(完整word版)数据结构 第七章图：习题
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7．对于一个具有n个顶点和e条边的连通图，其生成树中的顶点数为_______，边数为_______。
8．在执行拓扑排序的过程中，当某个顶点的入度为零时，就将此顶点输出，同时将该顶点的所有后继顶点的入度减1。为了避免重复检测顶点的入度是否为零，需要设立一个____来存放入度为零的顶点。
三、简答题
l．回答以下问题：
(6)在V-S中找出最近的顶点5，加入S中，即s口={l，3，2，6，4，5}。此时S中包含了图的所有顶点，算法结束。最终dist[]={0，19，15，29，29，25），path[]={1，3，l，6，2， 3}。
由此得到：
从顶点1到顶点2的最短路径长度为：19 最短路径为：2<-3<-1
从顶点l到顶点3的最短路径长度为：15 最短路径为：3<-1
5．权值递增，顶点连通。 6．O(e)，O(e)。
7．n，n-l。 8．栈。
三、简答题
1．回答以下问题：
(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边？最少需要多少条边？
(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？有多少非零元素？是否为稀疏矩阵？
【解答】(l)有n个顶点的无向连通图最多有n(n-l)/2条边（构成一个无向完全图的情况）;最少有n-l条边（n个顶点是连通的）。
4．在无向图G (V，E)中，如果图中任意两个顶点vi、vj (vi、vj∈V，vi≠vj)都的，则称该图源自文库( )。
A.强连通图B.连通图C.非连通图D.非强连通图
5．若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个无向图，则该邻接矩阵是一个( )。
A.上三角矩阵B.稀疏矩阵
C.对角矩阵D.对称矩阵
6．若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个有向图，顶点vi的出度等于邻接矩阵
dist[5]-min{dist[5], dist[2]+ cost[2][5])-min{∞，19+10}=29,
则有dist[]={0,19,15, ∞，29,25），path[]={l,3,l，-1,2,3}.
(4)在V-S中找出最近的顶点6，加入S中，即s[]．{1，3，2，6），并重新计算顶点l到达顶点4和5的距离，修改相应的dist值：
A.第i列元素之和B.第i行元素之和减去第i列元素之和
C.第i行元素之和D.第i行元素之和加上第i列元素之和
7．对于具有e条边的无向图，它的邻接表中有( )个边结点。
A.e-l B.e C.2(e-l) D. 2e
8．对于含有n个顶点和e条边的无向连通图，利用普里姆Prim算法产生最小生成时间复杂性为( )，利用克鲁斯卡尔Kruskal算法产生最小生成树（假设边已经按权的次序排序），其时间复杂性为( )。
A. O(n2) B. O(n*e) C. O(n*logn) D.O(e)
9．对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，拓扑排序总的时间花费为O( )
A.n B.n+l C.n-l D.n+e
10．在一个带权连通图G中，权值最小的边一定包含在G的( )生成树中。
A.最小B.任何C.广度优先D.深度优先
从顶点l到顶点4的最短路径长度为：29 最短路径为：4<-6<-3<-1
从顶点l到顶点5的最短路径长度为：29 最短路径为：5<-2<-3<-l
从顶点l到顶点6的最短路径长度为：25 最短路径为：6<-3<-1
6．题图7-5为一个带权有向图，
(1)给出该图的邻接矩阵。
(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度，要求写出其相应的矩阵序列。
(4)给出该图的十字链表。
3．题图7-2为一无向图，请按要求回答问题：
(1)画出该图的邻接表。
(2)画出该图的邻接多重表。
(3)分别写出从顶点1出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索
遍历算法得到的顶点序列。
4．题图7-3为一带权无向图，请按要求回答问题。
(1)画出该图的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树。
4．十字链表是有向图的另一种链式存储结构，实际上是将_______和_______结合起来的一种链表。
5．在构造最小生成树时，克鲁斯卡尔算法是一种按_______的次序选择合适的边来构造
最小生成树的方法；普里姆算法是按逐个将_______的方式来构造最小生成树的另一种方法。
6．对用邻接表表示的图进行深度优先遍历时，其时间复杂度为一；对用邻接表表示的图进行广度优先遍历时，其时间复杂度为_______。
(2)这样的矩阵共有lOOO*1000=1000000个矩阵元素，因为有1000条边，所以有2000非零元素，因此该矩阵是稀疏矩阵。
2．题图7-1为一有向图，按要求回答问题：
题图7-1
(1)写出各顶点的入度、出度和度。
(2)给出该图的邻接矩阵。
(3)给出该图的邻接表。
(4)给出该图的十字链表。
【解答】(l)各顶点入度、出度和度如下表所示。
4．编写一个函数，计算给定的有向图的邻接矩阵的每对顶点之间的最短路径。
第七章图
第7章图
一、选择题（参考答案）：
1．B 2．B 3．C 4．B 5．D
6. C 7．D 8．A,D 9．D 10.A
二、填空题（参考答案）
1．n(n-l)/2, n(n-l)。 2．第i行。
3. 2e, e0 4．邻接表，逆邻接表。
dist[4]=min{dist[4], dist[6]+cost[6][4])=min{∞..,25+4}=29,
则有dist[]={0, 19, 15, 29, 29, 25}, path[]={l,3,1,6,2,3}。
(5)在V-S中找出最近的顶点4，加入S中，即s[]：{l，3，2，6，4}，并重新计算顶点l到达顶点5的距离，此时不需要修改dist值，则有dist[]={0，19，15，29，29，25），path[]={l，3， l，6，2， 3}。
8．题图7-7是一个AOE网，试求：
(l)每项活动的最早开始时间和最迟开始时间。
(2)完成整个工程至少需要多少天（设弧上权值为天数）。
(3)哪些是关键活动。
(4)是否存在某些活动，当提高其速度后能使整个工期缩短。
【解答】(1)所有活动的最早开始时间e(i)、最迟开始时间l(i)以及d(i)=1(i)一e(i)，如下所示。
【解答】(1)邻接矩阵如下：
0 10 ∞ ∞
15 0 6 ∞
3 ∞ 0 4
∞ 8 2 0
(2)采用弗洛伊德算法求最短路径的过程如下：
7．对于有向无环图，
(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。
(2)对于题图7-6所示的有向图，写出它的4个不同的拓扑有序序列。
【解答】(1)参见7.6节的介绍。
(2)它的4个不同的拓扑有序序列是：12345678，12354678，12347856，12347568。
(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边？最少需要多少条边？
(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？有多少非零元素？是否为稀疏矩阵？
2．题图7-1为一有向图，按要求回答问题：
(1)写出各顶点的入度、出度和度。
(2)给出该图的邻接矩阵。
(3)给出该图的邻接表。
#define Max<一个大于顶点数的常量>
int visited [Max]， //全局变量
int exist (ALGraph *g,int vi; int Vj, intk)
{
int i，suc;
for（i=O;i<g->n;i十+） //置初值
visited [i] =0;
suc=0; n=0;
(2)完成此工程最少需要23天。
(3)从以上计算得出关键活动为：a2，a4，a6，a8，a9，aio，a12，a13和a14。
(4)存在a2，a4，al4活动，当其提高速度后能使整个工程缩短工期。
四、算法设计题
1．编写一个算法，判断图G中是否存在从顶点vi到vj的长度为k的简单路径。
【解答】采用深度优先遍历算法来判断图G中是否存在从顶点vi到vj的长度为k的简单路径。其中，变量n用于记录经过的顶点数，当n=k+l时，表示路径长度为k;suc记录是否成功地找到了所求路径。算法如下所示。
四、算法设计题
1．编写一个算法，判断图G中是否存在从顶点vi到vj的长度为k的简单路径。
2．以邻接表作为图的存储结构，编写实现连通图G的深度优先搜索遍历（从顶点v出发）的非递归函数。
3．给定n个村庄之间的交通图。若村庄i与村庄j之间有路可通，则将顶点i与顶点j之间用边连接，边上的权值Wij表示这条道路的长度。现打算在这n个村庄中选定一个村庄建一所医院。试编写一个算法，求出该医院应建在哪个村庄，才能使距离医院最远的村庄到医院的路程最短。
【解答】(1)按普里姆算法其最小生成树如下所示。
(2)按克鲁斯卡尔算法其最小生成树如下所示。
5．题图7-4是一带权有向图，试采用狄杰斯特拉 Dijkstra算法求从顶点l到其他各顶点的最短路径，要求 给出整个计算过程。
【解答】(1)初值：s[]={1），dist[]={0，20，15，∞，
∞，∞}（顶点1到其他各项点的权值），path[]={1，1，1，
遍历算法得到的顶点序列。
题图7-2
【解答】(1)邻接表如下所示。
(2)多重邻接表如下所示。
(3)从顶点1出发，深度优先搜索遍历序列为：123456;广度优先搜索遍历序列为：123564。
4．题图7-3为一带权无向图，请按要求回答问题：
(1)画出该图的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树。
(2)画出该图的邻接表，并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。
(2)画出该图的邻接表，并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。
5．题图7-4是一带权有向图，试采用狄杰斯特拉Dijkstra算法求从顶点1到其他各项点的最短路径，要求给出整个计算过程。
6．题图7-5为一个带权有向图
(1)给出该图的邻接矩阵。
(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度，要求写出其相应的矩阵序列。
7．对于有向无环图，
(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。
(2)对于题图7-6所示的有向图，写出它的4个不同的拓扑有序序列。
8．题图7-7是一个AOE网，试求：
(1)每项活动的最早开始时间和最迟开始时间。
(2)完成整个工程至少需要多少天。
(3)哪些是关键活动。
(4)是否存在某些活动，当提高其速度后能使整个工期缩短。
-l，-1，-1）(顶点l到其他各项点有弧存在时为1，否则
为-1)。
(2)在V-S中找最近（dist[]最小）的顶点3，加入S中，即s[]={l，3），并重新计算顶点l到达顶点2，4，5和6的距离，修改相应的dist值：
dist[2]=min{dist[2], dist[3]+cost[3][2]}=min{20, 15+4}=19;
二、填空题
1．在一个具有n个顶点的无向完全图中，包含有____条边；在一个具有n个有向完全图中，包含有____条边。
2．对于无向图，顶点vi的度等于其邻接矩阵____的元素之和。
3．对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，在其邻接表中，含有____个边对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，在其邻接表中，含有_______个弧结点。
dist[6l=min{dist[6], dist[3]+cost[3][6]}==Inin{∞，15+10}=25;
则有dist[]={0，19，15，∞，∞，25}，path[]={l，3，1，-l，-l，3}。
(3)在V-S中找出最近的顶点4，加入S中，即s[]={1，3，2}，并重新计算顶点1到达顶点4，5和6的距离，修改相应的dist值：
第七章图：习题
习题
一、选择题
1．设完全无向图的顶点个数为n，则该图有( )条边。
A. n-l B. n(n-l)/2 C.n(n+l)/2 D. n(n-l)
2．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的( )倍。
A.3 B.2 C.1 D.1/2
3．有向图的一个顶点的度为该顶点的( )。
A.入度B.出度C.入度与出度之和D.(入度+出度)/2
(2)邻接矩阵如下所示。
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0
(3)邻接表如下所示。
(4)十字接表如下所示。
3．题图7-2为一无向图，请按要求回答问题：
(1)画出该图的邻接表。
(2)画出该图的邻接多重表。
(3)分别写出从顶点l出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索
8．在执行拓扑排序的过程中，当某个顶点的入度为零时，就将此顶点输出，同时将该顶点的所有后继顶点的入度减1。为了避免重复检测顶点的入度是否为零，需要设立一个____来存放入度为零的顶点。
三、简答题
l．回答以下问题：
(6)在V-S中找出最近的顶点5，加入S中，即s口={l，3，2，6，4，5}。此时S中包含了图的所有顶点，算法结束。最终dist[]={0，19，15，29，29，25），path[]={1，3，l，6，2， 3}。
由此得到：
从顶点1到顶点2的最短路径长度为：19 最短路径为：2<-3<-1
从顶点l到顶点3的最短路径长度为：15 最短路径为：3<-1
5．权值递增，顶点连通。 6．O(e)，O(e)。
7．n，n-l。 8．栈。
三、简答题
1．回答以下问题：
(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边？最少需要多少条边？
(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？有多少非零元素？是否为稀疏矩阵？
【解答】(l)有n个顶点的无向连通图最多有n(n-l)/2条边（构成一个无向完全图的情况）;最少有n-l条边（n个顶点是连通的）。
4．在无向图G (V，E)中，如果图中任意两个顶点vi、vj (vi、vj∈V，vi≠vj)都的，则称该图源自文库( )。
A.强连通图B.连通图C.非连通图D.非强连通图
5．若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个无向图，则该邻接矩阵是一个( )。
A.上三角矩阵B.稀疏矩阵
C.对角矩阵D.对称矩阵
6．若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个有向图，顶点vi的出度等于邻接矩阵
dist[5]-min{dist[5], dist[2]+ cost[2][5])-min{∞，19+10}=29,
则有dist[]={0,19,15, ∞，29,25），path[]={l,3,l，-1,2,3}.
(4)在V-S中找出最近的顶点6，加入S中，即s[]．{1，3，2，6），并重新计算顶点l到达顶点4和5的距离，修改相应的dist值：
A.第i列元素之和B.第i行元素之和减去第i列元素之和
C.第i行元素之和D.第i行元素之和加上第i列元素之和
7．对于具有e条边的无向图，它的邻接表中有( )个边结点。
A.e-l B.e C.2(e-l) D. 2e
8．对于含有n个顶点和e条边的无向连通图，利用普里姆Prim算法产生最小生成时间复杂性为( )，利用克鲁斯卡尔Kruskal算法产生最小生成树（假设边已经按权的次序排序），其时间复杂性为( )。
A. O(n2) B. O(n*e) C. O(n*logn) D.O(e)
9．对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，拓扑排序总的时间花费为O( )
A.n B.n+l C.n-l D.n+e
10．在一个带权连通图G中，权值最小的边一定包含在G的( )生成树中。
A.最小B.任何C.广度优先D.深度优先
从顶点l到顶点4的最短路径长度为：29 最短路径为：4<-6<-3<-1
从顶点l到顶点5的最短路径长度为：29 最短路径为：5<-2<-3<-l
从顶点l到顶点6的最短路径长度为：25 最短路径为：6<-3<-1
6．题图7-5为一个带权有向图，
(1)给出该图的邻接矩阵。
(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度，要求写出其相应的矩阵序列。
(4)给出该图的十字链表。
3．题图7-2为一无向图，请按要求回答问题：
(1)画出该图的邻接表。
(2)画出该图的邻接多重表。
(3)分别写出从顶点1出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索
遍历算法得到的顶点序列。
4．题图7-3为一带权无向图，请按要求回答问题。
(1)画出该图的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树。
4．十字链表是有向图的另一种链式存储结构，实际上是将_______和_______结合起来的一种链表。
5．在构造最小生成树时，克鲁斯卡尔算法是一种按_______的次序选择合适的边来构造
最小生成树的方法；普里姆算法是按逐个将_______的方式来构造最小生成树的另一种方法。
6．对用邻接表表示的图进行深度优先遍历时，其时间复杂度为一；对用邻接表表示的图进行广度优先遍历时，其时间复杂度为_______。
(2)这样的矩阵共有lOOO*1000=1000000个矩阵元素，因为有1000条边，所以有2000非零元素，因此该矩阵是稀疏矩阵。
2．题图7-1为一有向图，按要求回答问题：
题图7-1
(1)写出各顶点的入度、出度和度。
(2)给出该图的邻接矩阵。
(3)给出该图的邻接表。
(4)给出该图的十字链表。
【解答】(l)各顶点入度、出度和度如下表所示。
4．编写一个函数，计算给定的有向图的邻接矩阵的每对顶点之间的最短路径。
第七章图
第7章图
一、选择题（参考答案）：
1．B 2．B 3．C 4．B 5．D
6. C 7．D 8．A,D 9．D 10.A
二、填空题（参考答案）
1．n(n-l)/2, n(n-l)。 2．第i行。
3. 2e, e0 4．邻接表，逆邻接表。
dist[4]=min{dist[4], dist[6]+cost[6][4])=min{∞..,25+4}=29,
则有dist[]={0, 19, 15, 29, 29, 25}, path[]={l,3,1,6,2,3}。
(5)在V-S中找出最近的顶点4，加入S中，即s[]：{l，3，2，6，4}，并重新计算顶点l到达顶点5的距离，此时不需要修改dist值，则有dist[]={0，19，15，29，29，25），path[]={l，3， l，6，2， 3}。
8．题图7-7是一个AOE网，试求：
(l)每项活动的最早开始时间和最迟开始时间。
(2)完成整个工程至少需要多少天（设弧上权值为天数）。
(3)哪些是关键活动。
(4)是否存在某些活动，当提高其速度后能使整个工期缩短。
【解答】(1)所有活动的最早开始时间e(i)、最迟开始时间l(i)以及d(i)=1(i)一e(i)，如下所示。
【解答】(1)邻接矩阵如下：
0 10 ∞ ∞
15 0 6 ∞
3 ∞ 0 4
∞ 8 2 0
(2)采用弗洛伊德算法求最短路径的过程如下：
7．对于有向无环图，
(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。
(2)对于题图7-6所示的有向图，写出它的4个不同的拓扑有序序列。
【解答】(1)参见7.6节的介绍。
(2)它的4个不同的拓扑有序序列是：12345678，12354678，12347856，12347568。
(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边？最少需要多少条边？
(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？有多少非零元素？是否为稀疏矩阵？
2．题图7-1为一有向图，按要求回答问题：
(1)写出各顶点的入度、出度和度。
(2)给出该图的邻接矩阵。
(3)给出该图的邻接表。
#define Max<一个大于顶点数的常量>
int visited [Max]， //全局变量
int exist (ALGraph *g,int vi; int Vj, intk)
{
int i，suc;
for（i=O;i<g->n;i十+） //置初值
visited [i] =0;
suc=0; n=0;
(2)完成此工程最少需要23天。
(3)从以上计算得出关键活动为：a2，a4，a6，a8，a9，aio，a12，a13和a14。
(4)存在a2，a4，al4活动，当其提高速度后能使整个工程缩短工期。
四、算法设计题
1．编写一个算法，判断图G中是否存在从顶点vi到vj的长度为k的简单路径。
【解答】采用深度优先遍历算法来判断图G中是否存在从顶点vi到vj的长度为k的简单路径。其中，变量n用于记录经过的顶点数，当n=k+l时，表示路径长度为k;suc记录是否成功地找到了所求路径。算法如下所示。
四、算法设计题
1．编写一个算法，判断图G中是否存在从顶点vi到vj的长度为k的简单路径。
2．以邻接表作为图的存储结构，编写实现连通图G的深度优先搜索遍历（从顶点v出发）的非递归函数。
3．给定n个村庄之间的交通图。若村庄i与村庄j之间有路可通，则将顶点i与顶点j之间用边连接，边上的权值Wij表示这条道路的长度。现打算在这n个村庄中选定一个村庄建一所医院。试编写一个算法，求出该医院应建在哪个村庄，才能使距离医院最远的村庄到医院的路程最短。
【解答】(1)按普里姆算法其最小生成树如下所示。
(2)按克鲁斯卡尔算法其最小生成树如下所示。
5．题图7-4是一带权有向图，试采用狄杰斯特拉 Dijkstra算法求从顶点l到其他各顶点的最短路径，要求 给出整个计算过程。
【解答】(1)初值：s[]={1），dist[]={0，20，15，∞，
∞，∞}（顶点1到其他各项点的权值），path[]={1，1，1，
遍历算法得到的顶点序列。
题图7-2
【解答】(1)邻接表如下所示。
(2)多重邻接表如下所示。
(3)从顶点1出发，深度优先搜索遍历序列为：123456;广度优先搜索遍历序列为：123564。
4．题图7-3为一带权无向图，请按要求回答问题：
(1)画出该图的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树。
(2)画出该图的邻接表，并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。
(2)画出该图的邻接表，并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。
5．题图7-4是一带权有向图，试采用狄杰斯特拉Dijkstra算法求从顶点1到其他各项点的最短路径，要求给出整个计算过程。
6．题图7-5为一个带权有向图
(1)给出该图的邻接矩阵。
(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度，要求写出其相应的矩阵序列。
7．对于有向无环图，
(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。
(2)对于题图7-6所示的有向图，写出它的4个不同的拓扑有序序列。
8．题图7-7是一个AOE网，试求：
(1)每项活动的最早开始时间和最迟开始时间。
(2)完成整个工程至少需要多少天。
(3)哪些是关键活动。
(4)是否存在某些活动，当提高其速度后能使整个工期缩短。
-l，-1，-1）(顶点l到其他各项点有弧存在时为1，否则
为-1)。
(2)在V-S中找最近（dist[]最小）的顶点3，加入S中，即s[]={l，3），并重新计算顶点l到达顶点2，4，5和6的距离，修改相应的dist值：
dist[2]=min{dist[2], dist[3]+cost[3][2]}=min{20, 15+4}=19;
二、填空题
1．在一个具有n个顶点的无向完全图中，包含有____条边；在一个具有n个有向完全图中，包含有____条边。
2．对于无向图，顶点vi的度等于其邻接矩阵____的元素之和。
3．对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，在其邻接表中，含有____个边对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，在其邻接表中，含有_______个弧结点。
dist[6l=min{dist[6], dist[3]+cost[3][6]}==Inin{∞，15+10}=25;
则有dist[]={0，19，15，∞，∞，25}，path[]={l，3，1，-l，-l，3}。
(3)在V-S中找出最近的顶点4，加入S中，即s[]={1，3，2}，并重新计算顶点1到达顶点4，5和6的距离，修改相应的dist值：
第七章图：习题
习题
一、选择题
1．设完全无向图的顶点个数为n，则该图有( )条边。
A. n-l B. n(n-l)/2 C.n(n+l)/2 D. n(n-l)
2．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的( )倍。
A.3 B.2 C.1 D.1/2
3．有向图的一个顶点的度为该顶点的( )。
A.入度B.出度C.入度与出度之和D.(入度+出度)/2
(2)邻接矩阵如下所示。
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0
(3)邻接表如下所示。
(4)十字接表如下所示。
3．题图7-2为一无向图，请按要求回答问题：
(1)画出该图的邻接表。
(2)画出该图的邻接多重表。
(3)分别写出从顶点l出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索