材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
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C左 C右 不光滑
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
边界条件
ω
P
B
x 0: 0
A
a
C
x
k
x L : FBy
k
L
光滑连续性条件
x a:
C 左
C
右
C左 C右
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x 0: 0
x L : FByh
EI z
挠曲线近似微分方程
适用范围： 线弹性、小变形; y轴向上，x轴向右；
§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d 2 M (x)
dx2 EIz
d
dx
'
M (x) EI z
dx C
积分二次：
(
M (x) EI z
dx)dx
Cx
D
转角方程 挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
tg 挠曲线在该点处的切线斜率；
挠曲线方程在该点处的一阶导数； 转角的正方向： 从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。
4、挠曲线微分方程
中性层处曲率:
1 M (x)
EI
y
y f (x)
x
对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
1 2
(x)
3 2
EIz
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；
由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。
该挠曲线微分方程是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
(x)
M (x)
1
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用； 如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
案例4： 桥梁如果产生过大变形
2
(x)
3 2
EIz
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
(x) (x) 0
1 2 (x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
'' M (x)
EI
符号规定：
M 0
ω M
d 2
dx2 0
M x
M 0
ω
d 2
dx2
0
M
Mx
挠曲线为凹曲线
挠曲线为凸曲线
弯矩M与二阶导数 y 符号一致。
'' M (x)
案例3： 当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
案例4：
蹦床 要有大变形， 才能积蓄能量，
将人体弹射到一定高度。
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外， 还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析 以及振动分析等方面。
二、弯曲变形的物理量
拉伸 F
扭转：
F
l FN l
EA
T l
G IP
弯曲变形的物理量如何？
内力 杆件长度 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线
x
2、挠度 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§6-2 挠曲线的微分方程
1、建立y 坐标系
楼板、 床、 双杠横梁 屋顶 等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
案例2： 安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS
要求其在碰撞的过程中有较大的变形 吸收落物或碰撞能量， 保证驾驶员的人身安全
平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线，
所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线，
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
1 M (x)
EI
1
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
M (x) EIz
(x) M (x)
q
A
B
L
EI' EI 1 qx3 C
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x 0:
0 0
梁的边界条件
简支梁： ω
x L
x 0: 0
xL: 0
连续性条件：
ω
边界条件
A
x 0: 0
xL: 0
P B
C a
x
L
光滑连续性条件
x a:
C 左
C
右
连续性
C 左 C 右 光滑性
连续性条件：
ω A
C a
M
B
x
L
xa:
特别强调
C左 C右 连续
(0 x L)
x L
2、代入挠曲线近似微分方程中
'' M (x)
EI z
EI'' 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C
6
转角方程
B x
积分二次： EI 1 qx4 Cx D
24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0 0
C 1 qL3 6
D 1 qL4 8
x
x
2、挠曲线方程：
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： f (x)
3、挠度、转角物理意义
y
x
①：挠度的物理意义：
挠曲线在该点处的纵坐标；
y
x
②：转角的物理意义
过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
边界条件
ω
P
B
x 0: 0
A
a
C
x
k
x L : FBy
k
L
光滑连续性条件
x a:
C 左
C
右
C左 C右
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x 0: 0
x L : FByh
EI z
挠曲线近似微分方程
适用范围： 线弹性、小变形; y轴向上，x轴向右；
§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d 2 M (x)
dx2 EIz
d
dx
'
M (x) EI z
dx C
积分二次：
(
M (x) EI z
dx)dx
Cx
D
转角方程 挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
tg 挠曲线在该点处的切线斜率；
挠曲线方程在该点处的一阶导数； 转角的正方向： 从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。
4、挠曲线微分方程
中性层处曲率:
1 M (x)
EI
y
y f (x)
x
对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
1 2
(x)
3 2
EIz
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；
由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。
该挠曲线微分方程是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
(x)
M (x)
1
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用； 如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
案例4： 桥梁如果产生过大变形
2
(x)
3 2
EIz
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
(x) (x) 0
1 2 (x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
'' M (x)
EI
符号规定：
M 0
ω M
d 2
dx2 0
M x
M 0
ω
d 2
dx2
0
M
Mx
挠曲线为凹曲线
挠曲线为凸曲线
弯矩M与二阶导数 y 符号一致。
'' M (x)
案例3： 当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
案例4：
蹦床 要有大变形， 才能积蓄能量，
将人体弹射到一定高度。
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外， 还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析 以及振动分析等方面。
二、弯曲变形的物理量
拉伸 F
扭转：
F
l FN l
EA
T l
G IP
弯曲变形的物理量如何？
内力 杆件长度 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线
x
2、挠度 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§6-2 挠曲线的微分方程
1、建立y 坐标系
楼板、 床、 双杠横梁 屋顶 等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
案例2： 安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS
要求其在碰撞的过程中有较大的变形 吸收落物或碰撞能量， 保证驾驶员的人身安全
平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线，
所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线，
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
1 M (x)
EI
1
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
M (x) EIz
(x) M (x)
q
A
B
L
EI' EI 1 qx3 C
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x 0:
0 0
梁的边界条件
简支梁： ω
x L
x 0: 0
xL: 0
连续性条件：
ω
边界条件
A
x 0: 0
xL: 0
P B
C a
x
L
光滑连续性条件
x a:
C 左
C
右
连续性
C 左 C 右 光滑性
连续性条件：
ω A
C a
M
B
x
L
xa:
特别强调
C左 C右 连续
(0 x L)
x L
2、代入挠曲线近似微分方程中
'' M (x)
EI z
EI'' 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C
6
转角方程
B x
积分二次： EI 1 qx4 Cx D
24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0 0
C 1 qL3 6
D 1 qL4 8
x
x
2、挠曲线方程：
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： f (x)
3、挠度、转角物理意义
y
x
①：挠度的物理意义：
挠曲线在该点处的纵坐标；
y
x
②：转角的物理意义
过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2