高等代数【北大版】7.4
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数【北大版】7.9
LLLLL
0 ≠ 0. ( J aE )k 1 = M O O 0 1 0 L 0
k ∴ J 的最小多项式为 ( x a ) .
§7.9 最小多项式
6.(定理13) A ∈ P n×n与对角矩阵相似 (定理13)
A 的最小多项式是 上互素的一次因式的积. 的最小多项式是P上互素的一次因式的积 上互素的一次因式的积
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.9 最小多项式
一,最小多项式的定义 二,最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
二,最小多项式的基本性质
1.(引理1)矩阵 的最小多项式是唯一的 (引理1 矩阵A的最小多项式是唯一的 的最小多项式是唯一的. 都是A的最小多项式 的最小多项式. 证:设 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是 的最小多项式 由带余除法,g1 ( x ) 可表成 由带余除法,
g1 ( x ) = q( x ) g2 ( x ) + r ( x )
∴ g1 ( x ) h( x ), g2 ( x ) h( x ).
从而
g ( x ) h( x ).
的最小多项式. 故 g( x ) 为A的最小多项式 的最小多项式
§7.9 最小多项式
推广: 若A是一个准对角矩阵 是一个准对角矩阵
A1 A2 O As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i = 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x )]. 的最小多项式是为 两两互素, 特别地,若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x ) 两两互素,即
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
高等代数【北大版】7.4
二,特征值与特征向量的求法
的一组基, 分析: 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, 的一组基 分析: 在这组基下的矩阵为A. 线性变换 σ 在这组基下的矩阵为 的特征值, 设 λ0是 σ 的特征值,它的一个特征向量 ξ 在基
x01 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标记为 M , x 0n x01 则 σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标为 A M , x 0n
证:设 A 设
B , 则存在可逆矩阵 ,使得 则存在可逆矩阵X,
B = X 1 AX
于是, 于是, λ E B = λ E X 1 AX
= λ X 1 EX X 1 AX = X 1 ( λ E A) X = X 1 λ E A X
由多项式根与系数的关系还可得
+ L + ( 1) A
n
的全体特征值的和= ① A的全体特征值的和= a11 + a22 + L + ann . 的全体特征值的和 ② A的全体特征值的积= A . 的全体特征值的积=
§7.4 特征值与特征向量称之为A的迹 称之来自 的迹,记作trA. 记作
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. (定理 相似矩阵具有相同的特征多项式. 定理6)
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 设线性变换
1 2 2 A = 2 1 2, 2 2 1
特征值与特征向量. 求 σ 特征值与特征向量 解:A的特征多项式 的特征多项式
λ 1 2 2 λ E A = 2 λ 1 2 = (λ + 1)2 (λ 5) 2 2 λ 1
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案 ()
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数【北大版】7.2
β = k1σ (ε 1 ) + k2σ (ε 2 ) + + knσ (ε n ),
即有 σ ( k1ε 1 + k 2ε 2 + + k nε n ) = β .
∴ σ 为满射 为满射.
§7.2 线性变换的运算
其次, 其次,任取 α , β ∈ V , 设 α = ∑ aiε i , β = ∑ biε i ,
1
(α + β ) = σ
1 1
1
1
1
1
1
1
1
σ 1 ( kα ) = σ 1 k ( σσ 1 ) (α ) = σ 1 k σ ( σ 1 (α ) )
= σ 1 σ k σ 1 ( α )
§7.2 线性变换的运算
= σ 1 ( α ) + σ 1 ( β )
( (
(
(
)))
)
((
)
))
= k σ 1 (α ) = kσ 1 (α )
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 线性变换的加法与数量乘法构成数域 上的一个线性 空间,记作 L(V ). 空间,
§7.2 线性变换的运算
四, 线性变换的逆
1.定义
为线性空间V的线性变换 若有V的变换 的线性变换, 设 σ 为线性空间 的线性变换,若有 的变换 τ 使
στ = τσ = E
§7.2 线性变换的运算
2.基本性质
(1)满足交换律:σ + τ = τ + σ )满足交换律: (2)满足结合律:(σ + τ ) + δ = σ + (τ + δ ) )满足结合律: 为零变换. (3) 0 + σ = σ + 0 = σ , 0为零变换 ) 为零变换 (4)乘法对加法满足左,右分配律: )乘法对加法满足左,右分配律:
北大精品课件高等代数(上)
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈-=10，。
进而∈∀m Z 0>,K m ∈+⋯⋯++=111。
最后，∈∀n m ,Z 0>，K n m ∈，K nmn m ∈-=-0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。
定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。
如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数课件(北大三版)--第七章-线性变换
尤其，向量空间V 在σ之下旳象是W 旳一种
子空间，叫做σ旳象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 旳零子空间 { 0 } 在σ之下旳原象是 V 旳一种子空间，叫做σ旳核，
记为 Ker( ),
即 Ker( ) { V | ( ) 0}.
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一种线 性映射，那么 :V W (i) σ是满射 Im( ) W (ii) σ是单射 Ker( ) {0} 证明 论断(i)是显然旳,我们只证论断(ii) 假如σ是单射,那么ker(σ)只能是具有唯一旳零向量. 反过来设ker(σ) = {0}.
轻易证明上面旳两个条件等价于下面一种条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0，对③进行数学归纳，能够得到：
（1） (0) 0
（2） (a11 ann ) a1 (1) an (n )
例1 对于 R 2 旳每历来量 x1, x2 定义 x1, x1 x2 , x1 x2 R3
x1
(1
,
2
,,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
( ) x1 (1) x2 (2 ) xn (n )
（2）
x1
(
(1),
(
2
),,
(
n
))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,
2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最终，等式表白， ( )关于(1,2 ,n ) 旳坐标所构成 旳列是
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数北大版课后答案完整版
高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
高等代数教案
《高等代数》课程教学总体安排一、课程名称：高等代数二、课程性质与类型：专业必修课，理论课三、课程总学时及学分：150学时，学分四、教学目的与要求：教学目的：高等代数是数学与应用数学专业必修基础课，也是一门重要主干课程，是中学代数的提高，也是近代数学的基础。
通过本课程的教学，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，适当地了解代数的一些历史，一些背景，以加深对中学数学的理解，获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力，并为进一步学习其他后继课程：近世代数、微分方程、泛函分析等，以及将来从事教学，科研及其他实际工作打下基础。
教学基本要求：基本掌握全书的基本概念；能独立处理书后的绝大部分习题；通过本书抽象理论的学习，提高自学能力，数学思维，专业素质，以便阅读较深的文献。
五、教材及参考书目教材：张禾瑞,郝炳新著，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第四版，ISBN:7-04-021465-9，主要参考书：[1] 北京大学数学系，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3[2] 李师正等编，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6[3] 徐仲,陆全,张凯院，高等代数考研教案，西北工业大学出版社，2006年6月出版，ISBN:7-5612-2088-X六、考核方式及成绩计算方法期末进行闭卷考试，综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。
具体计算方法为：学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%七、课程教学日历第一章基本概念教学安排说明章节题目：§1.5数环数域学时分配：2学时。
教学时数为2学时本章教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
其它：本章以自学为主，只讲授第五节课堂教学方案§1.5数环数域课程名称：§1.5数环数域授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
高等代数(北大第三版)习题答案完整
解出(ⅰ)当 u = 0时t + 3t − 3t + 4 = 0(t + 4)(t − t + 1)
3 2 2
1 ± 3¡ ± 3 ¡ t = −4或t = =e 2 ∴
(ⅱ)
π
当u ≠ 0时, 只有t 2 + t + 3 = 0,
t 1 =− t +1 3
t 3 + 3t 2 − (u + 3)t + (4 − u ) ⇒ u =
f ( x ) = x 5 , x0 = 1 ：即 ∴ f ( x) = ( x − 1)5 + 5( x − 1) 4 + 10( x − 1)3 + 10( x − 1) 2 + 5( x − 1) + 1
当然也可以 f ( x) = x = [( x − 1) + 1]
5 5
= ( x − 1)5 + 5( x − 1) 4 + ⋅⋅⋅ + 1
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
所以 d ( x) = u ( x) f1 ( x) d ( x) + v( x) g1 ( x)d ( x). 消去 d ( x ) ≠ 0 得 1 = u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x)
P45.11
证：设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ≠ 0, f ( x) = f1 ( x) d ( x), g ( x) = g1 ( x)d ( x)
t= − 1 ± − 11 2
P45、8 d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g ( x ) 表明 d ( x ) 是公因式 又已知： d ( x)是f ( x)与g ( x)的组合 所以 表明任何公因式整除 d ( x )
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二,特征值与特征向量的求法
的一组基, 分析: 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, 的一组基 分析: 在这组基下的矩阵为A. 线性变换 σ 在这组基下的矩阵为 的特征值, 设 λ0是 σ 的特征值,它的一个特征向量 ξ 在基
x01 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标记为 M , x 0n x01 则 σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标为 A M , x 0n
§7.4 特征值与特征向量
把 λ = 5 代入齐次方程组 (λ E A) X = 0, 得
4 x1 2 x2 2 x3 = 0 2 x1 + 4 x2 2 x3 = 0 2 x1 2 x2 + 4 x3 = 0
解得它的一个基础解系为: 解得它的一个基础解系为: (1,1,1) 因此,属于5的一个线性无关的特征向量为 因此,属于5的一个线性无关的特征向量为
§7.4 特征值与特征向量
一,特征值与特征向量
设 定义: σ 是数域P上线性空间 的一个线性变换, 定义: 是数域 上线性空间V的一个线性变换, 上线性空间 的一个线性变换 若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量 若对于 中的一个数 λ0 , 存在一个 的非零向量 ξ , 使得
σ (ξ ) = λ0ξ ,
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.4 特征值与特征向量
一,特征值与特征向量 二,特征值与特征向量的求法 三,特征子空间 四,特征多项式的有关性质
§7.4 特征值与特征向量
在线性空间V中 数乘变换K在任意一都是数量矩阵kE, 的矩阵都是数量矩阵 ,它的特征多项式是
λ E kE = (λ k ) .
n
故数乘法变换K的特征值只有数 , 故数乘法变换 的特征值只有数k,且 的特征值只有数 对 ξ ∈ V (ξ ≠ 0), 皆有 K (ξ ) = kξ . 所以, 中任一非零向量皆为数乘变换 的特征向量. 中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量 所以,V中任一非零向量皆为数乘变换 的特征向量
kξ ( k ∈ P , k ≠ 0) 也是 σ 的属于λ0 的特征向量 的特征向量.
(
Q σ ( kξ ) = kσ (ξ ) = k (λ0ξ ) = λ0 ( kξ )
)
由此知,特征向量不是被特征值所唯一确定的, 由此知,特征向量不是被特征值所唯一确定的, 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的, 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的,即 若 σ (ξ ) = λξ 且 σ (ξ ) = ξ ,则 λ = .
四,特征多项式的有关性质
A = aij ∈ P n×n , 则A的特征多项式 1. 设 的特征多项式
( )
a λ E A = ...21
n
λ a11
an 1
a12 ... a1 n λ a22 ... a2 n ... an 2 ... λ ann
n 1
= λ (a11 + a22 + L + ann )λ
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 设线性变换
1 2 2 A = 2 1 2, 2 2 1
特征值与特征向量. 求 σ 特征值与特征向量 解:A的特征多项式 的特征多项式
λ 1 2 2 λ E A = 2 λ 1 2 = (λ + 1)2 (λ 5) 2 2 λ 1
即 x1 + x2 + x3 = 0
它的一个基础解系为: 它的一个基础解系为:(1,0, 1), (0,1, 1) 因此, 因此,属于 1 的两个线性无关的特征向量为
ξ1 = ε 1 ε 3 , ξ 2 = ε 2 ε 3
而属于 1 的全部特征向量为
k1ξ1 + k2ξ 2 ,
( k1 , k2 ∈ P 不全为零 )
§7.4 特征值与特征向量
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n ,写出σ 在这组基下 中任取一组基 的矩阵A 的矩阵 . ii) 求A的特征多项式 λ E A 在P上的全部根它们 的特征多项式 上的全部根它们 的全部特征值. 就是 σ 的全部特征值. iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
Q σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) = λ0α + λ0 β = λ0 (α + β )
σ ( kα ) = kσ (α ) = k (λ0α ) = λ0 ( kα )
∴ α + β ∈ Vλ0 ,
kα ∈ Vλ0
§7.4 特征值与特征向量
注:
维线性空间V的某组基下的矩阵为 若 σ 在n维线性空间 的某组基下的矩阵为 ,则 维线性空间 的某组基下的矩阵为A,
(c11 , c12 ,L , c1n ),(c21 , c22 ,L , c2 n ),L ,(cr 1 , cr 2 ,L , crn )
则 ηi = ∑ cijε j ,
j =1 n
i = 1,2,L , r
的全部线性无关的特征向量 无关的特征向量. 就是属于这个特征值 λ0 的全部线性无关的特征向量 而 ξ = k1η1 + k2η2 + L + krηr , 不全为零) (其中, k1 , k2 ,L , kr ∈ P 不全为零) 其中, 的全部特征向量. 就是 σ 的属于 λ0 的全部特征向量
由多项式根与系数的关系还可得
+ L + ( 1) A
n
的全体特征值的和= ① A的全体特征值的和= a11 + a22 + L + ann . 的全体特征值的和 ② A的全体特征值的积= A . 的全体特征值的积=
§7.4 特征值与特征向量
称之为A的迹 称之为 的迹,
记作trA. 记作
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. (定理 相似矩阵具有相同的特征多项式. 定理6)
§7.4 特征值与特征向量
1. 特征多项式的定义
设 A∈ P
n×n
, λ 是一个文字,矩阵 λ E A 称为 是一个文字,
A的特征矩阵,它的行列式 的特征矩阵,
a λ E A = ...21
λ a11
an 1
a12 ... a1 n λ a22 ... a2 n f (λ ) A ... an 2 ... λ ann
§7.4 特征值与特征向量
引入
有限维线性空间V中取定一组基后, 的任一线性 有限维线性空间 中取定一组基后,V的任一线性 中取定一组基后 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质, 变换都可以用矩阵来表示 为了研究线性变换性质, 希望这个矩阵越简单越好,如对角矩阵 希望这个矩阵越简单越好,如对角矩阵. 从本节开始,我们主要讨论, 从本节开始,我们主要讨论,如何选择一组适当 的基, 的基,使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 一个对角矩阵
§7.4 特征值与特征向量
x01 而 λ0ξ 的坐标是 λ0 M , x 0n
又 σ (ξ ) = λ0ξ
x01 x01 x01 于是 A M = λ0 M , 从而 (λ0 E A) M = 0. x x x 0n 0n 0n x01 的解, 即 M 是线性方程组 (λ0 E A) X = 0 的解, x 0n x01 有非零解. 又 Q ξ ≠ 0, ∴ M ≠ 0, ∴ (λ0 E A) X = 0 有非零解 x 0n 所以它的系数行列式 λ0 E A = 0.
证:设 A 设
B , 则存在可逆矩阵 ,使得 则存在可逆矩阵X,
B = X 1 AX
于是, 于是, λ E B = λ E X 1 AX
= λ X 1 EX X 1 AX = X 1 ( λ E A) X = X 1 λ E A X
§7.4 特征值与特征向量
以上分析说明: 以上分析说明: 的特征值, 若 λ0 是 σ 的特征值,则 λ0 E A = 0. 反之, 反之,若 λ0 ∈ P 满足 λ0 E A = 0, 有非零解. 则齐次线性方程组 (λ0 E A) X = 0 有非零解 若 ( x01 , x02 ,L , x0 n )′是 (λ0 E A) X = 0 一个非零解, 一个非零解, 则向量 ξ = x01ε 1 + L + x0 nε n 就是 σ 的属于 λ0的一个 特征向量. 特征向量
的特征值为: 故 σ 的特征值为: λ1 = 1 二重), λ2 = 5 (二重)
§7.4 特征值与特征向量
把 λ = 1 代入齐次方程组 (λ E A) X = 0, 得
2 x1 2 x2 2 x3 = 0 2 x1 2 x2 2 x3 = 0 2 x1 2 x2 2 x3 = 0
称为A的特征多项式 称为 的特征多项式. 是数域P上的一个 次多项式) 上的一个n次多项式 ( f A (λ )是数域 上的一个 次多项式)
§7.4 特征值与特征向量
注: 若矩阵 是线性变换 σ 关于 的一组基的矩阵, 的一组基的矩阵, ① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵
的一个特征值, 而 λ0 是 σ 的一个特征值,则 λ0 是特征多项式 f A (λ ) 的根, 的根,即 f A (λ0 ) = 0. 反之, 的特征多项式的根, 反之,若λ0 是A的特征多项式的根,则λ0 就是 σ 的特征多项式的根 的一个特征值. 所以,特征值也称特征根 特征根.) 的一个特征值. (所以,特征值也称特征根.) 矩阵A的特征多项式的根有时也称 的特征多项式的根有时也称为 的特征值 的特征值, ② 矩阵 的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 而相应的线性方程组 (λ E A) X = 0 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量. 称为 的属于这个特征值的特征向量. 的属于这个特征值的特征向量