信息学奥赛NOIP教程基于贪心的算法和应用

经典例题
※ 删数问题（NOI 1995） ※ 取数问题（IOI 1996） ※ 接水问题 ※ 最大整数 ※ 均分纸牌（NOIP 2002） ※ 三国游戏（NOIP 2010） ※ 火柴排队（NOIP 2013）
经典例题
【例1】删数问题（NOI 1994） 键盘输入一个高精度的正整数N，去掉
其中任意S个数字后剩下的数字按原左右次 序将组成一个新的正整数。编程对给定的N 和S，寻找一种方案使得剩下的数字组成的 新数最小。
经典例题
【分析】 本例因为涉及将两个自然数连接起来的问
题，采用字符串来处理比较方便。首先我们自 然会想到大的字符串应该排在前面，因为如果 A与B是两个由数字字符构成的字符串且A>B， 一般情况下有A+B>B+A，但是当A=B+C时，按字 符串的大小定义有A>B，但有可能会出现 A+B<B+A的情况，如A=121,B=12,则 A+B=12112,B+A=12121,A+B<B+A。
经典例题
for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if num[i]+num[j]<num[j]+num[i] then begin temp:=num[i]; num[i]:=num[j]; num[j]:=temp end;
for i:=1 to n do write(num[i]);
最优子结构：当一个问题的最优解包含其 子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构 性质。
贪心算法的特点
【引例3】部分背包问题 有一个背包，容量是M＝150，有7个物
品，物品可以分割成任意大小，要求尽可 能让装入背包中的物品总价值最大，但不 能超过总容量。
物品 A B C D E F G 体积 35 30 60 50 40 10 25 价值 10 40 30 50 35 40 30
贪心算法定义
贪心算法是从问题的某一个初始状态 出发，通过逐步构造最优解的方法向给定 的目标前进，并期望通过这种方法产生出 一个全局最优解的方法。
方向
小球表示当前状态, 红箭头表示当前最优决策； 蓝箭头表示其他决策。
贪心算法的特点
贪心标准选择：所谓贪心标准选择就是应 用当前“最好”的标准作为统一标准，将原问 题变为一个相似的但规模更小的子问题，而后 的每一步都是当前看似最佳的选择。
讨论二
双方选将过程如下所示：
武将相互之间的默契值： 双方选将过程如下所示：
讨论二
小涵想知道，如果计算机在一局游戏中始终 坚持上面这个策略，那么自己有没有可能必胜？ 如果有，在所有可能的胜利结局中，自己那对用 于比武的武将组合的默契值最大是多少？
假设整个游戏过程中，对战双方任何时候均 能看到自由武将队中的武将和对方军队的武将。 为了简化问题，保证对于不同的武将组合，其默 契值均不相同。
能会出现第i+1堆的纸牌数小于0的情况。如n＝3 ，三堆纸牌数为1、2、27，v＝10，要从第2堆移 动9张纸牌到第1堆，而第2堆只有2张纸牌可以移 动。按照规则会得到10、-7、27，再从第3堆移动 17张纸牌到第2堆，即得到10、10、10。在移动过 程中，只要改变一下移动的顺序，而移动的次数 不会变。
经典例题
【例4】最大整数 设有n个正整数(n<=20,Longint范围内),将它
们联接成一排组成一个最大的多位整数。 例如:n=3时,3个整数13,312,343联接成的最
大整数为:34331213。 又如:n=4时,4个整数7,13,4,246联接成的最
大整数为:7424613。 程序输入:n及n个数。 程序输出: 联接成的多位数。
经典例题
例如：N＝4，纸牌数分别为9、8、17、6，移动3 次可达到目的。 第一次：从第3堆取4张牌放到第4堆；
9、8、13、10 第二次：从第3堆取3张牌放到第2堆；
9、11、10、10 第三次：从第2堆取1张牌放到第1堆。
10、10、10、Biblioteka Baidu0
经典例题
【分析】 设v为均分后每堆纸牌的张数，s为最少移动
经典例题
【分析】 根据题意用另一种字符串比较办法，将A+B与
B+A相比较，如果前者大于后者，则认为A>B，按 这一定义将所有的数字字符串从大到小排序后连 接起来所得到的数字字符串即是问题的解。排序 时先将所有字符串中的最大值选出来存在数组的 第一个元素中，再从第二至最后一个元素中最大 的字符串选出来存在数组的第二个元素中，直到 从最后两个元素中选出最大的字符串存在数组的 倒数第二个元素中为止。
经典例题
readln(n); readln(s); for k:=1 to s do begin
i:=1; while (i<length(n)) and (n[i]<=n[i+1]) do
inc(i); delete(n,i,1); end; while (length(n)>1) and (n[1]=‘0’) do delete(n,1,1) writeln(n);
输出剩下的最小数。
经典例题
【分析】 因为要删除S个数字，可以一个一个地删
，每一次删除的目的都是使剩下的数尽量小 。
那么在每一次删除时，应该选择哪个数 字呢？最大的那个数字？还是最左边的那个 数字？
例如5768，删除7可以使剩余的数最小。
//删除7会使后面的较小数前移，从而得到更小的数。如果不删除7，删除之前的较小数，会 使大数7前移。删除7之后的较小数，则比删除7这个较大数得到的数要大。
end;
writeln(s);
讨论二
【例6】三国游戏（NOIP2010普及组第4题） 小涵很喜欢电脑游戏，这些天他正在玩一个
叫做《三国》的游戏。 在游戏中，小涵和计算机各执一方，组建各
自的军队进行对战。游戏中共有N位武将（N为偶 数且不小于4），任意两个武将之间有一个“默契 值”，表示若此两位武将作为一对组合作战时， 该组合的威力有多大。游戏开始前，所有武将都 是自由的（称为自由武将，一旦某个自由武将被 选中作为某方军队的一员，那么他就不再是自由
的两端都是偶数位置上的数，如果A方取走 偶数位置上的数后，剩下的两端都是奇数 位置上的数。
A方既可以取走所有奇数位置上的数， 或者取走所有偶数位置上的数。
另一个策略：让A方取“数和较大的奇 （或偶）位置上的所有数”。
讨论一
readln(n); for i:=1 to 2*n do
read(a[i]); sa:=0; sb:=0; for i:=1 to n do begin
讨论二
已知计算机一方选择武将的原则是尽量破坏 对手下一步将形成的最强组合，它采取的具体策 略如下：任何时刻，轮到计算机挑选时，它会尝 试将对手军队中的每个武将与当前每个自由武将 进行一一配对，找出所有配对中默契值最高的那 对武将组合，并将该组合中的自由武将选入自己 的军队。
下面举例说明计算机的选将策略，例如，游 戏中一共有 6个武将，他们相互之间的默契值如 下表所示
讨论一
【分析】 若采用这样一种策略，让A方每次取数
列两端较大的那个数，则B方也会这样取， 对于样例：7 9 3 6 4 2 5 3，
A方会取得7、3、4、5， B方会取得9、6、2、3， A方的总和为19，B方的总和为20，按 照规则，输出“NO”。
讨论一
【分析】 如果A方取走奇数位置上的数后，剩下
讨论一
【例2】取数问题（IOI 1996） 给出2n（n≤100）个自然数（小于等
于30000），将这2n个自然数排成一列，游 戏双方A和B从中轮流取数，只允许从两端 取数，A方先取，然后B方再取。取完时， 谁取的数字总和最大为取胜方；若双方和 相等，则B胜，试问A方是否有必胜策略？
讨论一
输入格式：两行，第一行一个整数n，第二 行有2n个自然数。 输出格式：只有一行，若A有必胜策略，则 输出“YES”，否则输出“NO”。 输入样例： 4 79364253 输出样例： YES
贪心算法的特点
【分析】 有以下几种策略可供选择： （1）每次挑选价值最大的物品装入背包， 得到的结果是否最优？ （2）每次挑选所占空间最小的物品装入是 否能得到最优解？ （3）每次选取单位容量价值最大的物品。
贪心算法的特点
解题一般步骤: 1、设计数据找规律； 2、进行贪心猜想； 3、正确性证明（严格证明和一般证明） ★一般证明：列举反例； ★严格证明：数学归纳和反证法； 4、程序实现。
经典例题
结论： 每一次删除的数字应该是这个数字序列
中最左边递减序列的第一个数字。具体操作 为，按高位到低位的方向搜索递减区间。若 不存在递减区间，则删除尾数字，否则删除 递减区间的首数符，这样就形成一个最小的 数。
重复上述规则，直到删除S个数字为止。
经典例题
例如：N＝8796542，S＝4 第一次：N＝8796542，删除8； 第二次：N＝796542，删除9； 第三次：N＝76542，删除7； 第四次：N＝6542，删除6，得到542。
经典例题
readln(n);
v:=0;
for i:=1 to n do
begin
read(a[i]); v:=v+a[i];
end;
v:=v div n; s:=0;
for i:=1 to n-1 do
if a[i]<>v //如果之前的调整使得值正好为v，不用移动
then begin
inc(s); a[i+1]:=a[i+1]+a[i]-v;
基于贪心的算法和应用
贪心算法引入
【引例1】在n行m列的正整数矩阵中，要求 从每行中选出1个数，使得选出的总共n个 数的和最大。 【分析】要使总和最大，则每个数要尽可 能大，自然应该选每行中最大的那个数。
贪心算法引入
【引例2】有1元、5元、10元、50元、100 元、500元的硬币各C1、C5、C10、C50、 C100、C500枚。现在要用这些硬币来支付A 元，最少需要多少枚硬币？ 【分析】优先使用面值大的硬币。
writeln;
经典例题
【例5】均分纸牌（NOIP 2002） 有N堆纸牌，编号分别为1，2，……，N。第i
堆有a[i]张纸牌（a[i]≤10000）,但纸牌总数必 为N的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后 移动。移牌规则为：在编号为1堆上取的纸牌，只 能移到编号为2的堆上；在编号为N的堆上取的纸 牌，只能移到编号为N－1的堆上；其他堆上取的 纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。现在要 求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆 牌数都一样多。
次数。按照从左到右的顺序移动纸牌。如果第i堆 的纸牌数a[i]不等于v，则移动一次，分两种情况 移动：
（1）如果a[i]>v，则将a[i]-v张纸牌从第i 堆移动到第i+1堆；
（2）如果a[i]<v，则将v-a[i]张纸牌从第 i+1堆移动第i堆。
经典例题
【分析】 从第i+1堆中取出纸牌给第i堆的过程中，可
经典例题
【分析】 平均等待时间就是每个人的等待时间之和再除以
n，因为n是常数，所以等待时间之和最小也就等同于 平均等待时间最小。 Total=Ti1+(Ti1+Ti2)+(Ti1+Ti2+Ti3)+…(Ti1+Ti2+…+Tin)
=nTi1+(n-1)Ti2+(n-2)Ti3+…+Tin 如果让Ti1最小，Ti2次小，…，Tin最大，也就是 把接水时间少的人尽可能排在前面，总的等待时间就 最少了。
sa:=sa+a[2*i-1]; sb:=sb+a[2*i]; end; if sa=sb then writeln(‘NO’) else writeln(‘YES’);
经典例题
【例3】排队接水 有n个人在一个水龙头前排队接水，假如每个
人接水的时间为Ti，请编程找出这n个人排队的一 种顺序，使得这n个人平均等待时间最小。 输入样例： 10 56 12 1 99 1000 234 33 55 99 812 输出样例： 291.90
讨论二
武将了），换句话说，所谓的自由武将不属于任 何一方。游戏开始，小涵和计算机要从自由武将 中挑选武将组成自己的军队，规则如下：小涵先 从自由武将中选出一个加入自己的军队，然后计 算机也从自由武将中选出一个加入计算机方的军 队。接下来一直按照“小涵→计算机→小涵 →……”的顺序选择武将，直到所有的武将被双 方均分完。然后，程序自动从双方军队中各挑出 一对默契值最高的武将组合代表自己的军队进行 二对二比武，拥有更高默契值的一对武将组合获 胜，表示两军交战，拥有获胜武将组合的一方获 胜。