非线性规划方法
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{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
➢迭代格式
xk pk
xk+1
x k
xk1 xk xk
xk tk pk
xk1 xk xk
称pk为第k轮搜索方向,tk为第k轮沿pk方向的步长。 产生tk和pk的不同方法,形成了不同的算法。
定义:特殊搜索方向——下降方向
hi ( x) 0, j 1, , q
min f ( x)
s.t
.
g( x) 0
h( x) 0
min f ( x)
xX
➢(3)数学规划问题的分类:
min f ( x) s.t. g( x) 0 h( x) 0
☺若f ( x), gi ( x), hj ( x) 为线性函数,即为线性规划(LP);
下降迭代算法。
x
1
.
.
.
x2
x0
➢(6.3)下降迭代算法步骤
(1)给出初始点 x0 ,令 k 0 ;
(2)按照某种规则确定下降搜索方向 d k ; (3)按照某种规则确定搜索步长 k ,使得
☺若 f ( x), gi ( x), hj ( x) 至少一个为非线性,
即为非线性规划(NLP);
☺对于非线性规划,若没有 gi ( x), hj ( x),即X=Rn,称为
无约束非线性规划或无wk.baidu.com束最优化问题; 否则称为约束非线性规划或约束最优化问题。
凸规划的定义及其性质:
凸规划定义:
min f(x)
hi ( x) 0, j 1, , q
➢(4)可行域和可行解:
称
X
x
Rn
gi ( x) hi ( x)
0, i 1, 0, j 1,
, p , q
为MP问题的约束集或可行域。
若x在X内,称x为MP的可行解或者可行点。
➢(5)最优解和极小点
定义: 对于非线性规划(MP),若 x* X ,并且有
➢(1)数学规划模型的一般形式:
min f ( x) s.t. gi ( x) 0, i 1, , p hi ( x) 0, j 1, ,q
其中, x (x1, x2, , xn )T , f (x), gi (x),hj (x)为x的实值函数, 简记为MP(Mathematical Programming)
➢(2)简记形式: 引入向量函数符号:
h( x)(h1( x), ,hq ( x))T g( x)( g1( x), ,g p( x))T
X
x
Rn
gi ( x) 0, i hi ( x) 0, j
1, 1,
, p , q
min f ( x)
s.t .
gi ( x) 0, i 1, , p
f ( x* ) f ( x), x X
则称x*是(MP)的整体最优解或整体极小点,
称f ( x* )是(MP)的整体最优值或整体极小值。 如果有 f ( x* ) f ( x), x X , x x*
称x*是(MP)的严格整体最优解或严格整体极小点,
称f ( x* )是(MP)的严格整体最优值或严格整体极小值。
一般来说,求解非线性规划问题比线性规划问题困难得多。而且, 也不象线性规划那样有单纯形法这一通用的方法。非线性规划的各种 算法大都有自己特定的使用范围,都有一定的局限性。到目前为止还 没有适合于各种问题的一般算法,这是需要深入研究的一个领域。我 们只是对一些模型及应用作简单介绍。
非线性规划问题的数学模型
(6) 非线性规划方法概述
➢(6.1)微分学方法的局限性:
实际的问题中,函数可能是不连续或者不可微的。 需要解复杂的方程组,而方程组到目前仍没有有效 的算法。 实际的问题可能含有不等式约束,微分学方法不易 处理。
➢(6.2)数值方法的基本思路:迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
定义 对于非线性规划(MP), 若x* X , 并且存在x*的邻域
N ( x* ) x Rn x x* 使
f ( x* ) f ( x),xN ( x* ) X 则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小解,
称f ( x* )是(MP)的局部最优值或局部极小值
如果有 f ( x* ) f ( x),xN ( x* ) X , x x* 称x*是(MP)的严格局部最优解或严格局部极小点 f ( x* )是(MP)的严格局部最优值或严格局部极小值。
第4章 非线性规划方法
2012 统计学
在科学管理和其他领域中,大量应用问题可以归结为线性规划问题, 但是,也有另外许多问题,其目标函数和(或)约束条件很难用线性 函数表达。如果目标函数和(或)约束条件中包含有自变量的非线性 函数,则这样的规划问题就属于非线性规划。
非线性规划是运筹学的重要分支之一。最近30多年来发展很快,不 断提出各种算法,而其应用范围也越来越广泛。比如在各种预报、管 理科学、最优设计、质量控制、系统控制等领域得到广泛且不短深入 的应用。
设f :Rn R1, xRn , pRn , p 0,若存在 0,使 f ( x tp) f ( x), t(0, )
则称向量p是函数f ( x) 在点x处的下降方向。 若f ( x)在x可导,则-f ( x)就是 f ( x)在x处下降最快的方向。
定义:特殊搜索方向——可行下降方向
设X Rn , x X , pRn , p 0,若存在t 0,使得
s.t. g(i x) 0
h(j x) 0
i 1, , p j 1, ,q
X
xRn
g(i x) h(j x)
0 0
i 1, , p j 1, ,q
若X是凸集, f 是X上的凸函数, 称(MP)为非线性
凸规划, 简称凸规划。
min f ( x)
s.t .
gi ( x) 0, i 1, , p
x tp X 则称向量p是点x处 关于X的可行方向。
解非线性规划问题,关键在于 找到某个方向,使得在此方向 上,目标函数得到下降,同时 还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。
定义:算法收敛、下降迭代算法
集合S上的迭代算法: (1)初始点 x0 ;
(2)按照某种搜索方向pk产生下一个迭代点 xk1 xk pk . k (i)如果点列 { xk }收敛于最优解 x* ,则称此算法收敛。 (ii)如果 f (x0 ) f (x1) f (xk ) ,则称此算法为