《现代控制理论》考点精讲(第1讲 控制系统数学模型)

⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
0 1
LC
⎤ ⎥u ⎥⎦
输出方程为：
y = [1
0]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
（3）系统状态变量的数目是惟一的。
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4. 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达
式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始 拉伸相抵消）
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式， 或称为系统动态方程，或称系统方程。
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设： x1 = i(t)
C = [0 1]
x2 = uC (t)
x
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
A = ⎢⎢⎢⎡-1RL
-
1 L
⎤ ⎥ ⎥
0⎥
⎣C ⎦
⎡1⎤
b
=
写成矩阵形式 ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
0
⎥⎥u
⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣− a0 − a1 − a2 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣b0 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = [1
0
0
]⎢⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
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y = [1
0
"
0]⎢⎢
#
⎥ ⎥
+
β0u
⎢⎣xn ⎥⎦
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系统状态图:
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（2）辅助变量法
设 n 阶微分方程为：
y(n)
+
an−1
y (n−1)
+"+
a1
y
+
a0
y
=
b u (n−1) n−1
+"+
b1u
其中，待定系数为： β0 = b3 β1 = b2 − a2β0 β2 = b1 − a1β0 − a2β1 β2 = b0 − a0β0 − a1β1 − a2β2
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于是
x1 = x2 + β1u x2 = x3 + β2u x3 = −a0 x1 − a1x2 − a2 x3 + β3u
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严格地说，一切物理 系统都是非线性的。 可以用下面的状态方 程和输出方程表示。 如果不显含 t，则称为 非线性定常系统。
x = f ( x, u , t ) ⎫
y
=
g ( x,
u
,
t
)
⎬ ⎭
x = f ( x, u ) ⎫
y
=
g
(
x,
u)
⎬ ⎭
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写成矩阵形式：
⎡ x1 ⎤
⎡ ⎢
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0 #
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢0 ⎢⎣−a0
1 0 # 0 −a1
0 1 # 0 −a2
0 0 # 0 −a3
" 0⎤
⎡0⎤
"
" "
0 #
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
x1
x2 #
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2. 状态空间表达式 前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
di(t) = − R i(t) − uC (t) + u(t)
dt L
LL
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
di(t)
dt duC (t)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎢⎢⎢⎡−1RL
⎣ dt ⎦ ⎣ C
−1 L 0
写成矩阵形式：
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡ x1 ⎤ ⎡β1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
β
2
⎥⎥u
=
Ax
+
bu
⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣− a0 − a1 − a2 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣β3 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = x1 + β0u = [1
0
⎢⎢x2
状态图如：
一般情况下，n 阶微分方程为：
y(n)
+
a y(n−1) n −1
+"+
a1 y
+
a0 y
=
b0u
选择状态 变量：
x1 = y
x1 = x2 = y
x2 = x3 = y ┆
xn−1 = xn = y(n−1)
xn = y(n) = −a0 x1 − a1x2 − " − −an−1xn + b0u
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1. 微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程: y+ a2 y + a1 y + a0 y = b0u
选取状态变量 x1 = y
x2 = y
x3 = y
则有 x1 = x2 x2 = x3
x3 = −a0 x1 − a1x2 − a2 x3 + b0u
1]
⎡iD
⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
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二、由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。 通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。 这里分两种情况： （1）微分方程中不含输入信号导数项； （2）微分方程中含有输入信号导数项。
⎢ ⎢⎣
L 0
⎥ ⎥⎦
x = Ax + bu⎫
则可以写成状态空间表达式：
y = Cx
⎬ ⎭
推广到一般形式：
x = Ax + Bu⎫ y = Cx + Du⎭⎬
⎡ x1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣xn ⎦
⎡u1 ⎤
u
=
⎢⎢u2 ⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣ur ⎦
⎡ y1 ⎤
y
=
⎢ ⎢ ⎢
y2 #
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状态空间表达式: 状态图：
⎡ ⎢ ⎢
diD dt
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡⎢− ⎢
RD LD
⎢ dω ⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎣
Km JD
− −
Ke LD f JD
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡iD
⎢⎣ω
⎤ ⎥⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 LD 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
uD
y = [0
⎥ ⎥
+
β0u
=
Cx
+
du
⎢⎣x3 ⎥⎦
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系统的状态图
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一般情况下，n 阶微分方程为：
y(n)
+
a y(n−1) n−1
+"+
a1 y
+
a0
y
=
bn u ( n )
+
b u(n−1) n−1
+"+
b1u
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
0 #
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
u
1 −an−1
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢0⎥ ⎢⎣b0 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = [1
0
"
0]
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
⎢⎣xn ⎥⎦
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2. 微分方程中含有输入信号导数项
（1）待定系数法
首先考察三阶系统，其微分方程为：
1 0 # 0 − a1
0 1 # 0 − a2
0 0 # 0 − a3
" "
" "
−
0 0 # 1 an
−1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x1 x2 #
xn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
β1 β2
#
β n −1 βn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥u ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
例：如图所示电路，
u(t) 为输入量，uC (t)
为输出量。
建立方程：
L
di(t dt
)
+
Ri(t
)
+
uC
(t
)
=
u
(t
)
i = C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t =t0
= i(t0 )
uC (t) t=t0 = uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的
+
b0u
Laplace变换，求传递函数
Y (s) R(s)
=
bn−1sn−1 + bn−2sn−2 + " + b1s + b0 ansn + an−1sn−1 + " + a1s + a0
引入辅助变量 z
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返回到微分方程形式：