人教2011版初中数学九年级上册《正多边形和 正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》_21
正多边形九年级知识点
正多边形九年级知识点正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形。
在九年级几何学的学习中，正多边形是一个重要的知识点。
本文将介绍正多边形的定义、性质以及计算方法等相关知识。
1. 正多边形的定义正多边形是指所有边长和所有内角均相等的多边形。
常见的正多边形有正三角形、正四边形、正五边形等。
2. 正多边形的性质2.1 内角和外角和对于任意正多边形而言，其内角和与外角和之和均为360度。
以正五边形为例，其内角和为540度，外角和为360度。
2.2 内角的计算公式对于任意正n边形，其内角的度数可通过公式计算得出：内角度数 = (n - 2) × 180° / n2.3 外角的计算公式对于任意正n边形，其外角的度数可通过公式计算得出：外角度数 = 360° / n2.4 对边形和旋转对称性正多边形具有对边形，即对于任意一条边，其对边与其平行且长度相等。
而且，正多边形具有旋转对称性，即以任意顶点为中心旋转一定的角度后，其余顶点落在对应的位置上，形状保持不变。
3. 正多边形的计算3.1 边长的计算由于正多边形的边长相等，可以通过已知的其他参数计算出边长。
例如，已知正五边形的内角度数为108°，则可以使用内角度数计算公式来求得边长：边长 = (正五边形的内角度数所对应的直径长度) × (正五边形的外接圆半径)3.2 面积的计算正多边形的面积可以通过边长和高的计算公式得出。
例如，已知正六边形的边长为a，则可以使用边长和高的计算公式来求得面积：面积 = (正六边形的边长) × (正六边形的高) × 1/24. 正多边形的应用正多边形的概念和性质在实际生活中有广泛应用。
例如，建筑设计中常常使用正多边形来构建稳定和美观的结构；工程测量中可以通过正多边形的性质来计算建筑物的面积等。
总结：正多边形是九年级几何学中的一个重要知识点。
通过本文的介绍，我们了解到正多边形的定义和性质，以及计算边长和面积的方法。
人教版九年级数学上册《正多边形的计算》课件
1
1
lr nar
2
2
七、课堂检测
1.如图：正三角形ABC中，边心距OD
为3，求中心角、半径、边长？
解：
ABC 是正三角形
3600
中心角为
1200
3
OD AC且OA OC
AOD COD 600
COD 300
OC 2OD 6, CD
于它的半径。
因此，亭子地基的周长
l=6×4=24（m）
作OP⊥BC，垂足为P，在
Rt△OPC中，OC=4m，PC=BC/2=2
（m），利用勾股定理，可得边心距
r 42 - 22 2 （m
3 ）
亭子的地基面积
1
1
s lr 24 2 3 41.6(m 2 )
2
2
五、牛刀小试
度数?
5.正n边形呢？
正六边形有六个中心角，他们都
相等，中心角的和为360°，每个中
心角的度数为
360
中心角为 n
360O
6
。
，即60°，正n边形
二、小组合作
你能找出图形中的直角三角
形吗？它的三边由什么组成？它
的三边满足什么定理？两个锐角
之间呢？边角之间呢？
RtOAH 和 RtOBH ，边长的一半，边
如图在正方形ABCD中，边心
距OE为1，求中心角、边长、周
长、面积？
解： 四边形ABCD是正方形
360o
中心角
90o
4
OE AB且OA OB
AOE BOE 45o , AE BE
AE OE 1
AB 2AE 2
人教版数学九年级上册24.3正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案
-突破方法：通过实际作图和数学推导，让学生直观感受到边长与半径的数学关系。
-正多边形面积的计算：掌握正多边形面积的计算方法，特别是通过半径计算面积的应用。
-突破方法：提供具体的计算步骤和例题，让学生通过反复练习掌握面积的计算方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过正多边形的形状？”（如地板砖、风筝等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正多边形的奥秘。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过正多边形的性质和与圆的关系的学习，使学生能够直观想象出正多边形的形状特征，理解其内在规律。
2.提升学生的逻辑推理和数学论证能力，让学生在探究正多边形性质的过程中，学会运用逻辑推理和数学论证的方法，形成严密的思维习惯。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正多边形的性质和与圆的关系这两个重点。对于难点部分，如内角与外角的关系、边长与半径的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正多边形相关的实际问题，如计算正多边形地板的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用绳子围成一个正多边形，观察边长与半径的关系。
3.增强学生的数学建模和问题解决能力，通过解决正多边形相关的实际问题，培养学生运用数学知识构建模型、解决问题的能力。
人教2011版初中数学九年级上册《正多边形和 正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》_22
《正多边形与圆》教学设计教学目标：1.知道正多边形的概念、正多边形与圆的关系；2.会画正多边形，会判定一个正多边形是轴对称图形还是中心对称图形；3.经历探索画正多边形的过程中，学会等分圆的方法.教学重难点：1.会画正多边形.2.通过阅读、探索，会用量角器和尺规画正多边形.教学过程一、创设情境学生欣赏生活中含正多边形的图案，从图片中发现各种正多边形.二、探究活动活动（一）探索正多边形的概念：课件展示图片，说出这些图形的共同特征吗？1、归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、概念辨析：下列哪些多边形是正多边形？（等边三角形、正方形、矩形、菱形）活动（二）探索正多边形与圆的关系1、学生小组合作：如何画出一个正多边形呢？。
2、思考：你能借助量角器用等分圆的方法画正三边形? 正四边形? 正六边形? 正n边形?3、小组合作画出一个正五边形。
4、引入圆的内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心等概念。
5、小组合作学习：（1）正 n 边形的中心角度数如何计算？（2）正 n 边形的一个外角度数如何计算？三、学以致用例：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4cm的正六边形(半径即为正六边形外接圆的半径)，求地基的周长和面积.探究学习：1、亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就是求什么图形的周长和积？2、正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子的三角形？2、观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？4、将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法。
5、正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割成全等直角三角形的个数是多少？每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？四、巩固练习（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___个全等的直角三角形；（2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心距为______，面积为________．若正三角形边长为 a，则半径为______；（3）正 n 边形的一个外角为30°，则它的边数为____，它的内角和为______；（4）如果一个正多边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正多边形的边数 n =____；（5）正六边形的边长为 1，则它的半径为_____，面积为________；（6）同圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为________________；（7）正三角形的高∶半径∶边心距为_________；（8）边长为 1 的正六边形的内切圆的面积是___。
九年级数学上册 3.7《正多边形》
概念学习
一、探究：正多边形
下列图形从边，角的角度来看，分别有什么特征？
正三 角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
正多边形概念:
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
巩固练习
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
不是，因为四条边 相等，但是四个角 不相等。
不是，因为四个角 相等，但是四条边 不相等。
画：
已知正三角形，用直尺和圆规做它的外接圆.
画圆的两个条件？
确定圆心和半径
做法：做正三角形各边 的垂直平分线，其交点 就是圆心，圆心到三角 形顶点的连线就是圆的 半径。
探索新知
思考：
如何画一个边长为2cm的正六边形， 你有什么方法呢？
如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画
日常生活中, 我们经常能看到正多边形的物体,利 用正多边形,我们也可以得到许多美丽的图案,你还 能举出一些这样的例子吗?
探索新知
二、探究：正多边形的性质
108°
每条边都相等 60°
每个角都相等
135°
正n边形内角和：
(n－2)×180°
巩固练习
做一做：
已知一个多边形的内角为176.4°，这个正多 边形是几边形？
作业：
1、用正多边形设计一种你喜欢的图案. 2、完成课本100页第1、2、3题.
再见！
请大家想一想有没有内角为100°的正多边形？
探索新知
三、探究：正多边形轴对称性和中心对称性
1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗？都是 中心对称图形吗？ 2.用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对 称性，以及轴对称图形的条数。
人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆课件
E
新知探究
知识点2
正多边形的相关概念及计算
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
E
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边
所对的圆心角.
D
半径R
F
正多边形的边心距：中心到正多边形的一
边的距离.
中心角
.
C
O
边心距r
A
B
新知探究
A
正多边形中的有关概念：
中心
半径
中心角
边心距
2
面积为4×4-(48-32 2)=(32 2-32)cm2.
2
1 4 48 32 2 cm2 .
2
新知探究
综合应用
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交
于点P，CF=DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
新知探究
(1)证明：在正五边形ABCDE中，
边数是偶数的正多边形还是
是对称中心.
中心对称图形
，它的中心就
新知探究
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分
成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
新知探究
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边
过点O作OP⊥BC于P.
4
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝ 2 = 2=2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,
(部编)人教数学九年级上册《正多边形和 正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》_31
24.3 正多边形和圆一．选择题（共12小题）1．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（）A．B．5 C．D．52．下列关于圆的叙述准确的有（）①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN 边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣15．如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A．B．C．D．6．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF=8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．10 B．20 C．18 D．209．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．10．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（1，）D．（﹣1，）11．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm12．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（）A．6 B．12 C．6 D．6二．填空题（共6小题）13．圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是cm．14．正六边形的边长为4cm，它的半径等于cm．15．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于．16．如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为．17．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB 的度数为度．18．如图，有一个正六边形图片，每组平行的对边距离为3米，点A是正六边形的一个顶点，现点A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好落在数轴点A′上，则点A′对应的实数是．三．解答题（共6小题）19．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB=EF；（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．20．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．21．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．22．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．24．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN 相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：正多边形正方形正五边形正六边形…正n边形∠BQM的度数…参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE=10，所以这个正六边形外接圆半径是，故选：B．2．【解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，所以①准确；圆的切线垂直于过切点的半径，所以②错误；正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数，所以③准确；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以④准确．故选：C．3．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线的长为2，∴正方形的外接圆的直径为2，∴正方形的外接圆的面积=2π，故选：C．4．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，故选：D．5．【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH==，∴“三叶轮”图案的面积=（﹣×1×）×6=π﹣，故选：B．6．【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，所以圆的半径为，所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=，故选：B．7．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108°，BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=×（180°﹣∠C）=36°，∴∠ABD=108°﹣36°=72°，∴∠EAB+∠ABD=180°，∴AE∥BD，故本选项不符合题意；B、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB==72°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣72°）=54°，∵FA切⊙O于A，∴∠OAF=90°，∴∠FAB=90°﹣54°=36°，∵∠ABD=72°，∴∠F=72°﹣36°=36°=∠FAB，∴AB=BF，故本选项不符合题意；C、∵∠F=∠CDB=36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；D、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF=∠AHD=90°，∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，∴∠ADF=108°﹣36°﹣36°=36°=∠F，∴AD=AF，∴FH=DH，当∠F=30°时，AF=2AH，FH=DH=AH，此时DF=AF，∴此时∠F=36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；故选：D．8．【解答】解：作出正方形MNQR，如图所示：△AMB中，AM=x，则BM=x，AB=x，正八边形的边长是x．则正方形的边长是（2+）x．根据题意得：x（2+）x=20，解得：x2=10（﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．故选：B．9．【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，它们的边长相等，由正六边形能够分割为6个全等的三角形，则阴影部分与空白部分的面积比为：=．故选：A．10．【解答】解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2018÷6=336 (2)∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH=∴顶点A的坐标为（1，），故选：A．11．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，∴a=2．故选：A．12．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=30°，∴边心距OG=OB?sin∠OBG=12×=6；故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．∵OH⊥BC，∴BH=CH=6，在Rt△OBH中，OH=BH?tan30°=6×=2（cm），故答案为：2．14．【解答】解：∵此多边形为正六边形，∴∠AOB==60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4cm，故答案为：415．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是5，因而面积是×5×=cm2，因而正六边形的面积cm2．故答案为cm2．16．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，故答案为84°．17．【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，∴OA⊥AE，OC⊥CD，∴∠OAE=∠OCD=90°，∵∠BCD=108°，∴OCB=108°﹣90°=18°故答案为18．18．【解答】解：如图作BH⊥OC于H．∵BC=BO，BH⊥OC，∴CH=HO=，在Rt△CBH中，∵cos30°=，∴CH=，由题意OA′=6BC=6，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．【解答】解：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=AE，∠BAE=108°，∴∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴∠FAE=∠AFE=72°，∴AE=EF，∴AB=EF；（2）设AB=x，由（1）知；∠BAF=∠AEB，∵∠ABF=∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，解得：（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1+．20．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1；故答案为：：1；（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB=90°，在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°，∴∠BOE=30°，∵n==12，∴BE是正十二边形的边．21．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长AB=OA=a；正六边形的周长=6AB=6a；∵OM=OA?sin60°=a，正六边形的面积S=6××a×a=a2．22．【解答】解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC=4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD=60°，∴∠COH=30°，∴圆心O到CD的距离=4×cos30°=2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积=×4×2×6=24cm2．23．【解答】解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=24．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，正n边形ABCD…中，∠BQM=，故答案为：90°；108°；120°；．。
人教版数学九年级 上册正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系课件示范
A E A B E D D C ， D D E A E A B D 1 0 8
1 21(180108)36
2
E
C
D EB72
1
D D E B 1 8 0
M
DC//EB
A
2B
同 理 可 证 D C//M C
又 DE=DC
四 边 形 D E M C 是 平 行 四 边 形 D EM C 是 菱 形
24.3正多边形和圆
学习目标
1．了解正多边形和圆的有关概念． 2．理解并掌握正多边形半径、边长、边心距、中心角 之间的关系，会应用正多边形和圆的有关义：各边都相等，各角也都相等 的多边形 是正多边形．
思考 各边相等的多边形是正多边形吗？为什么？
答：不一定，因为各角不一定都相等 ．
则这个正多边形的边数是 8 ．
7．正三角形的半径为 R，则边长为__3_R__，边心距为
___12__R _，面积为__3_4_3_R_2__．
1R
R
2
3R
课后作业
8．正三角形的高∶半径∶边心距为__3_:_2__: _1__；
9．半径为R的圆内接正方形的边长为 2 R，边心距为 ，
面10积．2 2 为边R 长为a．的正2 R六2 边形的边心距是___2_3 _a ____，周长
∠AOE＝56°，则α的度数是（ A ）
A．52° B．60° C．72° D．76°
课后作业
4．正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为_1_2__， 它的内角和为_1_8_0_0_°_．
5．正 n 边形的一个内角为120°，则它的边数为_6___， 它的内角和为_7__2_0_°_．
6．若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，
正多边形的概念精选全文
可编辑修改精选全文完整版正多边形的概念什么是多边形？多边形（多边形）是一个由相互连接的直线段及其角度组成的平面图形。
多边形可以有任何数量的边，最少的边数为三，也就是三角形，而最多的边数被称为多边形，其中可以有任意数量的边。
关于正多边形1、正多边形是指边的角度都应该相等，这其实意味着所有的角度都应该是180°/边数°的结果。
2、正多边形的内外角和将一定是边数乘以180°，并且每条边所在的夹角一定都是相等的。
3、正多边形有四条边以上，有多大多少条，但必须满足每条边的角度相等、每个夹角也相等。
4、根据正多边形的特点，如果一个多边形的边都被确认是相等的，就可以称之为正多边形。
5、正多边形的内角总和一定是（18）0°+和其表面面积与边长成正比。
6、正多边形可以有不同的类型，比如矩形、正方形、多边形、六边形等等都属于正多边形。
正多边形的应用正多边形在各行各业中经常贴用，以下是正多边形常用的应用场景：1、建筑设计：在建筑物中，各种形状的正多边形常常贴用在建筑物的外墙上，提升建筑的美观性。
2、服装设计：服装设计师喜欢使用各种正多边形图案，营造出不同的视觉效果。
3、产品设计：正多边形的优点是能够营造出更多的视觉效果，通常用于科技产品的外观设计中。
4、游戏设计：正多边形在游戏设计中也得到广泛应用，典型的情况就是用正多边形去构建游戏中场景的地形，或者是用正多边形去构建游戏字符等等。
5、图标设计：多种正多边形能够让图标设计更加生动有趣，增强图标的识别性。
由此可见，正多边形在实际应用中众多，多用于设计场景，有着非常重要的作用。
初中数学九年级正多边形与圆、弧长
A
A
O
A
C
B C
B C
O
B
课堂回顾
1．探索扇形的面积公式 S 扇形 公式进行计算．
nR 2 ，并运用 360
2．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已 知l、n、R、S中的两个量求另两个量．
1 n S扇形 ＝ 360 πR2 lR 2
3.
扇形的面积大小与哪些因素有关？ （1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关
120 0.6 2 1 D 360 2 1 0.12 0.6 3 0.3 2 0.22 m 2
O
D
B
C
练习园地
• 变式练习：（1）
A C
如图，AB长8，CD长12，AC=12 求COD,小圆半径r和大圆半径R
思维激活：
O B
D
（1）弧长公式涉及三个量 弧长 圆心角的度数 弧所在的半径， 知道其中两个量，就可以求第三个量。 （2）当问题涉及多个未知量时，可考虑用列方程组来求解
3.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为 1﹕3,则n等于( C ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4.如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和 原来的图形重合,那么这个正多边形是 ( B ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
轴 5.正多边形一定是_______对称图形,一个正n边 n 形共有_______条对称轴,每条对称轴都通过 中心 ______;如果一个正n边形是中心对称图形,n一 偶数 定是_______.
四、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
例3；制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单 位：mm，精确到1mm) 我们应该学会把实 际问题转化为数学 问题. 解：由弧长公式，可得弧AB 的长 100 900 l 500 1570 mm 180 （mm） 因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 答：管道的展直长度为2970mm．
(部编)人教数学九年级上册《正多边形和正多边形有关概念、正多边形与圆关系》教案128
正多边形和圆一、学习目标：知识与技能：1〕了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2〕能使用正多边形的知识解决圆的相关计算问题。
过程与方法：1〕学生在探讨正多边形相关计算过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，开展学生的观察、比拟、分析、概括及归纳的逻辑思维水平和逻辑推理水平。
2〕在探索正多边形相关过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合使用所学的知识和技能解决问题。
3情感、态度与价值观：1〕学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又效劳于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。
2〕使用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习自信心。
二、教学重难点：教学重点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，并能实行相关计算。
教学难点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。
三、教学方法：引导学生采用自主合作探究的方式实行学习四、教学准备：PPT课件、圆规、直尺五、教学过程：导入：前面我们学习了很多图形与圆的关系，如：点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系，还有什么图形我们没有与圆联系上呢？〔多边形〕那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。
看看它们之间有怎样的联系，又给我们带来什么样的知识。
〔一〕自习交流：1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容，勾画你认为重要的地方和有疑问的地方。
①什么是多边形？多边形的内角和与外角怎么计算的？②正多边形和圆有什么关系？③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径，并结合以前的知识说说它们的特点？④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面积？2.师生交流重要知识点：1〕给出正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？正方形是正多边形吗？为什么？如正五边形：AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠EEA DBC正多边形的内角和：内角和=〔n －2〕×180°正多边形的外角：外角360on〔2〕正多边形和圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就能够作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 提问 问题1、如何把一个圆实行四等分？问题2、依次连接各等分点，得到一个什么图形？ 〔3〕正多边形的中心、中心角、边心距和半径：中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，是各边垂直平分线的交点，也是每个内角的角平分线的交点，即内切圆的圆心。
人教九年级数学上册第24章3 正多边形和圆
感悟新知
解： 如图 24.3－2，设正六边形 ABCDEF 的中心 为点 O，过点 O 作 OG ⊥ AB 于点 G， 连接 OA， OB.
∵∠ AOB= 3606°=60°， OA=OB=6， ∴∠ AOG=30° . ∴ AG= 12OA=3. ∴ a6=AB=2AG=6.
知2－练
感悟新知
知2－练
感悟新知
特别提醒 常见的正多边形的边长与半径的关系： 1.正六边形的边长等于其外接圆半径. 2.正三角形的边长等于其外接圆半径的 3倍 . 3.正方形的边长等于其外接圆半径的 2倍.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 已知正六边形 ABCDEF 的半径为 6，求这个正六边形 的边长 a6，周长 l6 和面积 S6. 解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等关系进 行计算 .
感悟新知
思路导引：
知1－练
感悟新知
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形， ∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA. ∴点 B 在⊙ O 上 . ∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°， ∠ COB= ∠ OBA=60°
知1－练
感悟新知
知1－练
∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° . ∴ A⌒B = B⌒C = C⌒D = D⌒E = E⌒F = F⌒A . ∴ AB=BC=CD=DE=EF=FA. ∴六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形 .
∴ l6=6a6=6×6=36. 在 Rt △ AOG 中， OG= OA2 － AG2= 62 － 32=3 3 ， ∴ S6= 12×AB×OG×6= 12×6×3 3 ×6=54 3 .
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.
做
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人教版数学九年级上册2.正4.多3正边多形边的形有的关有概关念概、念正、多正边多形边与形圆与的圆关的系关课系件课件PPT优秀课件
24.3 正多边形和圆
一、 正多边形的有关概念及计算
栏目索引
把一个圆分成相等的一些弧,顺次连接各分点,就作出这个圆的
24.3 正多边形和圆
栏目索引
3.(2018广东佛山禅城二模)如图所示,边长为12 cm的圆内接正
三角形的边心距是
cm.
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24.3 正多边形和圆
边形一定是正五边形吗?如果是,请你证明这个结论.
小结 :将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这n边形一定
是
.
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栏目索引
பைடு நூலகம்
4.(2018四川广元中考)如图,☉O是正五边形ABCDE的 外接圆,点P是A ︵ E 上一点,则∠CPD的度数是 ( )
A.30° B.36° C.45° D.72°
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再探新知
分别画出⊙O的圆内接正三角形、正方形、正六边形．
O
O
O
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A．52° B．60° C．72° D．76°
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课后作业
4．正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为_1_2__， 它的内角和为_1_8_0_0_°_．
答： 不一定
．
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探索新知
1．圆的内接正多边形的有关定义： ①正多边形的外接圆的 圆心 叫做正 多边形的中心． ②外接圆的 半径 叫做正多边形的半径． ③正多边形每一边所对的 圆心角 叫做 正多边形的中心角． ④中心到正多边形的一边的 距离 叫 做正多边形的边心距．
*
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练习3 人教版数学九年级 上册24.3正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系课件
下图分别画出半径为R的圆内接正三角形、正方
形、正六边形，借助各图完成下表．
正多边形 内 中心 半 边 边心 周 面 边数 角 角 径 长 距 长 积
人教版-数学-九年级上册-正多边形和圆 课标解读
正多边形和圆课标解读一、课标要求人教版九年级上册24．3正多边形和圆一节包括一个例题、一个画图，都是正多边形和圆之间的关系．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对正多边形和圆一节提出了具体的教学要求，本小节的教学要求是：1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．2．能用尺规完成作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．二、课标解读正多边形是生活中常见的图形，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系．由于正多边形与圆有着密切的联系，所以可以应用圆的有关知识来研究正多边形的问题．正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它有一些类似于圆的性质．例如正多边形的边数越多，它的周长就越接近圆的周长，它的面积就越接近圆的面积．又如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．而正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；而且绕中心每旋转一个中心角，都能和原来的图形重合，这是正n边形的旋转对称性；当n为偶数时，它也是中心对称图形．本小节需要学习的内容是：1．了解正多边形的对称性，正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数等于正多边形的边数；正多边形都是旋转对称图形，旋转中心是圆心，旋转的最小角度等于正多边形的中心角；正偶数边形是中心对称图形．由于学生对轴对称图形、中心对称图形的概念比较熟悉，通过操作、思考来解答课本中提出的问题一般不会感到困难，所以，教学中要发挥学生的主体作用，通过学生的独立思考、实践自主解决．2．学生应该掌握正多边形的中心、中心角、半径、边心距等有关概念，如图，会计算正多边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积．这些概念与正多边形的外接圆关系密切，是进行与正多边形有关计算的基础．3．由于正多边形在生产和生活中有着广泛的应用，因此很多时候需要画正多边形．会利用等分圆周法画正多边形，利用量角器或直尺和圆规画图，把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．利用量角器可以画任意正多边形，而利用直尺和圆规只能作特殊的正多边形．等分圆周方法画正多边形体现了正多边形与圆的关系；尺规作图画正多边形体现了一些特殊的正多边形的性质．例如，在⊙O中用不同的方法画圆的内接正三角形．如图：图1图 2 图3作法：度量法①：如图1，作半径OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠1=∠2=30°．度量法②：如图2，用量角器度量，使圆心角∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．尺规作图法：用圆规在⊙O上顺次截取6条长度等于半径的弦，间隔顺次连接其中的AB、BC、CA即可．利用直尺和圆规只能作特殊的正多边形，如正方形、正三角形、正六边形，如图．用尺规作图的方法画圆的内接正方形，只要作出已知⊙O的互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即可以作出圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形、……．4．正多边形的有关计算是本节的重点内容，这些计算都是几何中的基础知识，正确掌握它们要综合运用以前所学的知识，这些知识在生产和生活中也常用到．本节教学难点在学生对正n边形中“n”的接受和理解上．学生对三角形、四边形、圆等具体图形比较习惯，对于泛指的n边形并不习惯．为了降低难度，涉及的证明、计算等问题都结合具体的多边形为例，教学时要注意把这种针对具体图形的结论和方法推广，使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃，提高学生的思维能力．。
人教版九年级数学上册 正多边形的相关概念及计算(第1课时)
问题3 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什
么结论？
结论一：正方形ABCD有一个以点O
A
E
B 为圆心的外接圆. 证明：EF是边AB、CD的垂直平分
O
线，∴OA=OB，OD=OC.
G
H GH是边AD、BC的垂直平分线，
DF
∴OA=OD，OB=OC.
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴点O是正方形ABCD外接圆的圆 心.
F
E
A
O
4
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mr
B PC
练一练
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是 （ C ）
A
A．60°
B．45°
C． 36°
B
E
D． 30°
O·
C
D
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
B MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.分别连一条线段两端点和圆心，得中心角；
知识要点
A
E
R
O G
r
DF
B H C
正多边形的外接圆和内切圆的 公共圆心，叫做正多边形的中 心. 外接圆的半径叫做正多边形的 半径.
内切圆的半径叫做正多边形的 边心距.
正多边形每一边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角. 正n 边形的每个中心角都等于36n0 .
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
A．2 B．1 C． 3
D．
3 2
6.如果一个正多边形的中心角等于72°， 那么这个多边形的内角和为( B) A．360° B．540° C．720° D．900°
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多边形和圆
教学目标：
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系，
（2）会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，
（3）能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
（4）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念
观察、分析：
1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。
（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
）
思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正三角形、正十二边形？
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形
（四）相关概念
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．
巩固练习：
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的___．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的___．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是___度，半径是___，边心距是___，它的每一个内角是___．
4、正n边形的一个外角度数与它的___角的度数相等．
练习：P144 1、2。