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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
（江西师大附中使用）高三理科数学分析
试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析
1．【试卷原题】11.已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点，且满足AB=AC，则ABAC⋅的最小值为（）→→→→
1 4
1B．- 2
3C．- 4
D．-1 A．-
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。

2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。

【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。

2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

2 2【解析】设单位圆的圆心为O，由AB=AC得，(OB-OA)=(OC-OA)，因为
，所以有，OB⋅OA=OC⋅OA则OA=OB=OC=1
AB⋅AC=(OB-OA)⋅(OC-OA) 2 =OB⋅OC-OB⋅OA-OA⋅OC+OA =OB⋅OC-
2OB⋅OA+1 设OB与OA的夹角为α，则OB与OC的夹角为2α
11所以，AB⋅AC=cos2α-2cosα+1=2(cosα-)2- 22 1即，AB⋅AC的最小值为-，故选B。

2→→
【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知
AB//DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60 ,动点E和F分别在线段BC和DC上,且, 1
BE=λBC,DF=DC,则AE⋅AF的最小值为. 9λ
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求AE,AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE⋅AF，体
现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】
1 1 【解析】因为DF=DC,DC=AB，9λ
2 1 1-9λ 1-9λ CF=DF-DC=DC-
DC=DC=AB，9λ9λ18λ29 18
AE=AB+BE=AB+λBC，
1-9λ 1+9λ AF=AB+BC+CF=AB+BC+AB=AB+BC，18λ18λ ⎛1+9λ ⎫1+9λ 2 2⎛
1+9λ⎫ AE⋅AF=AB+λBC⋅ AB+BC⎪=AB+λBC+
1+λ⋅⎪AB⋅BC18λ18λ18λ⎝⎭⎝⎭()
211717291+9λ19+9λ+λ+≥+= ⨯4+λ+⨯2⨯1⨯
cos120︒=9λ218181818λ18 212 29当且仅当. =λ即λ=时AE⋅AF的最小值为
9λ2318
2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C的焦点F(1,0)，其准线与x轴的=交点为K，过点K的直线l与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设FA⋅FB=→→8，求∆BDK内切圆M的方程. 9
【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线l的方程为y=m(x+1)，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。

【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。

2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。

3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】（Ⅰ）由题可知K(-1,0)，抛物线的方程为y2=4x
则可设直线l的方程为x=my-1，A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1)，
故⎨⎧x=my-1⎧y1+y2=4m2整理得，故 y-4my+4=0⎨2⎩y=4x⎩y1y2=4
2⎫y2+y1y24⎛则直线BD的方程为y-y2=x-(x-x2)即y-y2= ⎪ x2-x1y2-y1⎝4⎭
yy令y=0，得x=12=1，所以F(1,0)在直线BD上. 4
⎧y1+y2=4m2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知⎨，所以x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m-2，
⎩y1y2=4
x1x2=(my1-1)(my1-1)=1 又FA=(x1-1,y1)，FB=(x2-1,y2)
故FA⋅FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+5=8-4m， 2
2则8-4m=→→→→84,∴m=±，故直线l的方程为3x+4y+3=0或3x-4y+3=0 93
故直线
BD的方程3x-
3=0或3x-3=0，又KF为∠BKD的平分线，
3t+13t-1,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1)，M(t,0)到直线l及BD的距离分别为54y2-y1=
=-------------10分由3t+1
5=3t-1
43t+121= 得t=或t=9（舍去）.故圆M的半径为r=953
21⎫4⎛所以圆M的方程为 x-⎪+y2= 9⎭9⎝
【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国，22】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线
5y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝4
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.
【答案】（1）y2＝4x.
（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【解析】（1）设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝， p8
8pp8所以|PQ|，|QF|＝x0＝＋. p22p
p858由题设得＋＝p＝－2(舍去)或p＝2， 2p4p
所以C的方程为y2＝4x.
（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．
1又直线l ′的斜率为－m，所以l ′的方程为x＋2m2＋3. m
将上式代入y2＝4x，
4并整理得y2＋－4(2m2＋3)＝0. m
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4y3y4＝－4(2m2＋3)． m4⎛22⎫2故线段MN的中点为E 22m＋3，－，m⎭⎝m
|MN|＝4（m2＋12m2＋11＋2|y3－y4|＝. mm21
由于线段MN垂直平分线段AB，
1故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝， 2
1122从而＋|DE|＝2，即 44
4(m2＋1)2＋⎛⎫22⎫2⎛2 2m＋⎪＋ 22⎪＝ m⎭⎝⎝m⎭
4（m2＋1）2（2m2＋1） m4
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面：
1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则．
2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。

题型分值完全一样。

选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。