伯努利方程

4.1.3.实际流体总流的伯努利方程
z1pg 12 1v g1 2z2pg 22 2g v2 2hf
能量损失或 水头损失
伯努利方程应用举例 z0pg0 z1pg0 21vg12
z0 z1 h 1 1
v1 2gh
p
00
h
1p
0
小孔出流
❖ 4.1.4 相对运动的伯努利方程 随体坐标系将坐标固结于旋转的叶轮上。
4）对于不可压缩流体有 ＝常数
5）质量力只有重力
（1）理想流体 （2）定常流动 （3）沿流线积分
（4）质量力有势 （5）不可压缩
欧拉运动方程
V 0 t
dx dy dz vx vy vz
vydx vxdy vzdx vxdz
dUUdxUdyUdz x y z
fxdxfydyfzdz
1
dP
V tvd V Sv v n d SVfd V Sp n d S
4.6.2 动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H
对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 F
对同一点的力矩，即
dd H t d d tVrvdV rF d d tV r v d V V r fd V Sr p n d S
沿流线B – A 列伯努利方程：
vB2 pB pA
2
pBgHB pAgHA
vB 2(pApB) 2gh
原理：测量时将静压孔和总压孔感受到 的压强分别和差压计的两个入口相连， 在差压计上可以读出总压和静压之差， 从而求得被测点的流速。
4.4 文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
测量原理：测量截面1和喉部截面2处
z p C g
假设 A1、A2是缓变流截面，对于微小流束：
z1pg1 u21g2 z2
p2 u22
g 2g
u1gd1 Au2gd2 A
通过断面1和2的能量
理想流体总流
A 1(z1p g 12 u 1 g 2)u 1 gA 1 d A 2(z2p g 22 u g 2 2)u 2gA 2 d
A1(z1pg1 )u1gdA1 (z1pg1 )v1gA1 A2 (z2 pg2 )u2gdA2 (z2 pg2 )v2gA2
由动能修正系数定义
A1
u12 2g
u1gdA1
1
v12 2
v1A1
A2
u22 2g
u2gdA2
2
v22 2
v2 A2
v1A1v2A2
z1pg121vg12z2pg222g v22
叶轮的角速度为 2r
fx2x,fy2y,fzg
d U U xd x U yd y U zd zfx d x fy d y fy d y
U12r2gz1u2gz
2
2
叶轮
u：随叶轮旋转的牵连速度
z p w2 u2 C
g 2g 2g
w：相对与叶轮的速度
4.2 伯努利方程在工程中的应用 皮托管 —— 测量流速
(D/d)4 1
4.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
4.6.1 动量积分方程 根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外 界作用在该系统上的合力，即
ddK t ddtVvdVF
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d d tVvdVVfdVSpndS
得控制体的动量积分方程
p1
pa
12v221AA12
2
求出 v 2 后代入动量方程得
F(p1pa)A111A21/A2
4. 洒水器
喷水器
因此本问题的动量矩积分方程可写成 q1rv 1q2rv 20
v1r1v2r2 0
设
v为喷水的相对速度，则有
v1 v r1 v2 v r2
vr(1r21 rr22 2)d 4q2((rr1 12rr22)2)
p g 单位重量流体的压强势能 压力水头
v2
单位重量流体的动能 流速水头
2g
v2 p
z
总机械能
2g g
总水头
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
平面流场（忽略重力作用） v2 ＋ p C
2
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高 的点上压强低，流速低的点上压强高。
思考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
的静压强差，根据测得的压强差和已
知的管子截面积，应用伯努里方程和
连续性方程，就可以求得流量。
连续性方程：
v1＝
A2 A1
v2
伯努利方程：
v12 ＋p1 v22 p2
2 2
结构：收缩段＋喉部＋扩张段
联立求解：
v1＝
（2 p2 p1) [1 ( A1 )2 ]
A2
p 2p 1g( h1)
v1＝
2gh（1 / 1)
3. 水流对喷嘴的作用力
喷嘴
F (p 1 p a )A 1 q (v 2 v 1 ) F (p 1 p a )A 1 q (v 2 v 1 )
由连续方程得 q (v 2 v 1 )v 2 2 A 2 ( 1 A 2 /A 1 )
由伯努利方程 pg1 2v1g2 pg2 2v2 g2,p2pa 得
2.射流对平板和叶片的作用力
例 求射流对斜置平板(单位厚度)的作用力F。 设：流量为 q，速度为v，
来流方向与板的夹角为 。
解 取控制体如图。因射流处于大 气之中，射流中压强都近似等 于大气压。又由伯努利方程知 v1 = v2 = v。
x 方向动量方程： q 1 v 1q 2 v 2qcvo 0 s
根据雷诺输运方程式可得控制体的动量矩积分方程
V r tv d V S r v v n d S V r f d V S r p n d S
4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用
关于控制面
（1）与问题有关的边界面；
（2）已知物理量较多的面；
（3）流面即流线组成的面（ （此时 vn=v）
n1 i n2ico sjsin
水流对弯管作用力的两个分量可写为
F x q (v 2co v 1 s ) (p 1 p a )A 1 (p 2 p a )A 2cos F y q2s vi n (p 2 p a )A 2sin
固定此段弯管所需的外力为
F xq (v 2co v s 1 ) (p 1 p a )A 1 (p 2 p a )A 2cos F yq2s vi n (p 2 p a )A 2sin
动量方程求解步骤:
(1)建立坐标系, 标出控制体
(2)分析控制体所受到的力，表明控制面上各 种参数
(3)分析动量的变化 (流出减流进, 速度投影有 正负)，列动量方程。
4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用 1. 水流对弯管的作用力
(a)
(b)
(c) 水流对弯管的作用力
动量方程为
F ( p 1 p a ) n 1 A 1 ( p 2 p a ) n 2 A 2 Q ( v 2 v 1 )
y 方向动量方程： 0(qsvin )F
由连续性条件 q = q1 + q2 和 x 方向的动量方程还
可以解出
1cos
q1 2 q0
1cos
q2 2 q0
y
x
Fy
v0
v0 A0
Fx
Baidu Nhomakorabea射流对固定叶片的作用图
取控制体如图，射流速度为v0 ,过流断面为A0 , 应用动量方程有
Fx v02A0(1cos ) Fy v02A0 sin
d
P
2. 伯努利方程的意义 （1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之
间的关系。 表明：在流线上的总水头为一常数。
（2）物理意义 表明：在流线上的单位重量流体的总能量为
一常数。 因此说伯努利方程是能量转化和守恒定 律在流体力学中的具体反映。
伯努利方程
v2 p z C
2g g
物理意义 几何意义
z 单位重量流体的重力势能 位置水头
y
v0 A0
x
v0 -u Fx
Fy
v0 -u u
射流对运动叶片的作用
采用固结于叶片上的运动坐标系, 则在此动坐标系上观察到的 流动是定常的
取控制体如图, 此控制体进出口截面上的速度应为相对速度
(v0 – u), 过流断面为A0 , 应用动量方程有
Fx (v0 u)2A0(1cos) Fy (v0 u)2A0sin
4.1.2 理想流体总流的伯努利方程
动能修正系数
1 u 3d A
2 A 1 v3A 2
真实流速 平均流速
与速度分布有关，分布均匀为1；不均匀大于1。一般取1
缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些 平行直线的流动。
特性： （1）质量力只有重力； （2）同一缓变过流断面上，各点的静压水头相等。
vn=0）两端截面垂直于流线
在应用控制体的动量积分方程和动量矩积分方程时，还要注 意如下几点：
（1）方程是矢量式，为计算方便，要选择适宜的坐标系，以 便于求出各项的投影值；
（2）法向分量的正负号以控制面外法向为正，向内为负； （3）方程未知数较多时，可联立连续方程和伯努利方程求
解； （4）控制面上的压力计算最好使用相对压强 p pa
第四章 伯努利方程
4.1 伯努利方程
伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》 ——“流速增加，压强降低” 4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程 1. 伯努利方程的推导
欧拉运动方程＋四个假设
（1）定常流动 （2）沿流线积分 （3）质量力有势 （4）不可压缩
1）定常流场中的欧拉方程 2）将上式沿流线积分可得到伯努利方程 3）质量力有势