A
FN=0
(e)
A
FN=F
n n
F
B (c) A
FN=F
2l
l F
F
思考： 此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
Ⅰ、应力的概念
轴力
拉压杆的强度
横截面尺寸 材料的强度
即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律 直接相关的。 杆件截面上的分布内力的集度，称为应力。
M点平均应力
F pm A
M F A
p M
(a)
(b)
总应力
p lim
绝对变形 相对变形
l l1 - l l l
长度量纲
线应变--每单位长度 的变形，无量纲
当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变 形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵 向线应变。 y x截面处沿x方向的纵向平均 线应变为 C
O z A x xx A B' x B
F
a a' b' b
c c' d' d
F
F F FN 即
m
m
m
F FN

m
m m

F
FN d A A
A
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
FN A
适用条件： ⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横 截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截 面假设不成立的某些特定截面, 原则上不宜用上 式计算横截面上的正应力。
圣维南原理
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距 离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
F F
F 2
影响区
F 2
影响区
F
F
F 2
F 2
}
例2-2 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上 的最大工作应力。已知 F =50 kN。
F 50kN 3000
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
A
F B 4000 F
A0
F d F A d A
总应力 p
正应力 : 法向分量, 引起长度改变
切应力 :切向分量，引起角度改变

M F A
(a)
M
(b)
正应力：拉为正，压为负
切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为 正，反之为负
内力与应力间的关系
dF p dA
M
F FS FN M A
F A F
k
A
k
F
k k
p F
F F F cos p A / cos A A
0 cos
0 为拉(压)杆横截面上( 0 )的正应力。
总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：
p

p cos 0 cos 2
p sin 0 cos sin
FNAB
300
C
B
AB
FNAB 28.3MPa AAB
a
FNBC
F
BC
FNBC 4.8MPa ABC
Ⅲ、拉（压）杆斜截面上的应力
F
k k
F
F
k
F
k
由静力平衡得斜截面上的 内力： F F

F
k k
p F
p ?
F
F
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压） 变形后仍相互平行。 推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长 变形相同。 即斜截面上各点处总应力相等。
m m x
F
FN
x m m
(d)
F
(a)
F F
FN
m
m
m
F
(b)
FN
x m m
FN F
F
m
(c)
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与 杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
FN1 50kN
FN1 1 A1
150kN
C
370
240
5010 N (240mm) (240mm) 0.87MPa（压）
3
F
A F B 4000 F 3000 50kN
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN2 150kN
FN2 2 A2 150 103 N (370mm)(370mm) （压应力） 1.1MP a
讨论： （ 1） 0
90 （2） 45 45
0
max 0 （横截面） 0 （纵截面） max 0 / 2 min 0 / 2
0 0
（横截面） （纵截面）
90
x x
x x截面处沿x方向的纵向线应 变为
x d x x lim x0 x dx
线应变以伸长时为正，缩短时为负。
2、横向变形 d1 F
d
F
l l1
横向绝对变形 横向线应变
d d1 - d
d d
3、荷载与变形量的关系——胡克定律 d1
F
d
F
l l1
FN,max FN2 50kN

补充 例题1
l
F
F
q=F/l
F 2l l 3 F
解： 1、求支反力
1 FR 1 F F F 2 F'=2ql F 3 F 2 q
FR
FR = F
1
FR = F
F
F
FN1 = F
2
2
q
3
F 3
x
1
FR = F
FN 3 = F
F
F
FR = F
q
FN2
F F
FR = F
F F
F
F
根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部 相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力 系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或 力偶）
Ⅱ、截面法· 轴力及轴力图 求内力的一般方法——截面法 步骤： （1）截： （2）取： （3）代： （4）平：
(a) (b) (c)
F F F FN
m
m m m
最大工作应力为
C 150kN 240
370
max 2 1.1MPa
例2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上 d 200mm, δ 5mm, p 2MPa。 的拉应力。已知：
b
p
解： d 均匀分布
可认为径向截面上的拉应力沿壁厚
A b
y
p
FN
p
FR d FN
(a)
F F
m m
m m
F
(b)
FN
x m m
FN F
F
(c)
FN
(a)
F
m
m
F
(b)
F
FN
m
FN
x m m
m
FN F
F
(c)
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位臵，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值， 所绘出的图线可以表明轴力与截面位臵的关系， 称为轴力图。
F F F
此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
FN3
3 3
FN3 5kN(压）
同理
F3
D E
4
4
F4
FN4 20kN(拉）
FN4
F4 E
FR
1
F1=40kN
2 2
F2=55kN F3=25kN
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
50 20
10 5
FN图(kN)
由轴力图可看出
50
F y 350 n n
F
G Ay
FNy
F Ay FNy 0
FNy F Ay 50 2.46y
58.6
kN
10KN
10KN
A=10mm2
100KN
100KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?
§2-3 应力· 拉（压）杆内的应力
F F F

q=F/l F
l
FN
0 π
(2MPa)(200mm ) 40MPa 2(5mm)

补充例题1
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm， BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm， P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的 正应力。
FNAB sin 300 F
A
d
FNAB cos 300 FNBC
结论：
1、轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。 2、轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线 成450截面上。
F
45
0
45
0
45
45
0Байду номын сангаас
切应力互等定理
0
3、在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。
§2-4 拉（压）杆的变形· 胡克定律
1、拉(压)杆的纵向变形 d1 F
d
F l l1
0
2
sin 2

p
0 cos 2 0 sin 2 2
通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况， 成为该点处的应力状态。
对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上 一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为 单向应力状态。

p
0 cos 2 0 sin 2 2
x1
F Fx1 l
F
FN 2
x
0
Fx1 0 l Fx1 F l
FN2 2 F - FR FN2
F
x1
F
F
q=F/l
F
l
FN
2l
l F

F

F
思考： 此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？

补充例题2
图示砖柱，高h=3.5m，横截面面 积A=370×370mm2，砖砌体的容重 γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力 F=50KN，试做此砖柱的轴力图。
观察现象：
等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍 为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 F
a a' b' b c c' d' d
F
平面假设
原为平面的横截面在杆变形后仍为平面， 对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形， 因而横截面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长(缩短)变形是均匀的。 亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
横截面1-1： 注意假设轴力为拉力
FR
1
FN1
FN1 10kN(拉）
A 1
横截面2-2：
FR A
F1 2 FN2
B 2
FN2 50kN(拉）
FR
1
F1=40kN
2 2
F2=55kN F3=25kN
3 4
4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
横截面3-3：