现代控制理论知识点总结

现代控制理论知识点总结

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第一章

控制系统的状态空间表达式

１． 状态空间表达式

n 阶

Du

Cx y Bu Ax x

+=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?:

A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．

状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩

阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．

模拟结构图（积分器 加法器 比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４． 状态空间表达式的建立

①

由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积

分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

②

由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式

注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量

i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，

设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量

1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足

121)(p p A I -=-λ。

系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。

6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W

D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表

示。

第二章 控制系统状态空间表达式的解

一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x

=&）的解：0)(x e t x At =

二．矩阵指数函数——状态转移矩阵 1．At e t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。5个基本性质。

2．At

e

的计算：

a 定义；

b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或

c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e

At

记忆常用的拉氏变换对

2

222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1

)(1;1)(ωωωωωδ+?

+?+??+??

??-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at

n n at d 应用凯莱-哈密顿定理

三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x +=

&）的解：τττφφd Bu t x t t x t

)()()0()()(0

?-+

=。可由拉氏变换法证明（当

然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求At e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统） 二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统） 判别方法（一）：通过线性变换

Bu Ax x +=& Bu T ATz T z

11--+=→& １．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x

=）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：B T 1-没有全为０的行。

变

换矩阵T 的求法。

２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x

=）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，

每个约当块对应的B T

1

-中最后一行元素没有全为０的。 ②B T

1

-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为０

的。变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1

-T 、B T

1

-。

判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别

Bu Ax x +=& 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M

n -=Λ的秩为n 。

在单输入系统中，M 是一个n n ?的方阵；

而多输入系统，M 是一个nr n ?的矩阵，可通过)(T MM rank rankM

=

三．线性定常系统的能观性判别

判别方法（一）：通过线性变换

Cx y Ax x ==& →TCz

y ATz T z

==-1&

１．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x

=）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：TC 中没有全为０的列。

变

换矩阵T 的求法。

２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x

=）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，

每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。 ②对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1

-T 、TC 。

判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别

能观性的充要条件是 能观性判别矩阵????

??

?

??=-1n CA CA C N M 的秩为n 。

在单输入系统中，N 是一个n n ?的方阵；

而多输入系统，N 是一个n nm ?的矩阵，可通过)(T MM rank rankM

=

六．能控性与能观性的对偶原理 １．若

T A A 12=，T C B 12=，T B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。

对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。

２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。 时变系统的对偶原理？？？？ 七．能控标准型和能观标准型

对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。

１．

能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）

①判别系统的能控性。②计算特征多项式

0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A

。③求变换矩阵

??

??

?

???????=-11111n c A p A p p T M ，111],,][1,,0,0[--=B A Ab b p n ΛΛ。④求11

-c T ，计算??????

??????==-10011M b T b c ，1c cT c =，也可以验证是否有

11

1c c AT T A -=。

２．

能控标准Ⅱ型

① 判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||a a a A I

n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。

③求变换矩阵],,,[1

2b A Ab b T n c -=Λ。④求12-c T ，计算?????

???????==-00112M b T b c ，2c cT c =，也可以验证是否有212c c AT T A -=。

３．

能观标准Ⅰ型

①判别系统的能观性。②计算特征多项式

0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A

。③求变换矩阵

????

?

???????=--11

1

n o cA cA c T M 。④求1o T ，计算b T b o 11-=，

[]0011Λ==o cT c ，也可以验证是否有11

1o o AT T A -=。

４． 能观标准Ⅱ型

①判别系统的能观性。②计算特征多项式

0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A

。③求变换矩阵

[]

11112

,,,T A AT T T n o -=Λ，????

?

?

????????????????

???=--1001

11M M n cA cA c T 。④求02T ，计算b T b 102-=，[]10002Λ==cT c ，

也可以验证是否有

21

2o o AT T A -=。

５．

如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。

012

21

11

12211)(a s a s

a s

a s

s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=

---------ΛΛββββ

能控标准Ⅰ型：?????????????

???----=-121

010

0001000010n a a a a A ΛΛM ΛM M

Λ

Λ ??

???

??

?

????????=1000M

b ][110-=n

c βββΛ

能观标准Ⅱ型：???

????

??????

???----=-12101

00

010

001000n a a a a A Λ

M Λ

M M M ΛΛΛ ?????

???

????????=--1210n n b ββββM

]100[Λ=c

八．线性系统的结构分解

1．按能控性分解（状态不完全能控，即n n rankM

<=1），通过非奇异变换x

R x c ?=完成。 ()n n c R R R R R Λ

Λ

12

1

=，前1n 个列矢量是M 中1n 个线性无关的列，其他列矢量保证c R 非奇异的条件下是任意

的。

2．按能观性分解（状态不完全能观，即n n rankN

<=1）

，通过非奇异变换x R x o ?=完成。 ??????

???

?

??''''=-n n o

R R R R R M M 1211

，前1n 个行矢量是N 中1n 个线性无关的行，其他行矢量保证1-o R 非奇异的条件下是任意的。

3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。

步骤：①首先按能控性分解（c x 能控状态，c x 不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（o c x 不能控能观状态，o c x 不能控

不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（co x 能控能观状态，o c x 能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。

另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。 九．传递函数阵的实现问题

1．实现的定义：由)(s W 写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。 条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s 的真有理分式。

注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵)(lim s W D

s ∞

→=。

2．能控标准型和能观标准型实现

单入单出系统，)(s W 是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。

多输入多输出系统，)(s W 是矩阵，将)(s W 整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即

12

21

11

12211)(a s a s

a s

a s

s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=

---------ΛΛββββ；此时的110-n βββΛ是r m ?维常数阵。其能

控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I ，常数变为常数乘单位矩阵，即I a a 00

-→-。注意：能控标准型实现的维数是r n ?；能观标准型实现的维数是m n ?。

3．最小实现（维数最小的实现）

Cx

y Bu Ax x

=+=&为)(s W 最小实现的充要条件是),,(C B A ∑是完全能控能观的。

步骤：对给定的)(s W ，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则

就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。

注意：传递函数阵)(s W 的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。

十．传递函数)(s W 中零极点对消与能控性和能观性之间的关系

对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对

多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的（p147 例3-19）。

对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观。

第四章

稳定性与李雅普诺夫方法

一． 稳定性的定义

李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。

1．平衡状态

),(t x f x

=&为齐次状态方程。满足对所有t ，都有0),(≡t x f e 成立的状态矢量e x 称为系统的平衡状态。 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。 2．稳定性的几个定义

①李雅普诺夫意义下稳定，（相当于自控里的临界稳定）；②渐近稳定，（相当于自控里的稳定）；③大范围渐近稳定，大范围渐近稳

定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。

二．

李雅普诺夫第一法（间接法）

1．线性定常系统的稳定判据 状态稳定性：平衡状态0=e

x 渐近稳定的充要条件是A 的所有特征值具有负实部。

输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s 的左半平面。 2．非线性系统的稳定性

线性化处理。x A x ?=?&；e

x x x

f

A =??=

，若A 的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态e x 渐近

稳定。若A 的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态e x 不稳定。若若A 的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。

三．李雅普诺夫第二法（直接法） 借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。 1．预备知识

)(x V 是由n 维矢量x 定义的标量函数，

且在0=x 处，恒有0)(=x V ，对任何非零矢量x ，如果0)(>x V ，则称之为正定；如果0)

(

为半负定或非正定；如果0)

(>x V 或0)(

Px x x V T =)(为二次型标量函数，P 为实对称阵。要判别)(x V 的符号只要判别P 的符号即可。

P 的定号判据（希尔维特斯判据）

：首先求出P 的各阶顺序主子式i ?，若所有的0>?i ，则P （)(x V ）正定；若偶数=i

的0>?i ，奇数=i 的0

2．李雅普诺夫函数

对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数)(x V ，而)(x V

&是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数)(x V 叫做李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数)(x V 的问题。

３．稳定性判据

①设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(

&，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当∞→x 时，∞→)(x V ，则系统是大范围渐近稳定

的。

②设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(≤x V

&，但除0≡x 外，即0≠x ，)(x V &不恒等于０，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当∞

→x 时，∞→)

(x V ，则系统是大范围渐近稳定的。

③设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(≤x V

&，但任意的0≠x ，)(x V &恒等于０，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。

④设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(>x V

&，，则称原点平衡状态是不稳定的。

需要注意：①这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。②如果)(x V 是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。③)(x V 最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。④构造)(x V 需要较多技巧。

四．李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 １．线性定常连续系统渐近稳定判据

定理：Ax x

=&，若A 是非奇异的，原点0=e x 是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q ，

李雅普诺夫方程

Q PA p A T -=+，存在唯一的对称正定解P 。

该定理等价于Ａ的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。 步骤：选定正定矩阵Q ，通常为I Q =，代入李雅普诺夫方程，确定出P ，判断是否正定，进而做出系统渐近

稳定的结论。

第五章 线性定常系统的综合

综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下达到最优。 一．线性反馈控制系统的基本结构及其特性

1．状态反馈 将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K

称为状态反馈增益阵，n r ?。 设原受控系统),,(0

C B A =∑，Ｄ=0。

状态反馈闭环系统的状态空间表达式

Cx

y Bv x BK A x

=++=)(&

简称),,(C B BK A K

+=∑

与原受控系统),,(0

C B A =∑比较，状态反馈增益阵Ｋ的引入，并不增加系统的维数，但可以通过Ｋ的选择改

变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。

2．输出反馈 由输出端y 引入输出反馈增益阵H （m r ?），然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状

态空间表达式为

Cx

y Bv x BHC A x

=++=)(&

简称),,(C B BHC A H

+=∑

通过Ｈ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比Ｋ小（通常n m

<）。

３．从输出到状态变量导数x &的反馈 从输出y 引入反馈增益阵G （m n ?）到状态变量的导数x &，所得状态空间表达式为

Cx

y Bu x GC A x

=++=)(&

简称),,(C B GC A H

+=∑

通过Ｇ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。

以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。

４．闭环系统的能控性与能观性 a 状态反馈不改变受控系统),,(0C B A =∑的能控性，但不保证系统的能观性不变。 b 输出反馈不改变受控系统),,(0

C B A =∑的能控性和能观性。

二．极点配置问题 就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。

只讨论单输入单输出系统

１．采用状态反馈 对系统),,(0

c b A =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。

给定),,(0

c b A =∑，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：

⑴能控规范型法，适合于3≥n

。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②通过线性变换x T x c 1=化为能控标准１

型，得到),,(c b A =∑

。③加入状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ,得到闭环系统)

,,(c b K b A K +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(K b A I f +-=λλ。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特

征多项式

)()(*

*i f λλλ-∏=。⑤将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n k k k K Λ。⑥把对应与∑

的

K ，通过1

1

-=c T K K

],,,[110-=n k k k Λ。⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，3≤n

，可直接由反映物理系统的A,b 矩阵求状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ，不通过非奇异变换，

使设计工作简单。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②加入状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ,

得到闭环系统),,(c b bK A K

+=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(bK A I f +-=λλ。③

由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

)()(*

*i f λλλ-∏=。④将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到

],,,[110-=n k k k K Λ。⑤进一步画出模拟结构图。

注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做其他工作。

2．采用输出反馈