第四章数值计算
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数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
第四章-传热学数值计算方法
xe xe
fekP
1
fe kE
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke
1 2
kP
kE
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②.调和平均法
Thermal
利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
12 /72
③.两种方法的比较
Thermal
算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
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3 /72
Thermal
④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2 一维稳态热传导
Thermal
§4.2-1 基本方程
一维稳态导热问题的控制方程：
其中：S SC SPTP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aP aE aW SPx b SCx
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太原理工大学
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
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两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
数值计算方法第4章4-06反插值
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p(3) (3 0)(3 4) 0 (3 1)(3 4) 2 (3 1)(3 0) 10 8
(1 0)(1 4)
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
（2）由于 f (x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反
函数表
y f (x)
-1
0
2
10
1
x f 1(y) - 3
-1
0
4
?
已知连续函数 f ( x) 在x 1,0,2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛
顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。（2） f ( x) 0.5 时，x 的近似值。
解 （1）根据已知条件列表
x
-3 -1
0
4
3
f (x) - 1
0
2
10
？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
p(x) (x 0)( x 4) 0 (x 1)( x 4) 2 (x 1)( x 0) 10 将
(1 0)(1 4)
y f (x) 则 x f 1 ( y) ，有函数表。
y
-4
-1
0
3
0.5
x
-1
0
2
3
?
根据已知 x f 1 ( y) 的函数值，构造差商表。
y
x
-4
-1
-1
0
0
2
3
3
牛顿插值多项式
一阶
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热流问题数值计算Chapter 4
主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER 2007年11月27日, 西安第四章势流及管道内充分发展流动的数值计算热流问题的数值计算4.1 势流的控制方程4.1.1势流的基本概念4.1.3势流的势函数方程及边界条件2. 流函数方程3. 流函数方程的边界条件4.1.2二维不可压缩无粘流动的控制方程1. 涡量守恒方程4.1.1 势流的基本概念2.势流(potential flow )理想、不可压缩的无旋流动（涡量为零）称为势流，有重要工程应用，如机翼绕流。
不可压缩的无粘流动由Euler 方程与连续性方程4.1.2二维不可压缩无粘流动的控制方程所描写，对二维问题，有4.1.3 势流的流函数方程及边界条件u v ∂∂=−涡量守恒方程u ωω∂+)0v ω=将流函数的定义代入涡量定义式：22u y y ψω∂=−∂）进出口条件结合具体问题介绍。
4.2.1 物理问题及其数学描写4.2.1 物理问题及其数学描写设有位于如图所示二维平板通道流场内的一圆柱利用对称性，取1/4区域即可。
没有流体横穿，流函数取为零；进口a-e:对称线a-b ：按定义u y ψ∂=∂y流函数边界条件分析：4.2.2 网格生成极具挑战性矩形网格，特殊点补充方程3.组合网格(composite grid)••4.非结构化网格(unstructured grid)••4.2.3 数值方法所离散求解的是一个稳态、无内热源、常物性的导热方程：•如果只采用矩形网格，则需对与网格线相交的圆柱周界上的点，构造与其相邻内点的特殊离散方程。
••对（i,j)构造其离散方程,其与邻点1，2距离分别为ΔΔ。
,a xb y以构造i,j的∂Taylor展开=(a)T T对所有与圆柱边界相邻的内点均重构类似的离散方程，即获得封闭的方程组，再用ADI求解代数方程。
4.2.4 数值结果的分析讨论1. 流函数分布2. 速度分布与压力根据各节点的流函数之值，按定义用有限差分：势流的多个圆柱绕得出：实际的粘性流动当Re数不十分小时，在圆柱后半必有流动分离产生：绕流管排则如：顺排（Aligned tube row)叉排（Staggered tube row)通过5，6两章的学习即可进行这样的模拟。
MATLAB数值计算
(1)代数多项式求值
y = polyval(P,x)
若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则 对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
（2）矩阵多项式求值 Y = polyvalm(P,X)
•
polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值
设A为方阵，P代表多项式x3-5x2，那么polyvalm(P,A)的含义是： A*A*A-5*A*A 而polyval(P,A)的含义是： A.*A.*A-5*A.*A
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
(2) k = polyder(P,Q)
例：求有理分式的导数。 命令如下： P=[1]; Q=[1,0,5]; [p,q]=polyder(P,Q)
求两个多项式乘积P·Q的导函数
(3) [p,q] = polyder(P,Q)
求两个多项式除法P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
8. 多项式积分
例：求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S=
0.9008 n= 77
(2) 牛顿－柯特斯法
➢ method 用 于 指 定 插 值 的 方 法 ： ‘ l i n e a r ’ 、 ‘nearest’、‘cubic’、‘spline’
➢ X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会 给出“NaN”错误。
运行结果如下图所示。
代数方程
线性方程
数值计算方法 代数精度 - 代数精度
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
这是关于 Ak的线性方程组，其系数矩阵
1
x0
x02
x0n
1 1
x1
xn
x12
xn2
x1n xnn
是范得蒙德矩阵,当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,故 Ak 有唯一解。
典型例题
例2
试确定一个至少具有2次代数精度的公式
f
(1)
20
f
(3)
结构分析
2 .如 果 参 数 x k 和 Ak均 未 知 ， 则 方 程 组 为 非线 性 的
A0 A1 An b a
A0 x0 A0 x0n
A1x1
An xn
b2
2
a2
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
非线性方程组求解很困难
定理
n+1个节点的求积公式
1
2
左右相等
典型例题
当 f ( x )分 别 为 常 数x 2或 x 3时 ,
2 f ( x) x2 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x2 1
3
1
2
1 f ( x) x3 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x3 0
n
Ak
x
m k
k0
1 m 1
bm1 a m1
b x mdx
a
构 造 求 积 公 式, 原 则 上 是 确 定 参 数x k和 Ak的 代 数 问 题.
结构分析
A0 A1 An b a
1.如
数值计算方法第04章矩阵特征值与特征向量的计算
3 2 7 A1 3 4 1 2 1 3
• 计算出k=2时的x和y。 • (保留四位有效数字)
22
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖 于比值 2 ／1 ，当比值接近于1时，幂法收敛 很慢。幂法加速有多种，介绍两种。
23
幂法的加速—原点移位法 应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
26
4 14 0 , 2.9, 用原点移位法求矩 例：A 5 13 0 0 1 0 2.8 -4 阵A的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。 解：取x (0) (1,1,1)T , 按x ( k 1) ( A pI )x (k )进行计算 0 6.9 14 A 0 I 5 10.1 0 0 0.1 1 (3.1000568, 2.214326, 0.9687661) 4 3.1000568
在一定条件下, 当k充分大时: 相应的特征向量为:
x 1 x
x
( k 1)
( k 1 ) i (k ) i
10
幂法的理论依据 对任意向量x(0), 有 x ( 0 ) i ui , 设1不为零.
i 1 n
x
( k 1 )
Ax
n i 1
(k )
A
k 1
x
(0) n
1 Ak 1 i ui i k i ui i 1
k 1 1
2 k 1 n k 1 1u1 ( ) 2 u2 ( ) n un 1 1
k 1 1 1u1
故 1 xi( k 1) xi( k ) x(k+1)为1的特征向量的近似向量(除一个因子外).
• 计算出k=2时的x和y。 • (保留四位有效数字)
22
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖 于比值 2 ／1 ，当比值接近于1时，幂法收敛 很慢。幂法加速有多种，介绍两种。
23
幂法的加速—原点移位法 应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
26
4 14 0 , 2.9, 用原点移位法求矩 例：A 5 13 0 0 1 0 2.8 -4 阵A的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。 解：取x (0) (1,1,1)T , 按x ( k 1) ( A pI )x (k )进行计算 0 6.9 14 A 0 I 5 10.1 0 0 0.1 1 (3.1000568, 2.214326, 0.9687661) 4 3.1000568
在一定条件下, 当k充分大时: 相应的特征向量为:
x 1 x
x
( k 1)
( k 1 ) i (k ) i
10
幂法的理论依据 对任意向量x(0), 有 x ( 0 ) i ui , 设1不为零.
i 1 n
x
( k 1 )
Ax
n i 1
(k )
A
k 1
x
(0) n
1 Ak 1 i ui i k i ui i 1
k 1 1
2 k 1 n k 1 1u1 ( ) 2 u2 ( ) n un 1 1
k 1 1 1u1
故 1 xi( k 1) xi( k ) x(k+1)为1的特征向量的近似向量(除一个因子外).
现代数值计算方法第四章
现代数值计算方法第四章第四章：数值微分和数值积分引言：在许多实际问题中，我们需要计算函数的导数和积分。
然而，很多函数并没有简单的解析形式，所以我们需要使用数值方法来近似计算它们的导数和积分。
在本章中，我们将介绍一些常见的数值微分和数值积分方法，包括差分法、梯形法和辛普森法等。
一、数值微分方法1.差分法差分法是一种简单而常用的数值微分方法。
其基本思想是通过计算函数在两个相邻点上的差值来近似计算函数的导数。
差分法的一阶准确度可以通过使用中心差分来提高。
2.中心差分法中心差分法是一种提高差分法精度的常见方法。
它使用了函数在两个相邻点的斜率来近似计算函数在这两个点的导数。
由于中心差分法能够利用更多的信息，因此它的精度比一阶差分法更高。
3.高阶差分法在一些需要更高精度的情况下，可以使用高阶差分法进行数值微分。
高阶差分法可以使用更多的点来进行近似计算，从而提高精度。
二、数值积分方法1.矩形法矩形法是一种简单而直观的数值积分方法。
其基本思想是将函数在积分区间上近似为若干个矩形，并求得这些矩形的面积之和。
矩形法的准确度随着矩形数量的增加而提高。
2.梯形法梯形法是一种常见的数值积分方法。
它通过将函数在积分区间上近似为若干个梯形，并求得这些梯形的面积之和来进行数值积分。
梯形法的准确度要比矩形法高。
3.辛普森法辛普森法是一种较高精度的数值积分方法。
它通过将函数在积分区间上近似为若干个二次曲线，并求得这些二次曲线的面积之和来进行数值积分。
辛普森法的准确度要比梯形法高。
三、误差分析数值微分和数值积分都会引入一定程度的误差。
因此，对于得到的数值结果，我们需要进行误差分析，以确定近似结果的可靠性。
误差分析的常见方法包括截断误差和舍入误差等。
结论：数值微分和数值积分是求解实际问题中常用的方法。
在本章中，我们介绍了差分法、中心差分法、高阶差分法以及矩形法、梯形法和辛普森法等常见的数值微分和数值积分方法。
通过这些方法，我们可以近似计算函数的导数和积分，以便解决实际问题。
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
取初始值：
如果用高斯-赛德尔迭代法 迭代72次得：
用SOR迭代法 ，只须迭代25次即得：
逐次超松弛迭代算法
下列算法假定迭代矩阵收敛，否则要在WHILE循环中增加判断条件。
1．定义和输入系数矩阵 与常数项向量 的元素，输入松弛因子 的值。
2．FOR i:=1,2,…,n
//假定 ，形成常数项向量
FOR
当方程组的系数矩阵 具有某些性质时，可直接判定由它生成的雅可比迭代矩阵是收敛的。
定理4.3若方程组 的系数矩阵 ，满足下列条件之一，则其雅可比迭代法是收敛的。
（1） 为行对角占优阵，即
（2） 为列对角占优阵，即
证明：（1）雅可比迭代矩阵 其中
（2） 为列对角优阵，故 为行对角占优阵，由系数矩阵 构造的迭代矩阵 为行对角占优阵，则有
通常，把 的迭代称为亚松弛迭代，把 的迭代称为高斯-塞德尔迭代，而把 的迭代称为松弛迭代。
4.4
在线性代数中逆矩阵是按其伴随矩阵定义的，若 则方阵 可逆，且 ，其中 为 的伴随矩阵。要计算 个 阶的列式才能得到一个伴随矩阵，在数值计算中因其计算工作量大而不被采用。通常对 做行的初等的效换，在将 化成 的过程中得到 。在数值计算中，这仍然是一种行之有效的方法。
事实上，在计算 前，已经得到 的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此 的计算公式可改为：
即用向量 计算出 的值，用向量 计算出 的值 ，用向量 计算出 的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。
对于方程组AX=y，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好，但是情况并非总是如此。
又
得到
而 ，
如果用高斯-赛德尔迭代法 迭代72次得：
用SOR迭代法 ，只须迭代25次即得：
逐次超松弛迭代算法
下列算法假定迭代矩阵收敛，否则要在WHILE循环中增加判断条件。
1．定义和输入系数矩阵 与常数项向量 的元素，输入松弛因子 的值。
2．FOR i:=1,2,…,n
//假定 ，形成常数项向量
FOR
当方程组的系数矩阵 具有某些性质时，可直接判定由它生成的雅可比迭代矩阵是收敛的。
定理4.3若方程组 的系数矩阵 ，满足下列条件之一，则其雅可比迭代法是收敛的。
（1） 为行对角占优阵，即
（2） 为列对角占优阵，即
证明：（1）雅可比迭代矩阵 其中
（2） 为列对角优阵，故 为行对角占优阵，由系数矩阵 构造的迭代矩阵 为行对角占优阵，则有
通常，把 的迭代称为亚松弛迭代，把 的迭代称为高斯-塞德尔迭代，而把 的迭代称为松弛迭代。
4.4
在线性代数中逆矩阵是按其伴随矩阵定义的，若 则方阵 可逆，且 ，其中 为 的伴随矩阵。要计算 个 阶的列式才能得到一个伴随矩阵，在数值计算中因其计算工作量大而不被采用。通常对 做行的初等的效换，在将 化成 的过程中得到 。在数值计算中，这仍然是一种行之有效的方法。
事实上，在计算 前，已经得到 的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此 的计算公式可改为：
即用向量 计算出 的值，用向量 计算出 的值 ，用向量 计算出 的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。
对于方程组AX=y，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好，但是情况并非总是如此。
又
得到
而 ，
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t2=[t,t(end)+d];
y2=[y,nan];
stairs(t2,y2,':k')
hold on
plot(t,y,'r','LineWidth',3)
h=stem(t,y,'LineWidth',2);
set(h(1),'MarkerSize',10)
axis([0,pi/2+d,0,1.5])
yxx=(xx+pi).*exp(abs(sin(xx+pi)));
plot(xx,yxx) xlabel('x'),grid on
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
[xx,yy]=ginput(1)
xx =
%执行后吧十字点对准极值点点击
-6.4885e-007
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clear sum求得积分 trapz求得积分 cumtrapz求得积分
d=pi/8; 1.5762 1.3013 t=0:d:pi/2;
0 0.1537 0.4462 0.8450 1.3013
y=0.2+sin(t);
s=sum(y);
s1=d*s;
或s_n=dblquad(‘x.^y’,0,1,1,2 )
s_n =
0.405466267243508
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4.1.4 函数极值的数值求解
（1）求一元函数的最小值点
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,
x2,option)
786 b= 12 15 15 c=
123
579 ©通M信A与T电L子A工B程语学院言1电2 子教15案 15
3：St=trapz(x,y) 给出采样点（x,y）所连折线下的面积，即 函数y在自变量区间x上的近似积分. 4：Sct=cumtrapz(x,y) 求累计积分 如：s=dt*cumtrapz(Ft); %计算从0开始到每个采样点为止的区间内， Ft曲线下的面积，这个面积是由一个个宽 度为dt的小梯形面积累加而得的。
yy =
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sx =
（1）用匿名函数表1.0示00测0 试-0.6函89数7 0.4151 8.0886
ff=@(x)(100*(x(2)1-.x00(100).^-12.)9^1628+(14-.9x6(413))^72.8)0;04 %（注2）意编用写单，纯不形用法xss2fe,求yv.x4a表it1l多1==示2元e-0函10 数极小值点 x0=[-5,-2,2,5;-5,-21,2,5]; %提供4个搜索起点 [sx,sfval,sexit,ssoouutptputu=t]=fminsearch(ff,x0)
1
fval =
output =
3.1416
iterations: 21
一般解题时后两个输 出参数可以省略！
funcCount: 22 algorithm: [1x46 char]
me©s通Ms信A与aT电gL子Ae工B程: 语学[1院言x电1子1教2 案char]
（2）图形法
xx=-pi/2:pi/200:pi/2;
fun是目标函数名，x1和x2限定自变量的取值范
围。四个输出参数分别表示：极小值点；函数
值；判断是否成功搜到极值点（是否大于0）；
算法。
（2）求多元函数的极值点
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,
x0,option)
求多元函数fun从x0开始的极小值x,该点的函数
[FX,FY]=gradient(F，h) 求二元函数的梯度，FX,FY 与F的大小相同，分
别表示列、行元素间的“梯度”，h是沿坐标取
点的步长，默认步长为1。
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【例】 F=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] [FX,FY]=gradient(F) [FX_2,FY_2]=gradient(F,0.5)
legend('x(t)','dx/dt')
xlabel('t')
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（2）增量取适当
d=pi/100;
t=0:d:2*pi;
x=sin(t);
x_d=sin(t+d);
dxdt_d=(x_d-x)/d;
plot(t,x,'LineWidth',5)
hold on plot(t,dxdt_d) hold off
Itrapz =
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(1)符号计算法
syms x y
s=vpa(int(int(x^y,x,0,1),y,1,2))
s=
.40546510810816438197801311546432
（2）数值积分法
匿名函数解释见P150
format long
s_n=dblquad(@(x,y)x.^y,0,1,1,2)
%小矩形面积之和
s2=d*trapz(y); %折线下面积,可用s_ta=trapz(t,y)代替
s3=d*cumtrapz(y); %折线下累计面积
disp(['sum积分',blanks(3),'trapz积分‘,’ cumtrapz积分’
disp([s1,s2,s3])
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4.1.2数值求和与近似数值积分
指令：
1：SX=sum(X)
按列求和，生成一个行向量，各元素是X各
列元素之和。
2：Scs=cumsum(X)
沿列方向求累计和，Scs大小与X的相同，
Sxs(i,k)是X的第k列的 前i个元素之和。
a= 123 456
[例] a=[1 2 3;4 5 6;7 8 6], b=sum(a),c=cumsum(a)
值为fval.
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（1）优化算法
x1=-pi/2; x2=pi/2;
yx=@(x)(x+pi)*exp(abs(sin(x+pi)));
[xn0,fval,exitflag,output]=fminbnd(yx,x1,x2)
xn0 =
exitflag =
-1.2999e-005
F= 123 456 789
FX = 111
FX_2 = 222 222 222
FY_2 =
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（1）x=eps;
L1 = Ls1 =
L1=(1-cos(2*x))/(x*sin(x)), L2=sin(x)/x
02
L2 = Ls2 =
（2）syms t %可靠的符号计算
y0=[1;0];
[t,y]=ode45(@DyDt,tspan,y0);
plot(t,y(:,1)) %x1=x(t)的解
xlabel('t'),title('x(t)') 4
3
2
（4）x(2)为dx/dt的解
dx/dt
1 0
-1
plot(t,y(:,2))
-2
xlabel('t'),ylabel('dx/dt')
…
（3）检查目标函Co数lu值mns 1 through 3 format short e 2.4112e-010 5.7525e+002 2.2967e+003 disp([ff(sx(:,1))C,fof(lusmxn(:4,2)),ff(sx(:,3)),ff(sx(:,4))])
3.3211e+005
增量适当，所求 导函数光滑
legend('x(t)','dx/dt')
xlabel('t') 注意：数值导数的使用应十分谨慎，
自变量增量的取值应适当，符号求导合适。
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clf d=pi/100; t=0:d:2*pi; x=sin(t); dxdt_diff=diff(x)/d; dxdt_grad=gradient(x)/d; hold on plot(t,dxdt_grad,'m','LineWidth',8) plot(t(1:end-1),dxdt_diff,'.k','MarkerSize',8)
S2=dblquad(f,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,) 该函数求f(x,y)在[xmin,xmax]×[ymin,ymax]区 域上的二重定积分。参数tol的用法与函数quad 完全相同
S3=triplequad(f,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,
zmax,tol) 该函数求f(x,y)在区域上的三重定积分。参数 tol的用法与函数quad完全相同
hold off
shg
注意：以上求积分办
法精度难控制，不常
用。
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