函数的有界性和最值

第一节：函数的有界性和最值
一、有界性
定义1：设A 为函数()f x 定义域的子集，若M ∃，使得x A ∀∈有()f x M ≤(或()f x M ≥)， 则称()f x 在A 上有上(或下)界.称M 为它的一个上(或下)界.
定义2：设A 为函数()f x 定义域的子集，若()M x ∃，使得x A ∀∈有()()f x M x ≤(或()()f x M x ≥)，则称()f x 在A 上有上(或下)界函数.称()M x 为它的一个上(或下)界函数.
二、最值
略
三、例题讲解
例1、求证函数11()sin f x x x =在1(0,)2
x ∈上无上界. 证明：对于任意的0M >，只需证明01(0,)2
x ∃∈使得()f x M >. 为此：取001,,()(2)sin(2)2,22222
x k N f x k k k k N k ππππππππ++=∈=++=+∈+ 要使得：2,2k M k N ππ++>∈，只需要1()22k M ππ>-，可取1[()]122
k M ππ=-+ 故函数11()sin f x x x =在1(0,)2x ∈上无上界.
例2、(北约2010)
1=的实根的个数.
3==
5==
所以：方程左边3521=-
+≥>，从而方程无实根.
例3、2(),,f x x px q p q R =++∈，若()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值为M ，则M 的最小值为 . 解：11max ()x M f x -≤≤=，(1)1,(1)1,(0)M f p q M f p q M f q ≥=++≥-=-+≥= 则4112(1)(1)22M p q p q q p q p q q ≥+++-++-≥+++-+-=
故12M ≥，10,2
p q ==-时取得等号.
例4、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层一人.而电梯只允许停一层，只可让一人满意，其余18人都要步行上楼或下楼.假定乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，所有人的不满意度和为S ，为使得S 最小，电梯应停在第 层.
解：设电梯应停在第x 层(220x ≤≤)，则
2[123(3)(2)]1[123(19)(20)]2
3857225()4212624
S x x x x x =++++-+-⨯+++++-+-⨯=-+-L L 则当14x =时，S 最小.
例5
、求函数()f x =的最小值.
解：定义域为(,0][2,)-∞+∞U
当0x ≤
时，y =
和y =
()f x 为减函数， 当2x ≥
时，y =
和y =()f x 为增函数， 从而，min ()min{(0),(2)}2f x f f ==.
例6、()2125834f x x x x x x =-+-+-+-+-，则()f x 的最小值为 . 解：当a b <时，x a x b -+-的最小值为b a -在数轴上,a b 两点之间取得.
134x x -+-，18x x -+-，25x x -+-分别在区间[1,34],[1,8],[2,5]中取最小值33,7,3，和为43.
例7、(2011北约)求1213120111x x x x -+-+-++-L 的最小值. 解：由绝对值的几何意义：x a x b -+-的最小值为b a -在数轴上,a b 两点之间取得. 所以将()f x 整理为
11111111122333201120112011x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-++-+-++-L L 共有1232011++++L =10062011⨯项，则()f x 可理解为x 到这10062011⨯个点的距
离之和.从两端开始向中间靠拢，
112011x x -+-的最小值在1[,1]2011
x ∈取得， 1122011x x -+-的最小值在11[,]20112
x ∈取得， ………
所以()f x 的最小值应在正中间某个零点或相邻的两个零点之间取得 由
1006201150320112
⨯=⨯可得取得最小值的x 的围在第5032011⨯个零点和第 50320111⨯+个零点之间(易得这两个零点相同) 由(1)503201114212
n n n +<⨯⇒≤，所以第5032011⨯个零点和第50320111⨯+均为 11422x =，则min 1592043()()1422711f x f ==.
例8、对给定的正数,(0,1)p q ∈，22
1,1p q p q +>+≤，试求函数
()(1f x x =-[1,]q p -上的最大值.
解法一、为方便起见，令1,u v a x b x ===-=，则有 222222,,1u b p v a q a b +=+=+=，f au bv =+
所以
2222222222
22222222222222222
2()()()11(22)[2()]44
1[()2]4
f a u b v abuv u b v a ab uv p q ab uv p q ab u v u v p q u v p q a b ab =++=++--=--=-+---=----+++ 22222221[()()]4
p q u v a b p q =--++-- 2222222222222
1[()1](10)41[1]4
p q u v p q p q p q p q =--+----≥≤---Q 等号成立当且仅当0u v -=即2222(1)p x q x -=--，解得221(1)2x p q =
-+ 注意到1p q +>，,(0,1)p q ∈，易证明2211(1)2
q p q p -≤-+≤，
故当221(1)2
x p q =-+时，()f x 在区间[1,]q p -
解法二：
如图，线段AB 的长度为1，M 为线段AB 上的任一点，,1AM x BM x ==-，作直角梯形ABCD
使得AD BC ==
,MD p MC q ==(可使得,(0,1)p q ∈，显然在图中恒有1p q DC +>≥)
于是，1cos ,cos sin sin x q x p p q αββα-==== cos sin sin cos sin()sin f pq pq pq pq αβαβαβθ=+=+=
在MCD ∆中，由余弦定理及条件22
1p q +≤，得 222221cos 022p q CD p q pq pq
θ+-+-=≤≤
sin θ≤
所以f ≤=等号成立当且仅当1CD =⇔ABCD 为矩形⇔AD BC =
221(1)2
x p q ⇔=⇔=-+
作业：
1.设,x y 是实数，求2223u x xy y x y =++--+的最小值. 解法一：配方2213()(1)2224y u x y -=+
+-+≥ 解法二：配方22211[()(1)(2)]22
u x y x y =
++-+-+，再用不等式平方平均值大于等于算数平均值，即可
解法三：判别式法
解法四：换元x a b y a b
=+⎧⎨=-⎩消去交叉项，再配方
2.若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值为 .
.
3.21()()n
k f x x k ==∑-，则()f x 的最小值为 . 解：22221()(1)(2)()(1)(1)(21)6f x x x x n nx n n x n n n =-+-++-=-++
++L 所以当12n x +=时，函数的最小值为31()12
n n -. 4.(2009年湖北改编)函数2()2f x x bx c =-++，()(11)f x x -≤≤的最大值为M .若
M k ≥对任意的,b c 恒成立，试求k 得最大值. 解：max 12
k =. 5.设函数2()83(0)f x ax x a =++<，对于给定的负数a 有一个正数()l a ，使得在整个区间
[0,()]l a 上，不等式()5f x <都成立.问：a 为何值时()l a 最大？求出这个最大的()l a ，并证明你的结论.
解：8a =-时，max 1()2l a +=.。