《现代控制理论》考点精讲(第1讲 控制系统数学模型)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
0 #
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
u
1 −an−1
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢0⎥ ⎢⎣b0 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = [1
0
"
0]
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
⎢⎣xn ⎥⎦
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2. 微分方程中含有输入信号导数项
（1）待定系数法
首先考察三阶系统，其微分方程为：
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2. 状态空间表达式 前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
di(t) = − R i(t) − uC (t) + u(t)
dt L
LL
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
di(t)
dt duC (t)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎢⎢⎢⎡−1RL
⎣ dt ⎦ ⎣ C
−1 L 0
⎢ ⎢⎣
L 0
⎥ ⎥⎦
x = Ax + bu⎫
则可以写成状态空间表达式：
y = Cx
⎬ ⎭
推广到一般形式：
x = Ax + Bu⎫ y = Cx + Du⎭⎬
⎡ x1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣xn ⎦
⎡u1 ⎤
u
=
⎢⎢u2 ⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣ur ⎦
⎡ y1 ⎤
y
=
⎢ ⎢ ⎢
y2 #
现代控制理论 考点精讲教程
第1讲 控制系统数学模型 主讲人：单 博
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本章内容 1. 状态空间表达式 2. 由微分方程求状态空间表达式 3. 传递函数矩阵 4. 线性变换 5. 组合系统的数学描述
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一、状态空间表达式
状态图如：
一般情况下，n 阶微分方程为：
y(n)
+
a y(n−1) n −1
+"+
a1 y
+
a0 y
=
b0u
选择状态 变量：
x1 = y
x1 = x2 = y
x2 = x3 = y ┆
xn−1 = xn = y(n−1)
xn = y(n) = −a0 x1 − a1x2 − " − −an−1xn + b0u
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严格地说，一切物理 系统都是非线性的。 可以用下面的状态方 程和输出方程表示。 如果不显含 t，则称为 非线性定常系统。
x = f ( x, u , t ) ⎫
y
=
g ( x,
u
,
t
)
⎬ ⎭
x = f ( x, u ) ⎫
y
=
g
(
x,
u)
⎬ ⎭
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y+ a2 y + a1 y + a0 y = b3u+ b2u + b1u + b0u
选择状态变量： x1 = y − β0u x2 = y − β0u − β1u = x1 − β1u x3 = y − β0u − β1u − β2u = x2 − β2u
1 0 # 0 − a1
0 1 # 0 − a2
0 0 # 0 − a3
" "
" "
−
0 0 # 1 an
−1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x1 x2 #
xn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
β1 β2
#
β n −1 βn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥u ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
一组状态变量。
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1. 状态、状态变量和状态空间
状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息 集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些 变量在任意初始时刻t0的值以及t≥t0 的系统输入，便能够完 整地确定系统在任意时刻 t的状态。（状态变量的选择可以 不同） 状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正 交线性空间，称为状态空间。
⎥ ⎥
+
β0u
=
Cx
+
du
⎢⎣x3 ⎥⎦
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系统的状态图
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一般情况下，n 阶微分方程为：
y(n)
+
a y(n−1) n−1
+"+
a1 y
+
a0
y
=
bn u ( n )
+
b u(n−1) n−1
+"+
b1u
y = [1
0
"
0]⎢⎢
#
⎥ ⎥
+
β0u
⎢⎣xn ⎥⎦
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系统状态图:
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（2）辅助变量法
设 n 阶微分方程为：
y(n)
+
an−1
y (n−1)
+"+
a1
y
+
a0
y
=
b u (n−1) n−1
+"+
b1u
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ i(t) ⎤ ⎢⎣uC (t)⎥⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
1
L 0
⎤ ⎥u(t ⎥⎦
)
duC (t) = 1 i(t) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) = [0 1]⎢⎣⎡uiC(t()t)⎥⎦⎤
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程 ，称为该电路的输出方程或观测方程。这是 一个矩阵代数方程。
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1. 微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程: y+ a2 y + a1 y + a0 y = b0u
选取状态变量 x1 = y
x2 = y
x3 = y
则有 x1 = x2 x2 = x3
x3 = −a0 x1 − a1x2 − a2 x3 + b0u
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
0 1
LC
⎤ ⎥u ⎥⎦
输出方程为：
y = [1
0]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
（3）系统状态变量的数目是惟一的。
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4. 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达
式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始 拉伸相抵消）
其中，待定系数为： β0 = b3 β1 = b2 − a2β0 β2 = b1 − a1β0 − a2β1 β2 = b0 − a0β0 − a1β1 − a2β2
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于是
x1 = x2 + β1u x2 = x3 + β2u x3 = −a0 x1 − a1x2 − a2 x3 + β3u
例：如图所示电路，
u(t) 为输入量，uC (t)
为输出量。
建立方程：
L
di(t dt
)
+
Ri(t
)
+
uC
(t
)
=
u
(t
)
i = C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t =t0
= i(t0 )
uC (t) t=t0 = uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的
+
b0u
选择 n 个状态变量：
x1 = y − β0u x2 = x1 − β1u x3 = x2 − β2u
#
xn = xn−1 − βn−1u
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⎡ x1 ⎤
⎡ ⎢
系统方程：
⎢ ⎢
x2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0 #
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢0 ⎢⎣− a0
⎡ d11 " d1r ⎤
D
=
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
⎢⎣dm1 " dmr ⎥⎦m×r
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如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这 样的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant） 系统。
如果这些元素中有 些是时间 t 的函数， 则称系统为线性时 变系统。
机械系统的系 统方程为：
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡0
⎢⎢⎣−
k m
1 −f
m
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
0 1
m
⎤ ⎥ ⎥⎦
F
y = [1
0]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
该系统的状态图：
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例：建立电枢控制直流 他励电动机的状态空间 表达式。
电枢回路的电压方程为：
LD
diD dt
+
RDiD
+
Keω
= uD
系统运动方程式为：
KmiD
−
fω
=
JD
dω
dt
式中，Ke 为电动势常数； Km 为转矩常数； JD 为折合到电动机 轴上的转动惯量；f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
可电选压择uD电为枢输电入流量，iD角和速角度速度ω 为ω 输为出状量态。变量，电动机的电枢
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣ ym ⎦
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⎡a11 " a1n ⎤
A=
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
⎢⎣an1 " ann ⎥⎦n×n
⎡ c11 " c1n ⎤
C
=
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
⎢⎣cm1 " cmn ⎥⎦m×n
⎡b11 " b1r ⎤
B
=
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
⎢⎣bn1 " anr ⎥⎦n×r
+
b0u
Laplace变换，求传递函数
Y (s) R(s)
=
bn−1sn−1 + bn−2sn−2 + " + b1s + b0 ansn + an−1sn−1 + " + a1s + a0
引入辅助变量 z
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返回到微分方程形式：
z(n)
+
a z (n−1) n−1
写成矩阵形式 ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
0
⎥⎥u
⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣− a0 − a1 − a2 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣b0 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = [1
0
0
]⎢⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
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Leabharlann Baidu+"
+
a1z
+
a0 z
=
u
以及
b z(n−1) n−1
+"+
b1z
+
b0 z
=
y
选择状态变量：
x1 = z x1 = x2 = z x2 = x3 = z
┆ xn−1 = xn = z (n−1)
xn = z(n) = −a0 x1 − a1x2 −" − −an−1xn + b0u
∑ 根据牛顿第二定律
F = F − ky − f dy = m d 2 y
dt
dt 2
即：
d2y m
+
f
dy
+ ky =
F
dt 2 dt
选择状态变量 x1 = y x2 = y = x1
则：
x1 = x2
x2
=
−
k m
y
−
f m
dy dt
+
1 m
F
=
−
k m
x1
−
f m
x2
+
1 m
F
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写成矩阵形式：
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡ x1 ⎤ ⎡β1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
β
2
⎥⎥u
=
Ax
+
bu
⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣− a0 − a1 − a2 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣β3 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = x1 + β0u = [1
0
0]⎢⎢x2
3. 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定。 （2）状态变量选取的非惟一性。
在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 = uC x2 = x1 = uC
则其状态方程为：
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢⎢⎣−
0 1
LC
1 −R
L
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
1]
⎡iD
⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
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二、由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。 通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。 这里分两种情况： （1）微分方程中不含输入信号导数项； （2）微分方程中含有输入信号导数项。
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式， 或称为系统动态方程，或称系统方程。
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设： x1 = i(t)
C = [0 1]
x2 = uC (t)
x
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
A = ⎢⎢⎢⎡-1RL
-
1 L
⎤ ⎥ ⎥
0⎥
⎣C ⎦
⎡1⎤
b
=
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写成矩阵形式：
⎡ x1 ⎤
⎡ ⎢
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0 #
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢0 ⎢⎣−a0
1 0 # 0 −a1
0 1 # 0 −a2
0 0 # 0 −a3
" 0⎤
⎡0⎤
"
" "
0 #
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
x1
x2 #
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状态空间表达式: 状态图：
⎡ ⎢ ⎢
diD dt
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡⎢− ⎢
RD LD
⎢ dω ⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎣
Km JD
− −
Ke LD f JD
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡iD
⎢⎣ω
⎤ ⎥⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 LD 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
uD
y = [0