倍长中线与截长补短法

倍长中线与截长补短
定 义
示例剖析
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．
E
D
A
B
C
其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．
【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．
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例题精讲
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题型一：倍长中线
A
B
C
D
【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给
出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．
⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．
【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是
AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．
Q P
M
D
C
B
A
典题精练
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A M
E
D B
E
D C
B
A
D C
B A
定 义
示例剖析
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
D
C
B
A
在线段AB 上截取AD AC =
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
A
B C D
延长AC ，使得AD AB =
【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．
D C
B A
【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．
求证：AB BD AC +=．
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题型二：截长补短
【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．
【例8】 ⑴正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC ，求证：2
AC
AD EO =-；
⑵正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM =AN ，点E 在BD 上，NE 平分∠DNM ，EF ⊥MN ，请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？
M
F
E
D
C
B
A
N
O E
D
C
B
A
D C
B
A
训练1. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．
M
E
D C
B
A
训练2. ABC △中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的大小关系
是AD ______AE ．（填“>”、 “<”或“=”）
训练3. 已知：如图，BDE △是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD AC =，求证：
DE DC AE +=．
训练4. 已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．
思维拓展训练(选讲)
D C B A
E C B
A
题型一 倍长中线 课后演练
【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？
【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，
4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
题型二 截长补短 课后演练
【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线
MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )
N
E
B M A D
【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：AC CD AB +=． 复习巩固
D
C
B
A
【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .
F E
D
C
B A。