专题：平面向量常见题型与解题指导

平面向量常见题型与解题指导

一、考点回顾

1、本章框图

2、高考要求

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析

对本章内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.

3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议

由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

二、常见题型分类

题型一：向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.

例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .

思路分析：与a 平行的单位向量e =±

|

|a a

方法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1)，则题意可知

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55

1855121013342

29

y x 1y x 13)()(或　解得）＋（）－（y x y x ，故填 (512,-51)或(518,-59) 方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a ＝±(-53,5

4

)，从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),便可得结果.

点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.

例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？

思路分析：要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |,|y |,x ·y 的值.计算时要注意计算的准确性. 解：由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=2

1

. 要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |，|y |，x ·y 的值. ∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×2

1

+1=3， |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×

2

1

+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b =7a ·b －2a 2－3b 2 =7×

21－2－3=－2

3， 又∵x ·y =|x ||y |cosθ，即－

2

3

=3×7cosθ， ∴cosθ=－1421

点评：①本题利用模的性质|a |2=a 2，②在计算x ,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b .由余弦

定理易得|BD |=3，即|x |=3，同理可得|y |=7.

题型二：向量共线与垂直条件的考查

例1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足OC OA OB =α+β，其中α，β∈R 且α+β=1，求点C 的轨迹方程。.

解：（法一）设C (x ,y )，则OC =(x ,y )，由OC =(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)

∴⎩⎨

⎧+=-=β

αβ

α33y x , （可从中解出α、β）又∵α+β＝1 消去α、β得x +2y -5=0

（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0，

例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(2

1,

2

3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.

思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k 与t 之间的等量关系，k 与t 之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？

解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,2

2

3232--t ),

y ＝(

2

1

t －3k ，23t ＋k)，又x ⊥y

故x · y ＝23322--t ×（2

1

t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0.

整理得：t 3－3t －4k ＝0，即k ＝

41t 3－4

3

t. 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(

21, 2

3), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝

41t 3－4

3t (2) 由(1)知：k ＝f(t) ＝

41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－4

3

, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1；令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.

故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.

点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.