画法几何及土木工程制图 立体的投影

（2）作图
2．圆球体上的线 【例4-10】 如右图所示，已知 属于球体上的点A、B、C及线 段EF的一个投影，求其另两个 投影。 解：（1）分析 （2）作图 小结：求曲面上点的投影的方法主要有素线法和纬圆法两种，在采用这两种方法时
应着重弄清以下概念：
（1）某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上。 （2）求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影。 （3）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的 形成规律和特性。
双曲线
两条素线
截交线 空间形 状
投影图
【例4-16】 如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面P的投影，求截交线的投 影及实形。 解：（1）分析 （2）作图 1）求长轴端点 2）求短轴端点 3）求最前、最后素线与P面的交点E、F 4）求一般点L、N 5）连接各点并判别可见性 6）求截面的实形
【例4-17】 如下图所示，求作侧平面Q与圆锥的截交线。
1．圆柱上的截交线
平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线
有三种情况
圆柱面上的截交线
截平面P的 位置 截平面垂直于圆柱轴线 圆 截平面倾斜于圆柱轴线 椭圆 截平面平行于圆柱轴线 两条平行直线
截交线空间 形状
投影图
【例4-15】 如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线。 解：（1）分析 （2）作图 1）求特殊点。这些点包括轮廓线上的点、 特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴 的端点。 2）求一般点。为了作图准确，在截交线上特 殊点之间选取一些一般位置点。 3）连点。将所求各点的侧面投影顺次光滑 连接
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
的类似形。
4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小 的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
（2）作图
• 二、平面立体上点和直线的投影
即在其表面上取点、取线的作图问题 其作图的基本原理就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。 判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投 影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。 求解方法有： （一）从属性法 当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定 在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性”求解。 （二）积聚性法 当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时， 那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。 （三）辅助线法
制各棱线和各顶点的投影。
在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表示，不可见棱线用虚线表
示，以区分可见表面和不可见表面。 （一）棱柱体 （1）形体特征: 棱柱的各
棱线互相平行，底面、顶面
为多边形。棱线垂直顶面时 称直棱柱，棱线倾斜顶面时
称斜棱柱。
（2）安放位置 : 安放形体时 要考虑两个因素：一要使形体 处于稳定状态，二要考虑形体 的工作状况。为了作图方便， 应尽量使形体的表面平行或垂 直于投影面。
4）判别可见性。
2．圆锥上的截交线 当平面与圆锥截交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可产生五种不同
形状的截交线：
圆锥面上的截交线
截平面 p位置 截平面垂直于圆锥轴 线 截平面与锥面上所有 素线相交 截平面平行于圆锥面 上一条素线 截平面平行于圆锥面 上两条素线 截平面通过锥顶
圆
பைடு நூலகம்
椭圆
抛物线
解：（1）分析
（2）作图
3．带缺口的平面立体的投影 画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚。而画切口轮
廓线的投影，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，切口的截交线就是由数条
截交线组合而成。 例：完成带切口的四棱柱的投影 （图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗 实线表示留下的部分） 。
平面立体：表面全部由平面围成的几何体（简称平面体）
基本几何体
（按照其表面 的组成）
曲面立体：表面全部由曲面或曲面与平面围成的几何体 （简称曲面体）
第一节 平面立体的投影
• 一、平面立体的投影
平面立体的表面都是平面多边形， 凡是带有斜面的平面体统称为斜面体，如棱锥、棱台等。
绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各多边形表面，即绘
当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。
（三）圆球体的投影 1、投影分析
圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是
球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直 径与球径相等。 H面投影的圆a是 V面投影的圆b是 W面投影的圆c是
2、作图步骤
⑴用点划线画出圆球体各投
影的中心线
⑵以球的直径为直径画三个等
b
大的圆，如右图所示。
（3）投影分析
（二）棱锥体
（1）形体特征: 底面是多边形，棱
线交于一点，侧棱面均为三角形。
（2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。 （3）投影分析
【例4-1】 作四棱台的正投影图 解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、 后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反 映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小
辅助线求L点的各投影
【例4-5】 如左图所示，已知三 棱锥的三面投影及其表面上的线 段EF的投影ef，求出线段的其它 投影。
下面列出了一些工程中常见到的平面立体的投影图和立体图，可按 前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面 立体投影的表达方法和规律。
第二节 曲面立体的投影
• 一、基本概念
（一）圆柱体的投影 （1）形体分析 圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的。
（2）安放位置 我们只研究圆柱轴
线垂直于某一投影面，底面、顶面为投 影面平行面的情况。 （3）投影分析 H面投影： V面投影： W面投影：
（4）作图步骤 1）用点划线画出圆柱体各投影的
轴线、中心线；
2）有直径画水平投影圆； 3）由“长对正”和高度作正面投影矩形； 4）由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。
第四章 立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
我们把这些简单的几合体称为基本几何体，有时也称为基本形
体，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体。
第三节 立体表面交线的投影
• 一、立体表面的截交 线
圆柱面与锥 面的交线
平面与锥面的 交线
我们把假想用来截割形体的平面，成为截平面。 截平面与形体表面的交线称为截交线。 截交线围成的平面图形称为截面（或断面）。
截平面 截交线
平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性： 1．截交线的形状一般都是封闭的平面多边形或 曲线。
断面 截交 线
2．截交线是平面与立体表面的共有线，既在截
平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面 共有点的集合。
• （一）平面立体截交线
平面立体截交线的特征： 平面立体截交线是一个封闭的平面多边形，多边形
截平面 截交线
的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的
每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。 求作平面立体截交线的方法有两种方法： （1）交点法：即先求出平面立体的棱线、底边与截平 面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。 连接各交点有一定的原则：只有两点在同一个棱面 上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可 见棱面上的两点用虚线连接。 （2）交线法：即求出平面立体的棱面、底面与截平面 的交线。
解：（1）分析 （2）作图
注意：非轮廓线的素线投影不必画出。
（二）圆锥体的投影 （1）形体分析 圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的。 （2）安放位置 当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投 影轮廓也随之确定。如右图所示，圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面。 （3）投影分析 H面投影 V面投影 W面投影
（4）作图步骤 ⑴用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线； ⑵画出底面圆的三面投影。底面为水平面，水平投 影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长 度等于底圆直径； ⑶依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影。 ⑷画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。
【例4-3】 如下图所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M、N的正 面投影，求出另外两面投影。
解：（1）分析
（2）作图
【例4-4】已知三棱锥的三面投影 及其表面上点K的正面投影k‘和点 L的水平投影l,求出它们的别两个 投影。 1、分析 2、作图 （1）利用过锥顶S的辅助线求
K点各投影
（2）利用过L点且平行于底边的直线为
c a
三、曲面立体上点和直线的投影 （一）圆柱面上的点和线 1．圆柱面上点的投影 如右图所示，若已知圆柱面上两点A和B和 正面投影a'和b'，求出它们的水平投影a、b和 侧面投影a"、b"。 分析 ：根据已知条件a'可见，b'不可见，可知 A点在前半个圆柱面上；B点在后半个圆柱面上。 利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到a和
b，然后根据已知二投影求出a″和b″。 由于A点在左半圆柱面上，所以a″为可见；
而B点在右半圆柱面上，所以b″为不可见。
2．圆柱面上线的投影 【例4-5】 如下图所示，已知圆柱面上的AB线段的正面投影a′b′，求其另两面投 影。 解：（1）分析 （2）作图