一 数学抽象与逻辑推理
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专题二 命题有据——核心素养、数学文化与 高考命题
最新《普通高中数学课程标准》中明确提出数学六大 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、 数学运算、数据分析．六大数学核心素养可划分成三类， 其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和 数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰 显数学的实际应用性.2018～2019 年全国卷高考多渠道渗 透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值 观．随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养
[变式训练] (1)若 l、m 是两条不同的直线，α 为平 面，且 m⊥α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)如图所示是毕达哥拉斯(Py-thagoras)的生长程序： 正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角 形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095
丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成 绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与 事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．
综上可知，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙． 答案：(1)C (2)A
[探究提高] 1．第(1)题求解的关键在于：(1)利用函数方程判定 f(x) 的周期性；(2)法 2 借助函数性质构造函数 f(x)＝2sinπ2x， 化抽象为具体，优化了思维过程． 2．第(2)小题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心 素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息甲、 乙、丙三人成绩互不相同，且只有一人预测正确入手， 进行分析判断．
个正方形，设初始正方形的边长为 22，则最小正方形的 边长为________．
解析：(1)若 l⊥m，因为 m⊥α，所以 l∥α 或 l⊂α；
若 l∥α，因为 m⊥α，所以 l⊥m. 所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件． (2)依题意，正方形的边长构成以 22为首项，公比为 22的等比数列，
合的情境中学会抽象出数学问题，是形成理性思维的重要
基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学
命题的思维过程．数学研究对象的确立依赖于数学抽象，
而数学内部自身的发展要依赖于数学推理．
【例 1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－
∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，
为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性， 落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创 新．因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角 下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例 题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助．
一 数学抽象与逻辑推理
通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综
解析：(1)法 1：f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 则 f(x＋4)＝f(x)， 因此函数 f(x)的周期为 4. 因此 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3) ＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为 f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所 以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 又 f(2)＝f(－2)＝－f(2)，知 f(2)＝0. 从而 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2.
法 2：由题意可设 f(x)＝2sinπ2x，作出 f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x) 的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1) ＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)由于三人成绩互不相同且只有一人预测正确，故 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高 到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成 绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
C．2
D．50
(2)(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、 乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正 确，那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
因为共有 4 095 个正方形，则 1＋2＋22＋…＋2n－1＝4
095，解得 n＝12.
所以最小正
答案：(1)B
1 (2)64
最新《普通高中数学课程标准》中明确提出数学六大 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、 数学运算、数据分析．六大数学核心素养可划分成三类， 其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和 数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰 显数学的实际应用性.2018～2019 年全国卷高考多渠道渗 透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值 观．随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养
[变式训练] (1)若 l、m 是两条不同的直线，α 为平 面，且 m⊥α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)如图所示是毕达哥拉斯(Py-thagoras)的生长程序： 正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角 形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095
丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成 绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与 事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．
综上可知，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙． 答案：(1)C (2)A
[探究提高] 1．第(1)题求解的关键在于：(1)利用函数方程判定 f(x) 的周期性；(2)法 2 借助函数性质构造函数 f(x)＝2sinπ2x， 化抽象为具体，优化了思维过程． 2．第(2)小题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心 素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息甲、 乙、丙三人成绩互不相同，且只有一人预测正确入手， 进行分析判断．
个正方形，设初始正方形的边长为 22，则最小正方形的 边长为________．
解析：(1)若 l⊥m，因为 m⊥α，所以 l∥α 或 l⊂α；
若 l∥α，因为 m⊥α，所以 l⊥m. 所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件． (2)依题意，正方形的边长构成以 22为首项，公比为 22的等比数列，
合的情境中学会抽象出数学问题，是形成理性思维的重要
基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学
命题的思维过程．数学研究对象的确立依赖于数学抽象，
而数学内部自身的发展要依赖于数学推理．
【例 1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－
∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，
为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性， 落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创 新．因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角 下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例 题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助．
一 数学抽象与逻辑推理
通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综
解析：(1)法 1：f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 则 f(x＋4)＝f(x)， 因此函数 f(x)的周期为 4. 因此 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3) ＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为 f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所 以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 又 f(2)＝f(－2)＝－f(2)，知 f(2)＝0. 从而 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2.
法 2：由题意可设 f(x)＝2sinπ2x，作出 f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x) 的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1) ＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)由于三人成绩互不相同且只有一人预测正确，故 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高 到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成 绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
C．2
D．50
(2)(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、 乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正 确，那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
因为共有 4 095 个正方形，则 1＋2＋22＋…＋2n－1＝4
095，解得 n＝12.
所以最小正
答案：(1)B
1 (2)64