第七章—矩阵特征值计算

定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x R n , 称 ( Ax, x ) R( x ) ( x, x ) 为关于向量x的瑞雷( Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （ 1 ） （2） ( Ax, x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax, x ) 1 max , xR n ( x, x )
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max(v )为向量v的绝对 v 值最大的分量，规范化得 u (v 0). 就有 max(v ) 定理13 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 (a1 0)， 计算 u0 v0 , v Au , k k 1 (k 1,2, ) k max(vk ), uk vk / k . x1 lim uk , lim k 1. k max(x1 ) k


定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr ( A), i 1 i 1 (2) det( A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( A ) ( A).
T
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
对任何非零初始向量u0 v0，计算 vk ( A pI ) 1 uk 1, (k 1,2, ). u vk , k max(vk ) 如果p是A的特征值 j的近似，并且满足 (2.12)
0 j p i p , ( j i )
则( j p ) 1是( A pI ) 1的主特征值，用上述算法可求 特征值( j p ) 1 及其对应的特征向量.
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 1 ， P AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
设为A的特征值, 相应的齐次方程组 (I A) x 0 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
(1.1)
的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
(1.2)
2 1 0 例1 求A 1 3 1的特征值及其特征向量. 0 1 2
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p) x； (3) k 是Ak的特征值,即 Ak x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x x.
第 7章
矩阵特征值问题计算
§1 引 言
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求 矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物 的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临 界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a11 ( ) det(I A)
则对任何非零初始向量v0 (a1 0)， vk lim k a1 x1
k 1 k
lim
(vk 1 ) j (v k ) j
1.
当1 2 r， r r 1 n , 且A R nn有n个 线性无关的特征向量时，上述结果仍成立 r (vk 1 ) j vk lim k ai xi , lim 1. k 1 k (v k ) j i 1

k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (vk 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
定理16 设A R nn有n个线性无关的特征向量, A的特征 值和特征向量记为i和xi (i 1,2,, n), 而p是 j的近似, 且 0 j p i p , ( j i ). 对任何非零初始向量u0 (a j 0), 计算
vk ( A pI ) 1 uk 1, (k 1,2, ). (2.12) u vk , k max(vk ) xj 1 1 则 uk , max(vk ) ,p j. max(x j ) j p max(vk )
则
xn lim uk , max(xn ) k
k
lim max(vk )
1
n
.
在反幂法中可用原点位 移来加速迭代或求其他 特征值.
若( A pI ) 1 存在，则特征值为 1 1 1 , , , 1 p 2 p n p 对应的特征向量仍然为x1, x2 ,, xn .
m i 1
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P 1 AP B, 则 (1) A与B有相同的特征值; (2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
定义2 设A R
nn
, 如果A有一个k重特征值 且其对应的
2. 瑞雷商加速法
定理14 设A R
nn
为对称矩阵, 其特征值满足
1 2 n ,
应用幂法(2.9)，则uk的瑞利商给出1的较好近似
2k 2 ( Auk , uk ) 1 O . 1 (uk , uk )
2 收敛速度由比值r 确定. 1
例3 用幂法求 1 0.5 1 A 1 1 0.25 2 0.5 0.25 的按模最大特征值及其特征向量.
A=[1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2] u=[1,1,1]' v=A*u,v1=max(v),u=v/v1
Ak v0 vk Ak v0 vk , uk . k 1 k max(vk ) max(A v0 ) max(A v0 )
k k k Ak v0 1 a1 x1 a2 2 x2 an n xn , 1 1
线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵.
定理6 （ 1 ）A R nn可对角化， 即非奇异矩阵P使 1 2 1 P AP n 的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量. (2) 若A R
nn
有m(m n)个不同的特征值1, 2 ,, m , 则
定理15 设A R nn为非奇异矩阵且有n个线性无关的特征 向量, 其特征值满足
1 2 n 1 n 0,
对任何非零初始向量u0 v0 (an 0)， 计算 vk A1uk 1, u vk , (k 1,2, ). k max(vk )
(2.9)
则
事实上，对于任 给非零向量u0 v0， v1 Au0 Av0 , v1 Av0 u1 , max(v1 ) max(Av0 )
A2v0 v2 A2v0 v2 Au1 , u2 , 2 max( Av0 ) max(v2 ) max( A v0 max(vk ) max max(Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时， vk 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk，
三、反幂法
任取非零向量v0 u0 R n , 计算 vk A1uk 1, u v k , k max(vk )
1
反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。
k 1,2,, vk xn uk . max(vk )
n
max(vk ),
vk 可通过主元高斯消去法求解 Avk uk 1来求得, 经常 Lyk uk 1 利用LU分解求得, 即 求解 . Uvk yk
x 0
（3）
( Ax, x ) n min . n ( x, x ) xR
x 0
§2
一、幂法
幂法及反幂法
幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ 1及其对 应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
设A (aij )nn R nn有一个完全特征向量组, 其特征值 为1, 2 ,, n , 对应的特征向量为x1, x2 ,, xn .
二、加速方法
1. 原点位移法 B A pI . 例4 设 (A) {5,3,1}，考察带原点平移的幂法求A的按模
最大特征值及其特征向量的收敛速度. 若 1 2 n， 则p* 2 n . 2 例5 用带原点平移的幂法求
1 0.5 1 A 1 1 0.25 2 0.5 0.25 的按模最大特征值及其特征向量. 取p 0.75.
2 n a1 x1 a2 x2 an xn k 1 1 A v0 uk k k k max(A v0 ) 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 x1 (k ) max(x1 )
a21 an1
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
n (a11 a22 ann )n1 (1)n | A | 为A的特征多项式. A的特征方程 ( ) det(I A) 0