高等数学-点积叉积
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量 a,b的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos
x r
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
y x2 y2 z2
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的坐标表示式!!!
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k k )
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
k
(axby aybx ) k
b 故 ab
记作
Pr ja b
ar Pr
jar
r b
同理
,当
b
0
时,
2. 性质
(1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
=
axbx ayby azbz 0
则 ab 0
a
bx ax
0,
by
ba
y
0
bz az
向量在数轴上的投影(简介)
a
记作
Pr jx a
同理可定义向量在y, z轴上的投影
QF
O
LP
M OP M F
F
oP
M
1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 右图三角形面积
S＝
c ab
a b
2. 性质
(1) a a 0
五、向量的模、方向角、投影
1r. 向量的模与两点间的距离公式
a (ax , a y , az ),
r
a
ax2
a
2 y
az2
与
(x2 x1 , y2 y1 , z2 z1),
两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 方向角与方向余弦 3. 向量在轴上的投影,在§8.2简介 设有两非零向量 任取空间一点 O ,
单位时间内流过的体积
非均匀的(大小方向均变化)?
v
在第11章我们也能解决,这就是数学的魅力.
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OP F sin
OP F M 符合右手规则
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
在第一卦限
, 故cos
1ห้องสมุดไป่ตู้2
,
于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
c2 a2 b2 2abcos
4. 数量积的坐标表示!!!
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
2. 性质 (1) (2)
x
3. 点积的运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
A
B M
故
AMB
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) . 解: P v
为单位向量
A vn
平面域→曲面域
A
且曲面上每一点处的流速是
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
a b sin 0
sin 0，即 0 或
a∥ b
3. 运算律
bx
b
y
bz
(1) a b b a (交换律不成立!!!) ax a y az
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
AMB .
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
第八章
§8.2 数量积 向量积 *混合积
简单介绍定义
一、两向量的数量积 及计算.
二、两向量的向量积
一、两向量的数量积
1. 定义 设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
ab
为a与b的数量积 (点积) .
在物理学中,
W F
s cos
r F
sr
M1 s
M2
b在 a上的投影为
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
Ab
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
思考：若 , , 是向量与三坐标面的夹角，
２
例7. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos
x r
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
y x2 y2 z2
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的坐标表示式!!!
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k k )
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
k
(axby aybx ) k
b 故 ab
记作
Pr ja b
ar Pr
jar
r b
同理
,当
b
0
时,
2. 性质
(1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
=
axbx ayby azbz 0
则 ab 0
a
bx ax
0,
by
ba
y
0
bz az
向量在数轴上的投影(简介)
a
记作
Pr jx a
同理可定义向量在y, z轴上的投影
QF
O
LP
M OP M F
F
oP
M
1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 右图三角形面积
S＝
c ab
a b
2. 性质
(1) a a 0
五、向量的模、方向角、投影
1r. 向量的模与两点间的距离公式
a (ax , a y , az ),
r
a
ax2
a
2 y
az2
与
(x2 x1 , y2 y1 , z2 z1),
两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 方向角与方向余弦 3. 向量在轴上的投影,在§8.2简介 设有两非零向量 任取空间一点 O ,
单位时间内流过的体积
非均匀的(大小方向均变化)?
v
在第11章我们也能解决,这就是数学的魅力.
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OP F sin
OP F M 符合右手规则
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
在第一卦限
, 故cos
1ห้องสมุดไป่ตู้2
,
于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
c2 a2 b2 2abcos
4. 数量积的坐标表示!!!
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
2. 性质 (1) (2)
x
3. 点积的运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
A
B M
故
AMB
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) . 解: P v
为单位向量
A vn
平面域→曲面域
A
且曲面上每一点处的流速是
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
a b sin 0
sin 0，即 0 或
a∥ b
3. 运算律
bx
b
y
bz
(1) a b b a (交换律不成立!!!) ax a y az
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
AMB .
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
第八章
§8.2 数量积 向量积 *混合积
简单介绍定义
一、两向量的数量积 及计算.
二、两向量的向量积
一、两向量的数量积
1. 定义 设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
ab
为a与b的数量积 (点积) .
在物理学中,
W F
s cos
r F
sr
M1 s
M2
b在 a上的投影为
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
Ab
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
思考：若 , , 是向量与三坐标面的夹角，
２
例7. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2